專題08—元一次不等式（組）的核心知識(shí)點(diǎn)精講

o復(fù)習(xí)目標(biāo)O

1.會(huì)解一元一次不等式（組），理解一元一次不等式（組）的解集的含義，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想;

2.會(huì)用不等式（組）進(jìn)行解題，能利用不等式（組）解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問(wèn)題。

O考點(diǎn)梳理O

不性質(zhì)1:不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變即如果

等a>b,那么ac>b+c

式性質(zhì)2:不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向D即如果

的

a>b,c>0,那么ac>be（或？<￡

性

質(zhì)性質(zhì)3:不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變即如果

a>b,c<0,那么accbc（或？<*

（解法步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤系數(shù)化為1

一元一次不等式不等式的解集可以在數(shù)軸上直觀的表示出來(lái)，具體表示方法是先確定邊界

的解法及解集表示點(diǎn)：解集包含邊界點(diǎn)，是實(shí)心圓點(diǎn)；不包含邊界點(diǎn)，則是空心圓圈；再確

定方向：大向右，小向左.

兀

一元一次不尊式蛆

摸作

3"）

x>a

x>b兩大取大

x>b■?

ab

x<a

x<a向他小

x<b

（組）一元一次不等式組的解法及解集表示卜

x>ay/〃/〃

a<x<b大小小大中回跑

x<b°；

x<a

無(wú)解

x>bu

ab

1.一般步驟：（1）審題（2）設(shè)未知數(shù)（3）列不等式（4）解不等式

（5）檢驗(yàn)（6）作答

一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用

2.解決不等式的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，常見(jiàn)的關(guān)鍵詞與不等式的對(duì)應(yīng)表;

3.常見(jiàn)關(guān)鍵詞的應(yīng)用

典例引領(lǐng)

【題型1:不等式的性質(zhì)】

【典例1】（2024?吉林長(zhǎng)春?中考真題）不等關(guān)系在生活中廣泛存在.如圖,6分別表示兩位同學(xué)的身高,

c表示臺(tái)階的高度.圖中兩人的對(duì)話體現(xiàn)的數(shù)學(xué)原理是（）

A.若a>b,

C.若a>b,c>0,則ac>6cD.若a>6,c>0,貝哈>,

【答案】A

【分析】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟記不等式性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.根據(jù)不等式的性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：由作圖可知：a>b,由右圖可知：a+c>b+c,即A選項(xiàng)符合題意.

故選：A.

【變式（2024?廣東廣州?中考真題）若a<b,則（）

A.。+3>力+3B.CL—2>b—2C.-CLV—bD.2a<2b

【答案】D

【分析】本題考查了不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵.根據(jù)不等式的基本性

質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得.

【詳解】解:A.-a<b,

.-.a+3<b+3,則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；

B.va<b,

.■-a-2<b-2,則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符題意；

C.'-"a<b,

.■--a>-b,則此項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；

D.■.■a<b,

,■.2a<2b,則此項(xiàng)正確，符合題意；

故選：D.

【變式1-2］（2024,安徽?中考真題）已知實(shí)數(shù)a,6滿足a—6+1=0,0<a+b+l<l,則下列判斷正確

的是（）

11

A.——VaVOB.—<b<1

C.-2<2a+4bV1D.-1<4a+2bV0

【答案】c

【分析】題目主要考查不等式的性質(zhì)和解一元一次不等式組，根據(jù)等量代換及不等式的性質(zhì)依次判斷即

可得出結(jié)果，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵

【詳解】解：:a—6+1=0,

=h—1,

vO<a+b+l<l,

.,.0<b—1+b+1<1,

.-.0<fo<p選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合題意；

'：a—b+1=0,

=a+1,

vO<a+b+l<lf

.-.0<a+a+l+l<l,

選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合題意；

v-1<a<-1,0</?<|,

**.-2<2a<-1,0<4bV2,

.,.—2<2a+4b<1,選項(xiàng)C正確，符合題意；

1i

:一1VaV-0<b<-,

.*.-4<4a<-2,0<2h<1,

.??—4<4a+2bV—1,選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合題意；

故選：C

【變式1-3］（2024?山東煙臺(tái)?中考真題）實(shí)數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的位置如圖所示，下列結(jié)論正確的是（）

'q'..................................q、>

-3,-2t-10123"""45

A.b+c>3B.a—c<0C.Q>|c|D.-2aV—2b

【答案】B

【分析】本題考查了數(shù)軸，絕對(duì)值，不等式的性質(zhì)，根據(jù)數(shù)軸分別判斷a,b,c的正負(fù)，然后判斷即可,

解題的關(guān)鍵是結(jié)合數(shù)軸判斷判a,6,c的正負(fù).

【詳解】由數(shù)軸可得，—3<a<—2,-2<b<-l,3<c<4,

A、b+c<3,原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，

B、a-c<0,原選項(xiàng)判斷正確，符合題意，

C、根據(jù)數(shù)軸可知：同<上|，原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意，

D、根據(jù)數(shù)軸可知：a<b,則-2a>-2b,原選項(xiàng)判斷錯(cuò)誤，不符合題意,

故選：B.

河典例引領(lǐng)

【題型2：一元一次不等式（組）的解法】

（3x-2>1

【典例2】（2024?西藏,中考真題）解不等式組：|土>%_2,并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

-5-4-3-2-1012345

【答案】l<x<5,數(shù)軸見(jiàn)解析

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知"同大取大；同

小取??；大小小大中間找；大大小小找不到"的原則是解答此題的關(guān)鍵.分別求出每一個(gè)不等式的解集,

根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小找不到確定不等式組的解集，再表示在

數(shù)軸上即可.

f3x-2>1①

【詳解】解:月>尸2②，

解不等式①得：%>1,

解不等式②得：x<5,

??.不等式組的解集為：1〈無(wú)<5,

將解集表示在數(shù)軸上如圖:

―?___?___?___?___?___?__???：

-5-4-3-2-1012345

@力即時(shí)檢測(cè)

【變式2-1］（2024?天津?中考真題）解不等式組卜父彳:，?宓）

請(qǐng)結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

⑴解不等式①，得;

（2）解不等式②，得；

⑶把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)：

IIIIIII

-4-3-2-1012

⑷原不等式組的解集為.

【答案】⑴XW1

（2）x>-3

⑶見(jiàn)解析

（4）-3<%<1

【分析】本題考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式組；

（1）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1可得出答案;

（2）根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、化系數(shù)為1可得出答案;

（3）根據(jù)前兩問(wèn)的結(jié)果，在數(shù)軸上表示不等式的解集；

（4）根據(jù)數(shù)軸上的解集取公共部分即可.

【詳解】（1）解：解不等式①得XWL

故答案為：x<l-.

（2）解：解不等式②得x2—3,

故答案為：x>—3：

（3）解：在數(shù)軸上表示如下：

-4-3-2-1012

（4）解：由數(shù)軸可得原不等式組的解集為-3WxWl,

故答案為：—3WXW1.

【變式2-2］（2024?四川眉山?中考真題）解不等式：亨-1W年，把它的解集表示在數(shù)軸上.

—5—4—3—2—1012345

【答案】x<2,見(jiàn)解析

【分析】本題考查求不等式的解集，并在數(shù)軸上表示解集，去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并，系數(shù)化1,

求出不等式的解集，然后在數(shù)軸上表示出解集即可.

【詳解】解：號(hào)-1W與，

2（%+1）—6<3（2—%），

2%+2—646—3%,

2,x+3%46+6—2,

5%<10,

%<2,

其解集在數(shù)軸上表示如下：

II______IIIII,）111,

-5-4-3-2-1012345

13

5+2；<：武+4并求所有整數(shù)解的和.

{%—3<1+2%

【答案】—4<刀<1,—6

【分析】本題考查了解一元一次不等式組以及求一元一次不等式組的整數(shù)解.解各不等式，可得出x

的取值范圍，取其公共部分即可得出不等式組的解集，再將各整數(shù)解相加，即可求出結(jié)論.

|+2%<-|%+40

【詳解】解:

%—3<1+2%@

解不等式①得：%<1;

解不等式②得：%>-4,

???原不等式組的解集一4<x<l,

二不等式組所有整數(shù)解的和為一3—2-1+0=-6.

典例引領(lǐng)

【題型3：一元一次不等式（組）的應(yīng)用】

【典例3】（2024?廣東深圳?中考真題）

【繽紛618,優(yōu)惠送大家】

今年618各大電商平臺(tái)促銷火熱，線下購(gòu)物中心也亮出大招，年中大促進(jìn)入“白熱化”.深圳各大購(gòu)物

中心早在5月就開(kāi)始推出618活動(dòng)，進(jìn)入6月更是持續(xù)加碼，如圖，某商場(chǎng)為迎接即將到來(lái)的618優(yōu)

惠節(jié)，采購(gòu)了若干輛購(gòu)物車.

OOOOOOOOO

問(wèn)題解決

任若某商場(chǎng)采購(gòu)了"輛購(gòu)物車，求車身總長(zhǎng)工與購(gòu)物車輛數(shù)"的表達(dá)式;

務(wù)

1

任若該商場(chǎng)用直立電梯從一樓運(yùn)輸該批購(gòu)物車到二樓，已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為2.6m,且一次可以運(yùn)

務(wù)輸兩列購(gòu)物車，求直立電梯一次性最多可以運(yùn)輸多少輛購(gòu)物車？

2

任若該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5次，

務(wù)求：共有多少種運(yùn)輸方案？

3

【答案】任務(wù)1：乙=(0.8+0,2兀)??；任務(wù)2：一次性最多可以運(yùn)輸18臺(tái)購(gòu)物車；任務(wù)3：共有3種方

案

【分析】本題考查了求函數(shù)表達(dá)式，一元一次不等式的應(yīng)用，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：根據(jù)一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)1m,每增加一輛購(gòu)物車，車身增加0.2m,且采購(gòu)了〃輛購(gòu)物車，L是

車身總長(zhǎng)，即可作答.

任務(wù)2：結(jié)合"已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為2.6m,且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車"，得出2.620.8+0.2幾,

再解不等式，即可作答.

任務(wù)3：根據(jù)"該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用

電梯5次"，歹?。菔?4x+18(5—無(wú))2100,再解不等式，即可作答.

【詳解】解：任務(wù)1：???一輛購(gòu)物車車身長(zhǎng)1m,每增加一輛購(gòu)物車，車身增加0.2m

■■-L=(0.8+0.2n)m

任務(wù)2：依題意，:已知該商場(chǎng)的直立電梯長(zhǎng)為2.6m,且一次可以運(yùn)輸兩列購(gòu)物車，

令2.6>0.8+0.2n,

解得：n<9

二一次性最多可以運(yùn)輸18輛購(gòu)物車；

任務(wù)3：設(shè)x次扶手電梯，則(5-%)次直梯，

由題意???該商場(chǎng)扶手電梯一次性可以運(yùn)輸24輛購(gòu)物車，若要運(yùn)輸100輛購(gòu)物車，且最多只能使用電梯5

次

可列方程為：24%+18(5-%)>100,

解得：一|,

???x為整數(shù)，

-'?X=2,3,4,

方案一：直梯3次，扶梯2次；

方案二：直梯2次，扶梯3次：

方案三：直梯1次，扶梯4次

答：共有三種方案.

a丹即時(shí)檢測(cè)

【變式3-1](2024?河南?中考真題)為響應(yīng)"全民植樹(shù)增綠，共建美麗中國(guó)”的號(hào)召，學(xué)校組織學(xué)生到郊外參

加義務(wù)植樹(shù)活動(dòng)，并準(zhǔn)備了48兩種食品作為午餐.這兩種食品每包質(zhì)量均為50g,營(yíng)養(yǎng)成分表如下.

區(qū)^營(yíng)養(yǎng)成分表?)營(yíng)養(yǎng)成分表

項(xiàng)目每50g項(xiàng)目每50g

熱量700kJ熱量900kJ

蛋白質(zhì)10g蛋白質(zhì)15g

脂肪5.3g脂肪18.2g

碳水化合物28.7g碳水化合物6.3g

鈉205mg鈉236mg

(1)若要從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)，應(yīng)選用3兩種食品各多少包？

(2)運(yùn)動(dòng)量大的人或青少年對(duì)蛋白質(zhì)的攝入量應(yīng)更多.若每份午餐選用這兩種食品共7包，要使每份午

餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g,且熱量最低，應(yīng)如何選用這兩種食品？

【答案】(1)選用A種食品4包，B種食品2包

⑵選用4種食品3包，5種食品4包

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：

(1)設(shè)選用/種食品x包，8種食品y包，根據(jù)“從這兩種食品中攝入4600kJ熱量和70g蛋白質(zhì)"列方程

組求解即可；

(2)設(shè)選用/種食品a包，則選用8種食品(7-a)包，根據(jù)"每份午餐中的蛋白質(zhì)含量不低于90g"列不

等式求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)選用/種食品x包，8種食品y包，

根據(jù)題意，得「用非摞學(xué)涉

解方程組，得

答：選用4種食品4包，8種食品2包.

(2)解：設(shè)選用/種食品a包，則選用5種食品(7-a)包，

根據(jù)題意，得10a+15(7—9)之90.

.,.a<3.

設(shè)總熱量為wkj,則w=700a+900(7—。)=-200a+6300.

v—200<0,

??.w隨a的增大而減小.

??.當(dāng)a=3時(shí)，.最小.

?,-7—a=7—3=4.

答：選用4種食品3包，6種食品4包.

【變式3-2］（2024?黑龍江牡丹江?中考真題）牡丹江某縣市作為猴頭菇生產(chǎn)的"黃金地帶"，年總產(chǎn)量占全國(guó)

總產(chǎn)量的50%以上，黑龍江省發(fā)布的“九珍十八品”名錄將猴頭菇列為首位.某商店準(zhǔn)備在該地購(gòu)進(jìn)特級(jí)

鮮品、特級(jí)干品兩種猴頭菇，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、

干品猴頭菇5箱需910元.請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

⑴特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)各是多少元？

（2）某商店計(jì)劃同時(shí)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇共80箱，特級(jí)鮮品猴頭菇每箱售價(jià)定為50

元，特級(jí)干品猴頭菇每箱售價(jià)定為180元，全部銷售后，獲利不少于1560元，其中干品猴頭菇不多于

40箱，該商店有哪幾種進(jìn)貨方案？

⑶在（2）的條件下，購(gòu)進(jìn)猴頭菇全部售出，其中兩種猴頭菇各有1箱樣品打a（a為正整數(shù)）折售出,

最終獲利1577元，請(qǐng)直接寫出商店的進(jìn)貨方案.

【答案】（1）特級(jí)鮮品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為40元，特級(jí)干品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為150元

（2）有3種方案，詳見(jiàn)解析

⑶特級(jí)干品猴頭菇40箱，特級(jí)鮮品猴頭菇40箱

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解

題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出

一元一次不等式組；（3）正確計(jì)算求解.

（1）設(shè)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)分別是x元和y元，根據(jù)"購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇3箱、

干品猴頭菇2箱需420元，購(gòu)進(jìn)鮮品猴頭菇4箱、干品猴頭菇5箱需910元"，列出方程組求解即可；

（2）設(shè)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇加箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇（80-機(jī)）箱，根據(jù)"獲利不少于1560

元，其中干品猴頭菇不多于40箱，"列出不等式組求解即可；

（3）根據(jù)（2）中三種方案分別求解即可；

【詳解】（1）解：設(shè)特級(jí)鮮品猴頭菇和特級(jí)干品猴頭菇每箱的進(jìn)價(jià)分別是x元和y元，

milpx+2y=420

川l4x+5y=910'

解得:｛二餡，

故特級(jí)鮮品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為40元，特級(jí)干品猴頭菇每箱進(jìn)價(jià)為150元；

（2）解：設(shè)商店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇加箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇（80-TH）箱，

貝14（50-40）機(jī)+（80—何（180—150）>1560

解得：40<m<42,

?.?m為正整數(shù)，

：.m=40,41,42,

故該商店有三種進(jìn)貨方案，

分別為：①購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇40箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇40箱；

②購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇41箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇39箱；

③購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇42箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇38箱；

(3)解：當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇40箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇40箱時(shí)：

根據(jù)題意得(40-1)x(50-40)+(40-1)x(180-150)+(50*-40)+(180*一150)=1577,

解得：a=9；

當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇41箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇39箱時(shí)：

根據(jù)題意得(41一1)x(50-40)+(39-1)x(180-150)+(50-^-40)+(180.^-150)=1577,

解得：a=9.9(是小數(shù)，不符合要求)；

當(dāng)購(gòu)進(jìn)特級(jí)鮮品猴頭菇42箱，則購(gòu)進(jìn)特級(jí)干品猴頭菇38箱時(shí)：

根據(jù)題意得(42-1)X(50-40)+(38-1)X(180-150)+(50*-40)+(180.^-150)=1577,

解得：a=10.7(不符合要求)；

故商店的進(jìn)貨方案是特級(jí)干品猴頭菇40箱，特級(jí)鮮品猴頭菇40箱.

【變式3-3](24-25八年級(jí)上?全國(guó)?期末)根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).

素材1某玩具商店購(gòu)進(jìn)若干蛋仔派對(duì)盲盒和蛋仔派對(duì)兒童手表.已知蛋仔派對(duì)盲盒的進(jìn)價(jià)8元/個(gè)，蛋

仔手表的進(jìn)價(jià)為18元/個(gè)，如表是近兩周的銷售情況：

銷售時(shí)段蛋仔派對(duì)盲盒/個(gè)蛋仔手表/個(gè)銷售收入/元

第一周43123

第二周55185

(進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)=銷售收入-進(jìn)貨成本)

素材2該玩具商店準(zhǔn)備用不超過(guò)800元的金額再采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒和蛋仔手表共50個(gè).

問(wèn)題解決：

任務(wù)1請(qǐng)嘗試求出蛋仔派對(duì)盲盒、蛋仔手表的銷售單價(jià)；

任務(wù)2該商店至少采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒多少個(gè)？

任務(wù)3請(qǐng)結(jié)合素材2中的信息，幫助該玩具商店設(shè)計(jì)采購(gòu)方案，使這50個(gè)玩具所獲得的利潤(rùn)不低于

314元，在這些采購(gòu)方案中，哪個(gè)方案商店獲利最高？

【答案】任務(wù)1：蛋仔派對(duì)盲盒的銷售單價(jià)為12元，蛋仔手表的銷售單價(jià)為25元

任務(wù)2：10個(gè)

任務(wù)3：見(jiàn)解析；采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒10個(gè)，蛋仔手40個(gè)表時(shí)，商店獲利最高

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)題意找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出二元一次方程組和一元一次不等式是解題的關(guān)鍵.

任務(wù)1：設(shè)蛋仔派對(duì)盲盒的銷售單價(jià)為x元，蛋仔手表的銷售單價(jià)為y元，可列出關(guān)于笛y的二元一次方

程組，解方程組即可得到答案；

任務(wù)2：設(shè)該商店采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒6個(gè)，則采購(gòu)蛋仔手表(50-爪)個(gè)，可列出關(guān)于M的一元一次不等

式，解不等式即可得到答案；

任務(wù)3：根據(jù)題意可列出關(guān)于小的一元一次不等式，解不等式即可得到的取值范圍，結(jié)合a210,且加

為正整數(shù)，可得出采購(gòu)方案，再分別求出各采購(gòu)方案可獲得的總利潤(rùn)，比較后即可得到結(jié)論列出關(guān)于m

的一元一次不等式，解不等式即可得到答案.

【詳解】解：任務(wù)L設(shè)蛋仔派對(duì)盲盒的銷售單價(jià)為萬(wàn)元，蛋仔手表的銷售單價(jià)為y元，

根據(jù)題意得：窿*器溪,

解需羲，

答：蛋仔派對(duì)盲盒的銷售單價(jià)為12元，蛋仔手表的銷售單價(jià)為25元；

任務(wù)2：設(shè)該商店采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒m個(gè)，則采購(gòu)蛋仔手表（50-爪）個(gè)，

根據(jù)題意得：8m+18（50—m）800,

解得m>10,

答：該商店至少采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒10個(gè)；

任務(wù)3：12-8=4（元），25—18=7（元），

根據(jù)題意得4m+7（50—m）2314,

解得??！<12,

vm>10,且m為正整數(shù)，

??.m可以為10,11,12,

?,?該紀(jì)念品商店共有3種采購(gòu)方案，

方案1：采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒10個(gè)，蛋仔手表40個(gè)，全部售出后可獲得總利潤(rùn)為：

4X10+7x40=40+280=320（元）；

方案2：采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒11個(gè)，蛋仔手表39個(gè)，全部售出后可獲得總利潤(rùn)為：

4x11+7x39=44+273=317（元）；

方案3：采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒12個(gè)，蛋仔手表38個(gè)，全部售出后可獲得總利潤(rùn)為：

4X12+7X38=48+266=314（元）；

???320>317>314,

???在這些采購(gòu)方案中，采購(gòu)蛋仔派對(duì)盲盒10個(gè)，蛋仔手表40個(gè)時(shí)，商店獲利最高.

O好題沖關(guān)O

1.（2025?廣西?模擬預(yù)測(cè)）不等式3久2X-4的解集是（）

A.%>-2B.x<-2C.x>—2D.x<-2

【答案】C

【分析】本題主要考查解一元一次不等式，根據(jù)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1,求出x的取值范圍即

可.

【詳解】解:3%>x-4,

3x—x>—4,

2%>-4,

.,.%>—2,

故選：C.

2.(24-25八年級(jí)上?廣東深圳?期末)已知aVb,下列不等式變形中正確的是()

ab

A.CL-2>b—2B.弓〉三

J3

C.-2a>—2bD.5a+2>5b+2

【答案】c

【分析】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式兩邊都乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變.根據(jù)不等式

的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析即可.

【詳解】A.?.?a<b,a-2</?-2,原變形錯(cuò)誤，不符合題意；

B.■■-a<b,原變形錯(cuò)誤，不符合題意；

C.-：a<b,■■--2a>-2b,原變形正確，符合題意；

D.■■-a<b,5a+2<56+2,原變形錯(cuò)誤，不符合題意.

故選：C.

3.(24-25八年級(jí)上,浙江杭州?期中)若干名學(xué)生住宿舍，若每間住4人，則2人無(wú)處??；若每間住6人，

則空一間還有一間不空也不滿，若設(shè)有x間宿舍，則可列不等式組為()

(4x+2—6(x—1)>0(4%+2—6(x—1)>1

A?l4x+2-6(x-l)<6巳.[4x+2-6(x-l)<5

f4x+2—6(x—2)>0C4x+2—6(x—2)>1

,14%+2—6(x—2)<6>l4x+2-6(乂-2)<5

【答案】C

【分析】設(shè)有x間宿舍，根據(jù)"每間住4人，2人無(wú)處住"可得學(xué)生有(4x+2)人，再根據(jù)“每間住6人，

空一間還有一間不空也不滿"列出不等式組即可.此題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次不等式組,

關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的不等關(guān)系.

【詳解】解：設(shè)有x間宿舍，則學(xué)生有(4x+2)人，由題意得：

f4x+2—6(%—2)<6

14%+2-6(%—2)>0

故選：C.

4.(2024?寧夏，中考真題)已知|3-a|=a-3,貝M的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是()

A.03B.03

------1-----------1>------1-----------<i---------?

C.03D.03

【答案】A

【分析】本題主要考查了絕對(duì)值的性質(zhì)，解一元一次不等式.根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，可得3-aWO,從而

得到a23,即可求解.

【詳解】解：：|3-a|=a-3,

.,-3—a<0.

解得：a>3,

則的取值范圍在數(shù)軸上表示正確的是：

---1--------------?

03

故選：A.

（?四川雅安?中考真題）不等式組｛翼的解集在數(shù)軸上表示為（）

5.2024

B

r口

^

D23

【答案】c

【分析】本題考查了解一元一次不等式組和在數(shù)軸上表示不等式的解集，正確求出每一個(gè)不等式解集是

基礎(chǔ)，熟知“同大取大；同小取??；大小小大中間找；大大小小找不到"的原則是解答此題的關(guān)鍵.

分別求出每一個(gè)不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無(wú)解了確

定不等式組的解集.

【詳解】解：解不等式3X-224,得：%>2,

解不等式2久<x+6,得：x<6,

則不等式組的解集為2<x<6,

將不等式組的解集表示在數(shù)軸上如下：

.I

026

故選：C.

（23-24七年級(jí)下?福建泉州?期末）已知關(guān)于x的不等式以>1的解集為則。的取值范圍是.

【答案】a<0

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式，根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，由不等式必>1的解集為無(wú)<，

可得：a<0,據(jù)此求出。的取值范圍即可.

【詳解】解：???關(guān)于x的不等式ax>l的解集為

a<0,

故答案為：a<0.

7.(2024?河北?模擬預(yù)測(cè))數(shù)學(xué)課上，老師給出如下運(yùn)算程序：

十黑t1或T*44T?>04輸出一?停止

運(yùn)算規(guī)則：如果結(jié)果不大于0,就把結(jié)果作為輸入的數(shù)進(jìn)行第二次運(yùn)算，依此運(yùn)行，直到結(jié)果大于0輸

出結(jié)果，運(yùn)算程序停止.

(1)當(dāng)輸入的數(shù)是-3時(shí)，需要經(jīng)過(guò)幾次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，并求出輸出的結(jié)果；

(2)當(dāng)輸入x后，經(jīng)過(guò)一次運(yùn)算，結(jié)果即符合要求，求出x的非正整數(shù)值.

【答案】(1)3次，輸出的結(jié)果是4

⑵%的值為—1,0

【分析】本題考查的是有理數(shù)的混合運(yùn)算，解一元一次不等式，根據(jù)上述運(yùn)算規(guī)則和順序進(jìn)行求解是

解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)運(yùn)算順序和規(guī)則逐步計(jì)算即可；

(2)根據(jù)題意，可得2x+4>0,求解即可.

【詳解】(1)解：第一次運(yùn)算得：(—3)X2+4=-2,

第二次運(yùn)算得：—2x2+4=0,

第三次運(yùn)算得：0x2+4=4>0,

???需要經(jīng)過(guò)3次運(yùn)算才能輸出結(jié)果，輸出的結(jié)果是4；

(2)解：根據(jù)題意可得2x+4>0,

解得：%>-2,

??%為非正整數(shù)，

.J的值為—1,0.

8.(2024?湖北武漢?模擬預(yù)測(cè))求滿足不等式組{久?［七靠；能的最小整數(shù)解.

【答案】無(wú)=3

【分析】先解出每個(gè)不等式的解集，即可得到不等式組的解集，然后即可求得最小整數(shù)解.本題考查

一元一次不等式組的整數(shù)解、解一元一次不等式組，解答本題的關(guān)鍵是明確解一元一次不等式的方法.

【詳解】解:{￡涔葭露

由①得久>3,

由②得％,2,

???不等式組的解集是％N3.

不等式組的最小整數(shù)解是X=3.

⑥⑦能力提升

1.（2024八年級(jí)下?浙江溫州?競(jìng)賽）若關(guān)于％的不等式組｛然21十無(wú)實(shí)數(shù)解，貝心的取值范圍是

【答案】aW

【分析】本題考查解一元一次不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握取不等式公共解集的方法.先解出各個(gè)不

等式，再根據(jù)原不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解列出關(guān)于。的不等式，即可解得答案.

【詳解】解：工［嬲

解不等式①得》<|，

解不等式②得x?，，

???不等式組無(wú)實(shí)數(shù)解，

5/5

,-2--3,

解得，a4~~Y

故答案為：a<

2.（24-25八年級(jí)上?浙江寧波?期末）若關(guān)于％的不等式組｛慧的整數(shù)解有且只有一個(gè)，貝心的取值范

圍是.

【答案】0<a<|/|>a>0

【分析】此題考查的是一元一次不等式組的解法和一元一次不等式組的整數(shù)解，求不等式組的解集，

應(yīng)遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了.首先解每個(gè)不等式,

然后根據(jù)不等式組的整數(shù)解的個(gè)數(shù)，確定整數(shù)解，從而確定a的范圍.

【詳解】解｛翌晨宓,

解①得x>-p

解②得x<2a,

則不等式組的解集是-與<x<2a.

a

.?.2a>一2，

.,.a>0,

???不等式組有1個(gè)整數(shù)解，則整數(shù)解是0.

r_K_5<0

I0<2a<1

解得：。工口工：

1

綜上：0<a<5,

故答案是：0<a4g.

3.(2024?內(nèi)蒙古?中考真題)關(guān)于x的不等式等-1>］的解集是,這個(gè)不等式的任意一個(gè)解都比關(guān)

于x的不等式2%-1<x+zn的解大，則"z的取值范圍是.

【答案】x>8m<7

【分析】本題考查了解一元一次不等式，熟練掌握不等式的解法是解題關(guān)鍵.先分別求出不等式的解

集，再根據(jù)題意列出關(guān)于根的不等式，求解即可得.

【詳解】解：甘一

2(2x-l)-6>3x,

4x—2-6>3x,

%>8.

解不等式2%-1W%+m得：%<1+m,

???不等式等-1>楙任意一個(gè)解都比關(guān)于久的不等式2久-1<%+機(jī)的解大，

1+m<8,

解得m<7,

故答案為：x>8；m<7.

4.(24-25八年級(jí)上?浙江湖州?期中)閱讀下列材料：定義：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式組

的解，那么稱該一元一次方程為該不等式組的"相伴方程".例如：方程勿-7=1的解為“4,不等式

組｛久3%；6°的解集為2<久<5,因?yàn)?<4<5,所以稱方程2久一7=1是不等式組仔的相伴方程.

⑴方程2(x—1)+9=1是不是不等式組的相伴方程？請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)若關(guān)于x的方程2久-a=1是不等式組5的相伴方程，求a的取值范圍.

【答案】⑴是，理由見(jiàn)解析

(2)0<a<5

【分析】本題主要考查了新定義"相伴方程"，正確理解新定義"相伴方程"，熟練掌握解一元一次方程和

一元一次不等式組的方法是解題關(guān)鍵.

(1)分別求解方程2(x-1)+9=1和不等式組｛::芻工力,然后根據(jù)"相伴方程"的定義，即可獲得答案;

(2)分別求解不等式組和方程2x-a=1,結(jié)合“相伴方程〃的定義可得關(guān)于a的不等式

組，求解即可獲得答案.

【詳解】(1)解：方程2(x—1)+9=1是不等式組的相伴方程，理由如下：

%+2<0'得：％<-2,

解方程2（久-1）+9=1,得：x=-3

v—3<—2,

方程2。-1)+9=1是不等式組暖力的相伴方程；

(2)解不等式組「二金鼠，得：|<x<3,

解方程2久-a=1,得：久=亨，

???關(guān)于久的方程2久-a=1是不等式組的相伴方程，

弓(竽W3,解得0<aW5.

5.(24-25八年級(jí)上?浙江嘉興?階段練習(xí))如圖1是一架自制天平，支點(diǎn)。固定不變，左側(cè)托盤固定在點(diǎn)/

處，右側(cè)托盤的點(diǎn)尸可以在橫梁BC段滑動(dòng).已知。4=。。=12cm,BC=50cm,根據(jù)杠桿原理，平衡

時(shí)：左盤物體質(zhì)量x(M=右盤物體質(zhì)量XOP(托盤與橫梁的質(zhì)量不計(jì)).小慧在存錢罐里存了若干個(gè)

1元硬幣(只有1元硬幣)，她想利用這個(gè)自制天平估計(jì)存錢罐里一元硬幣的數(shù)量.進(jìn)行了如下操作：

硬幣，調(diào)整點(diǎn)尸的位置，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PC=8cm時(shí)，天平平衡，則測(cè)得每個(gè)1元硬幣的質(zhì)量為_(kāi)g；

(2)估算硬幣的數(shù)量：已知空的存錢罐的質(zhì)量約為80g,將裝了若干個(gè)1元硬幣的存錢罐放在左側(cè)托盤,

右側(cè)托盤放入120g祛碼，調(diào)整點(diǎn)尸的位置，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PC=44cm時(shí)，天平向左側(cè)傾斜(如圖2),當(dāng)

PC=45cm時(shí)，天平向右側(cè)傾斜(如圖3),請(qǐng)你幫小慧算一下存錢罐里大約有幾個(gè)1元硬幣？

【答案】(1)6

⑵存錢罐里大約有81個(gè)1元硬幣.

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，不等式組的應(yīng)用.

(1)設(shè)每個(gè)1元硬幣的質(zhì)量為陰，根據(jù)題意列一元一次方程求解即可；

(2)設(shè)存錢罐里有a個(gè)1元硬幣，根據(jù)題意列出不等式組(80+6a)x12>(12+44)X120,

(80+6a)x12<(12+45)X120,據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)每個(gè)1元硬幣的質(zhì)量為xg,10個(gè)1元硬幣的質(zhì)量為10xg,

由題意得10。x12=10%x(12+8)，

解得尤=6,

答：每個(gè)1元硬幣的質(zhì)量為6g；

故答案為：6；

(2)解：設(shè)存錢罐里有a個(gè)1元硬幣，

當(dāng)PC=44cm時(shí),由題意得(80+6a)x12>(12+44)X120,

解得a>80,

當(dāng)PC=45cm時(shí),由題意得(80+6a)x12<(12+45)X120,

解得a<81|,

,?-80<a<81|,

???a為正整數(shù)，

—81,

答：存錢罐里大約有81個(gè)1元硬幣.

真題感知

1.(2024?江蘇常州?中考真題)"綠波"，是車輛到達(dá)前方各路口時(shí)，均遇上綠燈，提高通行效率.小亮爸爸

行駛在最高限速80km/h的路段上，某時(shí)刻的導(dǎo)航界面如圖所示，前方第一個(gè)路口顯示綠燈倒計(jì)時(shí)32s,

第二個(gè)路口顯示