專題06軸對稱常規(guī)題訓(xùn)練

軸對稱

等腰三角形

垂直平分線

等邊三角形

畫對稱軸圖形

三軸對稱圖形

1.下列美術(shù)字中，從數(shù)學(xué)的角度可以看作是軸對稱圖形的是（）

美好東明

【答案】A

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：B,C,D選項中的美術(shù)字都能不找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線

兩旁的部分能夠互相重合，所以不是軸對稱圖形；

A選項中的美術(shù)字能找到一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，所以

是軸對稱圖形.

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

2.下列汽車標(biāo)志中不是軸對稱圖形的是（）

【答案】B

【分析】根據(jù)如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱

圖形，這條直線叫做對稱軸進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：A,C,D選項中的圖形都能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁

的部分能夠互相重合，所以是軸對稱圖形；

B選項中的圖形不能找到這樣的一條直線，使圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合,

所以不是軸對稱圖形；

故選：B.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

3.山西戲曲歷史悠久、種類繁多，在我國戲曲舞臺上占有重要地位.其中，晉劇經(jīng)國務(wù)院批準(zhǔn)被列

入第一批國家非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄.下列4個晉劇臉譜中，不是軸對稱圖形的是（）.

【答案】A

【分析】如果一個平面圖形沿著一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做

軸對稱圖形，根據(jù)軸對稱圖形的概念對各選項分析判斷即可得到答案.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項符合題意；

B、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

C、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

D、是軸對稱圖形，故本選項不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重

合.

反射關(guān)系問題

4.通過光的反射定律知道，入射光線與反射光線關(guān)于法線成軸對稱（圖1）.在圖2中，光線自點P

射入，經(jīng)鏡面E尸反射后經(jīng)過的點是（

【答案】B

【分析】根據(jù)直線的性質(zhì)畫出被遮住的部分，再根據(jù)入射角等于反射角作出判斷即可.

【詳解】根據(jù)直線的性質(zhì)補全圖2并作出法線0K,如下圖所示：

故選：B.

【點睛】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)，垂線的畫法，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得相等的角是補全光線的關(guān)

鍵.

5.光線以如圖所示的角度。照射到平面鏡工上，然后在平面鏡I,II之間來回反射.若Na=50。,

/〃=60。，則々等于（）

【答案】B

【分析】根據(jù)入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線的夾角將已知轉(zhuǎn)化到三角形中，利用

三角形的內(nèi)角和是180。求解.

文:Zl+Z2+Z3=180°

180o-2Z^+Za+Z/=180°,

:.2"=Na+Ny

即2x60°=50°+N/

々=120。-50。=70。.

故選：B.

【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，掌握入射光線與水平線的夾角等于反射光線與水平線

的夾角是解題關(guān)鍵，注意隱含的180。的關(guān)系的使用.

6.根據(jù)光學(xué)中平面鏡光線反射原理，入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等.如圖，d力是兩

面互相平行的平面鏡，一束光線相通過鏡面a反射后的光線為n,再通過鏡面”反射后的光線為k.光

線m與鏡面a的夾角的度數(shù)為x。,光線n與光線k的夾角的度數(shù)為y°.則x與y之間的數(shù)量關(guān)系

是_____.

—

【答案】2x+y=180

【分析】根據(jù)平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)即可求得.

【詳解】解：；入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

反射后的光線力與鏡面。夾角度數(shù)為廿，

a,方是兩面互相平行的平面鏡，

二反射后的光線〃與鏡面夕夾角度數(shù)也為產(chǎn)，

又由入射光線、反射光線與平面鏡所夾的角相等，

反射后的光線及與鏡面夕的夾角度數(shù)也為彳°,

...x°+x°+y°=180°,

2x+y=180.

故答案為：2x+y=180.

【點睛】本題考查了平面鏡光線反射原理和平行線性質(zhì)，掌握反射光線與平面鏡所夾的角相等以及

兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵.

I題型03折疊問題

1

7.如圖，長方形紙片ABCD,點E,尸在AD邊上，點G,H在BC邊上，分別沿EG,FH折疊,

使點。和點A都落在點M處，若a+￡=119。，則NEMF的度數(shù)是.

【答案】58°方8度

【分析】利用長方形紙條對邊平行進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，再利用折疊對應(yīng)角相等和平角180。進(jìn)行計算，得

到AEFM中除AEMF外的兩個角度和，最后由三角形內(nèi)角和180。得到NEMF.

【詳解】解：???長方形紙條,

AD//BC,

:.ZDEG=ZEGH=a,ZAFH=ZGHF=,

由折痕EG,FH得到/DEG=NGEM=a,ZAFHZMFH=,

ZFEM+2a+ZEFM+2/3=360°,

ZFEM+ZEFM=360°-2(a+￡)=360°-2x119°=122°,

ZEMF=180°-(ZFEM+ZEFM)=58°,

故答案為:58°.

【點睛】本題考查折疊圖形中角度的計算，利用折疊對稱的性質(zhì)得到角度關(guān)系，計算時綜合其他角

度計算是?？碱}，解題時須注意對應(yīng)關(guān)系和復(fù)雜計算，找到對應(yīng)關(guān)系和正確的計算是解題的關(guān)鍵.

8.在折紙游戲中，小穎將一張長方形紙片ABCD按如圖所示方式折疊，AE、AF為折痕，點折

疊后的對應(yīng)點分別為2'、D',若NbAO=12。，則NE4尸的度數(shù)為.

［分析］根據(jù)折疊的性質(zhì)得出/BAE=ZB'AE,ZDAF=ZD'AF,根據(jù)“AD=12。,得出

ZBAE+ZB'AE+ZDAF+ZD^AF=102°,進(jìn)而得出—E4產(chǎn)+N?AD，=51。，即可求解.

【詳解】解：1.折疊

NBAE=NB'AE,ZDAF=ZD'AF,

ZBAE+AB'AE+ZDAF+ZZJAF=ABAD+ZBM=90。+12。=102°,

ZEAF+AB'AD'=51°

^JE4F=90°-51°=39°,

故答案為：39°.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，把一張長方形的紙條ABCD沿所折疊，若N班C'比ZBEE多6。，則/EFC=1

E

Ai------z----------iD

cr

【答案】122

【分析】設(shè)NEFC=X,Zl=y,則=根據(jù)NBFC'比?E多6。得到x與y的關(guān)系，再

根據(jù)鄰補角的性質(zhì)得到尤+y=180°聯(lián)立二元一次方程組求解.

［詳解］解：設(shè)NEPC=x,Zl=y,則/班C'=x_y,

/BFC'比NBFE多6。，

x-y-y=6,

-：尤+y=180°,

可得x=122。，y=58°,

故答案為：122.

【點睛】本題重點考查了鄰補角的性質(zhì)及折疊問題，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)，構(gòu)建方程組解決

問題.

垂直平分線

10.如圖，在AABC中，AB.AC的垂直平分線分別交3c于點E、/，若AABC的周長是20,AB=4,

【答案】C

【分析】先根據(jù)AABC的周長公式求得3c=9,再根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到E4=￡B,

E4=PC,根據(jù)△AEF的周長公式計算，即可得到答案.

【詳解】解：；AASC的周長是20,

AB+AC+BC=2.0

AB=4,AC=1,

BC=9,

???EG是線段AB的垂直平分線,

EA=EB,

同理，F(xiàn)A=FC,

.?AEF的周長=E4+￡F+E4=EB+￡F+FC=BC=9,

故選：C.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點

的距離相等是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，在AABC中，4平分/B4C,3/平分/ABC,點。是AC、BC的垂直平分線的交點,

連接AO、B0,若則NA/B的大小為()

C

一422

【答案】B

【分析】連接CO并延長，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到。4=OC,03=OC,根據(jù)等腰三角形

的性質(zhì)得到NOC4=NQ4C,Z.OCB=Z.OBC,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)計算，得到

ZAOB=1(ZOCA+ZOCB)=a.根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到ZZ4B+ZffiA=180。-ZAZB,根據(jù)角平分線

的定義得到NNB+NZBA=90。-=,求出ZAZB.

4

【詳解】解：連接CO并延長，

C

???點。是AC、BC的垂直平分線的交點,

:.OA=OC,OB=OC,

：.ZOCA=ZOAC,ZOCB=ZOBC,

ZAOD是AAOC的一個外角，

ZAOD=ZOCA+ZOAC=2Z.OCA,

同理，/BOD=2NOCB,

/.ZAOB=ZAOD+ZBOD=2ZOCA+2ZOCB=a,

cc

ZOCA+ZOCB=—,

2

:.ZACB=-,

2

?.?4平分/84。，3/平分/ABC,

/.ZIAB=-ZCABZIBA=-ZCBA

2f2f

11(X

,ZIAB+AIBA=-(ZCAB+ZCBA)=-(180°-ZACB)=90°--,

a

ZAIB=180°-(ZIAB+ZIBA)=90°+—,

故選：B.

【點睛】本題考查的是線段的垂直平分線的性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理，掌握線段

的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，在AABC中，BDLAC,垂足為D,PQ是BC邊的垂直平分線，交8c于點Q,交AC

于點尸，AD=PD.若AABC的周長是28cm,CQ=6cm,則鉆+4)的長是.

【答案】8cmR厘米

【分析】先根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)得到=CP=PB,BC=2CQ=12Cm,再求出

AB+AC=16cm,AB+AP+BP=16cm,即可求出AB+AD=8cm.

【詳解】解：3DLAC,AD=PD,

即是線段AP的垂直平分線，

??AB=PB，

尸。是5c邊的垂直平分線，

/.CP=PBi5C=2CQ=12cm,

..AB=PB=PC,

41BC的周長是28cm,

AB+AC+BC—28cm,

??.AB+AC=2S-12=16cm,

即AB+AP+PC=AB+AP+BP=16cm,

.AB=PB,AD=PD,

AB+AZ)=8cm.

故答案為：8cm

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的定義和性質(zhì)，熟知線段垂直平分線的性質(zhì)和定義，結(jié)合題意

進(jìn)行線段的轉(zhuǎn)化是解題關(guān)鍵.

13.如圖，在AABC中，邊48的垂直平分線交于點E,邊8C的垂直平分線交BC于點先兩條

垂直平分線交于點P,連接24、PB、PC,若NPEF=20°,則ZAPC的度數(shù)為

【分析】利用線段垂直平分線的對稱特性與平角的定義來求解.

【詳解】作出頂點尸周圍各角的標(biāo)簽N1?N5.如下圖，

,?,點P是邊A3、邊3c垂直平分線的交點,

N4=N5,Z1+Z2=Z3.

???NPEF=20。，

：.Z2=90°-ZPEF=70°.

Z3=Z1+Z2=Z1+7O°,

.-.Z4=180°-(Z2+Z3)=180°-(Zl+140°)=40°-Z1.

即：Z5=40°-Zl.

Nl+/5=40°.

ZAPC=180°-(Zl+Z5)=180°-40°=140°.

【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)、鄰補角的定義、三角形內(nèi)角和等知識點，解題的關(guān)鍵

是善于把各個角之間的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.

軸對稱圖形

14.如圖，AABE和△ADC是"RC分別沿著AB,AC邊翻折180。形成的，若N1:—2:—3=15:3:2,

則/a的度數(shù)為（）

A.80°B.60°C.90°D.45°

【答案】C

【分析】根據(jù)Nl：/2:/3=15:3:2,Zl+Z2+Z3=180°,可求得N2和N3的度數(shù)，根據(jù)圖形折疊

的性質(zhì)，可求得NEBC和NDC3的度數(shù)，根據(jù)Na=NEBC+NDCB即可求得答案.

【詳解】?「Nl:12:/3=15:3:2,Zl+Z2+Z3=180°,

/.Zl=135°,N2=27。，Z3=18°.

V△河石和△ADC是AABC分別沿著相，AC邊翻折180。形成的,

二.N石R4=/2=27。，NOC4=23=18。.

/.ZEBC=AEBA+Z2=54°,Z.DCB=ZDCA+^3=36°.

/./2=/￡石。+/。8=54。+36。=90。.

故選：C.

【點睛】本題主要考查軸對稱圖形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)，牢記軸對稱

圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，直線/,機相交于點。，尸為這兩條直線外一點，且OP=3.若點尸關(guān)于直線/,根的對稱

點分別是點4，2,則4，2之間的距離可能是（）

m

P2

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】連接。&。￡,根據(jù)對稱性，得到鳥=。尸=3,利用三角形三邊關(guān)系定理計算選擇

即可.

【詳解】如圖，連接。&。舄，

根據(jù)對稱性，得到OPl=OP2=OP=3,

-：+乙，

.-,65<3+3=6,

故選A.

【點睛】本題考查了對稱性，三角形三邊關(guān)系定理，熟練掌握對稱性和三角形存在性是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，點P是/AO3內(nèi)部一點，點P,尸〃分別是點尸關(guān)于Q4,的對稱點，且PP'=8cm,

則APMN的周長為（）

P!A

uN\\B

P"

A.5cmB.6cmC.7cmD.8cm

【答案】D

【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得尸M=P'M,PN=P"N,再根據(jù)三角形的周長計算方法即可解答.

【詳解】解：,點P,尸"分別是點尸關(guān)于。4,的對稱點，

PM=PM,PN=P"N,

.,.△PW的周長=PM++PN=PM+MZV+P"N=PP"=8cm,

故選：D.

【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握對稱軸上的點與對應(yīng)點連線相等.

17.如圖，點P關(guān)于。4的對稱點是。，點P關(guān)于QB的對稱點是C,若N4C?=30。，則/OOC的度

數(shù)是.

【分析】根據(jù)對稱性得到ZAOP^ZAOD,ZBOC=ZBOP,利用NAOB的度數(shù)得到ZAOD和NBOC,

相加可得/DOC.

【詳解】解：連接。尸，

,點尸關(guān)于。4的對稱點是點尸關(guān)于。3的對稱點是C,

ZAOP=ZAOD,NBOC=NBOP,

：.ZAOD+ZBOC

=ZAOP+ZBOP

=ZAOB,

又ZAC?=30。，

ZDOC=ZAOD+ZBOC+ZAOB

=2ZAOB

=60。.

故答案為：60°.

【點睛】本題主要考查了軸對稱的性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出

ZAOD+ZBOC=ZAOB.

題型06等腰三角形

1

18.若等腰三角形邊長分別為6cm和3cm,則該等腰三角形的周長是（）

A.9cmB.12cmC.15cmD.12cm或15cm

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件和三角形三邊關(guān)系可知；等腰三角形的腰長不可能為3cm,只能為6cm,然

后即可求得等腰三角形的周長.

【詳解】解：①6cm為腰，3cm為底時，6+6+3=15cm；

②6cm為底，3cm為腰,

因為3+3<6,不符合三角形的兩邊之和大于第三邊,

所以應(yīng)舍去.

故其周長是15cm.

故選：C.

【點睛】此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的性質(zhì)及三角形的三邊關(guān)系的掌握情況.已知沒有明確腰

和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答,

這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，AABC的兩個外角平分線BZ）與CE交于點P,過點尸作肱交AC于點交8C于

點、N,且AM=7,BN=5.

⑴求證：點尸在/A的平分線上.

⑵求MN的長.

【答案】⑴見解析；（2）2

【分析】（1）過點尸作PbLAC于點/，PH,3c于點尸Q1AS于點Q,根據(jù)角平分線的性

質(zhì)定理，推理得「尸=「。，再根據(jù)角平分線的判定定理即可證點P在/A的平分線上；

（2）連接AP,根據(jù)角平分線和平行線，推出得NP=BN=5,中程出ZNBP=ZNPB,

得NP=BN=5,最后根據(jù)MN=MP-NP計算即可.

【詳解】（1）如下圖，過點尸作Pb,AC于點尸，PHLBC于點H,PQSAB于點Q,

?.'△ABC的兩個外角平分線BD與CE交于點P,

PF=PH,PH=PQ,

：.PF=PQ,

又?.?PF_LAC,PQ-LAB,

點尸在/A的平分線上

（2）如下圖，連接AP,

^]ZMAP=ZPAB,

■.■MN//AB,

:.ZMPA=ZPAB,（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

:.ZMPA=ZMAP,

，MP=AM=7,（在同一個三角形中，等角對等邊）

又〈BP平分NCBQ,

:.ZNBP=ZPBQ,

-.-MN//AB,

.-.ZNPB=ZPBQ,（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

:.ZNBP=ZNPB,

，NP=&V=5,（在同一個三角形中，等角對等邊）

:.MN=MP-NP=1-5=2

【點睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理和判定定理、平行線、等腰三角形判定，熟練掌握相關(guān)定

理、推理證明是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，在AASC中，AS=AC,/BAC=90。.點。是3C上一點，以AD為邊作使A￡>=A￡；,

NDAE=90。.連接CE并延長，過點A作AF的延長線于點H

備用圖

⑴判斷△ACF的形狀，并說明理由；

（2）求證：CD=2EF+BD.

【答案】（1）等腰直角三角形，理由見解析

（2）見解析

【分析】（1）由"SAS"可證/△ACE,可得/3=/ACE=45。，即可求解；

（2）先證四邊形AHCP是正方形，可得AF=.AH,由"HL”可證RtAAEF^RtAAOH，可得EF=DH,

即可求解.

【詳解】（1）解：△ACF是等腰直角三角形,理由如下：

■.■ZDAE=90°=ZCAE,ACAB,

:.ZDAB=ZCAE,ZB=ZACB=45°,

在△ABD和△ACE中，

AB=AC

<ZBAD=ZCAE,

AD=AE

「.△AB。之△ACE(SAS),

.\ZB=ZACE=45°f

\-AFLCE,

:.AF=CFf

「.△ACb是等腰直角三角形；

(2)證明：如圖，過點A作于H,

\-ZACE=ZACB=45°,

:.NFCB=90°,

又?.?AF_LC/，AH±BC,

:,AF=AH,

又?.?"=ZAHD=90。，AD=AE,

RtAAEF^RtAADH(HL),

.\EF=DH,

???AB=AC,ABAC=9Q°,AHLBC,

:.BH=CH,

:.CD=CH+HD=BH+DH=BD+2EF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的

關(guān)鍵.

21.數(shù)學(xué)課上，老師畫出一等腰△ABC并標(biāo)注：AB=AC=10fNA=30。，然后讓同學(xué)們提出有效

問題并解決請你結(jié)合同學(xué)們提出的問題給予解答.

圖1圖2圖3

⑴甲同學(xué)提出：/B=/C=度；

(2)乙同學(xué)提出：AABC的面積為：；

⑶丙同學(xué)提出：點。為邊的中點，DEJ.AB,DF1AC,垂足為E、F,請求出DE+DF的值;

⑷丁同學(xué)說受丙同學(xué)啟發(fā)，點。為邊上任一點，DEJ.AB,DF1AC,CH±AB,垂足為E、

F、H,則有。E+。/=C”.請你為丁同學(xué)說明理由.

【答案】⑴75。

⑵25

⑶5

⑷見解析

【分析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出結(jié)果即可；

(2)過點B作8HLAC,交AC于點H,根據(jù)30。角所對的直角邊等于斜邊的一半求出

BH=^AB=5,根據(jù)三角形面積公式求出巨.0=34028=(><10'5=25即可；

(3)先證明。￡=方，根據(jù)廠得出

=5(DE+DF),即5(DE+DF)=25,即可求出結(jié)果；

=SAABD+S^CD

(4)連接AD,根據(jù)三角形的面積公式得出

S^ACD=^ACDF,S^c=^ABCH,

根據(jù)以加+5.8=54枷，得出+?。歹=1人員。/,即尸)=即

可求出結(jié)果.

【詳解】(1)解：■.-AB=AC=1O,ZA=30°,

ZB=ZC=1(180°-NA)=75°；

(2)解：過點2作交AC于點區(qū)貝IJ：ZBHA=9Q°,

A

-,-AB=AC=109ZA=30°f

:.BH=-AB=5,

2

?-5AABC=|AC.B/7=1X10X5=25；

（3）解：連接A￡>,如圖所示：

?.?AB=AC,點。為邊BC的中點，

平分，B4C,

-.DE±AB,DF1AC,

：.DE=DF（角平分線的性質(zhì)）；

AB=AC=10,

S>ABD=5AB,DE,SJen=3AC-DF,

AABC（）（）

S=S4ABD+S^CD=^ABDE+^ACDF=^ACDE+DF=5DE+DF

由（2）知S&ABC=25,

.*.5（DE+r）F）=25,

DE+DF-5；

（4）證明：連接A。，如圖所示：

A

BDC

.DEJ.AB,DF，AC,CH上AB,

..SARD='AB.DE,SACD=—AC-DF,SABC=—AB-CH,

△ABD2AACIJ2△/IDC2

?'ABD+SAACD=AABC?AB=ACj

:.^ABDE+^ACDF=^ABCH,即：AB-(DE+DF)^AB-CH,

:.DE+DF=CH.

【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積的計算，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵

是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，準(zhǔn)確計算.

II

I題型07等邊三角形

■?

22.如圖，AACD是等邊三角形，若AB=DE=5,BC=AE,ZE=110°,貝='

【答案】130

【分析】由等邊三角形性質(zhì)得出AC=ARNG4D=60。，再由SSS證得AABC0AOEA,得出

ZBAC=ZADE,由三角形內(nèi)角和定理求出NBAC+/ZME=/ZME+NADE=70。，即可得出答案.

【詳解】解：：AACD是等邊三角形，

AC=AD,ZCAD=6Q°,

在AABC和△DE4中，

AB=DE

<BC=AE,

AC=AD

AABC\ADEA(SSS),

/.ZBAC=ZADE,

：.Z.BAC+Z.DAE=ZDAE+ZADE=180°-110°=70°,

ZBAE=ABAC+ZDAE+ZCAD=10°+6Q°=13Q°,

故答案為：130。.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識；熟

練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

23.【問題提出】在AABC和AOEC中，ZACB=ZDCE=60°,ZCBA=ZCAB,ZCED=ZCDE,點￡

在AABC內(nèi)部，直線AD與3E交于點尸，探究線段之間的數(shù)量關(guān)系.

【問題探究】

⑴先將問題特殊化.如圖(1),當(dāng)點，尸重合時，寫出一個等式表示AEBEC尸之間的數(shù)量關(guān)系，

并說明理由；

(2)再探究一般情形.如圖(2),當(dāng)點，尸不重合時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立，請證明.

【答案】(1)AF+CR=3R,見解析

⑵跖+仃=3下成立，見解析

【分析】(1)根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可知V3CE絲VACD(SAS),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即

可解答；

(2)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可知△CBM四△OW(ASA),再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)

即可解答.

【詳解】(1)解：AF+CF=BF,理由如下：

在AABC和ADEC中，

Z.CBA=NCAB/CED=NCDE,ZACB=NDCE=60°,

AABC和是等邊三角形，

AC=BC,CE=CD=DE,CF=DE.

-：ZACB=ZDCE=60。，

/.ZACB-ZACE=ZDCE-ZACE,

/.ZBCE=ZACD.

又「BC=AC,EC=DC,

/.VBCE^VACD(SAS),

BE=AD,

即BE=AF,AF+CF=BE+DE=BF,

即AF+CP=3P.

(2)證明：+B=3尸成立，理由如下：

如圖(2),將CP繞，點C逆時針旋轉(zhuǎn)60。交8尸于點

ZFCM=ZACB=6O°,

ZFCM-ZACM^ZACB-ZACM,

：.ZFCA=ZMCB,

由（1）可知，ABCE冬ACD,

NCBE=NCAD.

又：BC=AC,

Z\CBM^AC4F（ASA）,

CM=CF,BM=AF.

文:ZFCM=60°,

,ACMF是等邊三角形，

,CF=CM=MF,

：.AF+CF=BM+MF=BF,

即AF+CFuBF.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定

與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

24.如圖1,在等邊AABC中，點。是邊AC上的一點，連接B。，以為邊作等邊△3DE,連接

CE.

EE

圖1圖2

⑴求證：YBAD^VBCE；

（2）如圖2,過A,D,E三點分別作Ab于點凡D暇，3C于點M,ENLBC于點、N.求證：

AF=DM+EN；

⑶如圖3,AFIBC,垂足為點E若將點。改為線段"上的一個動點，連接8。，以為邊作

等邊ABDE,連接RE.當(dāng)AB=1時，直接寫出尸E的最小值.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

【分析】（1）由等邊三角形的性質(zhì)可得出34=3（7,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,即證明

ZABD=ZCBE,從而可由"SAS"證明VBAD^BCE；

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得出再根據(jù)S."C=SAABD+SADBC=S4BCE+SABCD'結(jié)合二

角形面積公式可得出即證明AF=DM+EN；

222

（3）連接EC,由全等三角形的性質(zhì)可得出/3CE.再根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得出

ZSAF=ZC4F=30°,BF=CF=-BC=-AB=-,即得出NBCE=N胴S=3。。，最后根據(jù)垂線段

222

最短即得當(dāng)EC時，所的值最小，止匕時所

24

【詳解】（1）證明：?：AABC,都是等邊三角形，

BA=BC,BD=BE,ZABC=ZDBE=60°,

ZABD=ZCBE.

BA=BC

在△ABD和MBE中，NABD=乙CBE,

BD=BE

VABD^VCBE(SAS)；

(2)證明：；AABD%CBE,

?-?v^^ABD=~q。/BE?

?Q—q-4-v—q-i-v

?一°AABD于◎&DBC—。ABCE丁◎.BCD，

又;AF±BGDM±BC,EN工BC,

-BCAF=-BCDM+-BCEN,

222

AF=DM+EN；

(3)解：連接EC,如圖

A

E

圖3

???AABD^ACBE,

ABAD=/BCE.

■.是等邊三角形，AFIBC,

：.ZBAF=ACAF=3Q°,BF=CF=-BC=-AB=-,

222

ZBCE=ZBAF=30°,

二點E在射線CE上運動(ZBCE=30°),

.?.當(dāng)EFJ_EC時，所的值最小，止匕時EF=』CP=!，

24

即所的最小值為。.

4

【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，垂線段最短，含30度角的直角

三角形的性質(zhì).熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定定理和性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.

優(yōu)選提升題

25.如圖，在四邊形A3CD中，AD//BC,AB=BC=4,AD=DC,連接BD,△BCD的面積為

20

y,點￡是邊AB邊上一動點，點尸在線段2。上，連接尸APE,則A4+PE的最小值是.

【答案】y

【分析】連接AC,CP,根據(jù)A5=3C,AD=DC,可得8。垂直平分AC,從而得到AP=CP,進(jìn)

而得到PC+PE的最小值為CE的長，且當(dāng)CE_LAB時，CE最小，再根據(jù)△ABDVAeg。，可得

20

S.D=S甌D=y，即可求解?

【詳解】解：如圖，連接AC,CP,

AB=BC,AD=DC,

..8。垂直平分AC,

AP=CP,

：.PA+PE=PC+PE>CE,

即PC+PE的最小值為CE的長，且當(dāng)CELAB時，CE最小,

AB^BC,AD=DC,BD=BD,

:?&ABDS△CBD,

?qt-型

??-0ABCD-3，

/.-ABCE=-x4CE=—,

223

CE=},即PA+PE的最小值為了.

故答案為：—

【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，熟練掌

握線段垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，邊長為4的等邊三角形ABC中，w是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,將線段

繞點2逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到3N,連接EW.則在點M運動過程中，線段長度的最小值是.

［分析］取CB的中點G,連接MG,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得8H=BG,再求出NHBN=NMBG,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=A?,然后利用“邊角邊"證明AMBG當(dāng)再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相

等可得H2V=MG,然后根據(jù)垂線段最短可得MG，CH時最短，再根據(jù)NBCH=3O。求解即可.

【詳解】解：取BC的中點G,連接MG,如圖所示：

ZMBH+ZHBN=60°,

又ZMBH+NMBC=ZABC=60°,

:.ZHBN=Z.GBM,

???CH是等邊AABC的高線，

:.HB=-AB,

2

:.HB=BG,

又?.?△仍旋轉(zhuǎn)到BN,

BM=BN,

在△MBG和ANBH中,

BG=BH

<NMBG=NNBH,

MB=NB

:.AMBG^NBH（SAS）,

\MG=NH,

根據(jù)垂線段最短，當(dāng)MG_LS時，MG最短，此時即最短，

111

VZBCH=-x60°=30°,CG=-AB=—x4=2,

222

在Rt^CG"中，/MCG=30°,ZCMG^90°,MG=-CG^-x2^1,

22

：.HN=MG=1,

故答案為：1.

【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性

質(zhì)，含30。的直角三角形等，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是