專題1.1等腰三角形?重難點題型

【北師大版】

【知識點1等腰三角形】

（D定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性質

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角“；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上

的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角杉的每個底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一個二角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊”）.

【題型1等腰三角形的性質（角度問題）】

【例11（2023?紹興）如圖，在△ABC中，ZA=40°,點。，E分別在邊4B,AC上，BD=BC=CE,連

結CQ,BE.

（1）若NABC=80°，求NBDC,N48E的度數(shù)；

（2）寫出N3EC與N8OC之間的關系，并說明理由.

【變式1-1］（2023春?益陽期末）如圖，已知N'A8C、N'ACV的平分線相交于點O,E/過點O且石尸〃VC.

(1)若N/WC=5()°,NACB=60°,求NBOC的度數(shù)；

(2)若NBOC=130°,Zl：Z2=3：2,求NA3C、NAC8的度數(shù).

【變式1-2](2023春?寧德期末)如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90°,CO是△ABC的高，BE

是△48C的角平分線，CD與BE交于點P.當NA的大小變化時，尸C的形狀也隨之改變.

(1)當NA=44°時，求NB尸。的度數(shù)；

(2)設乙4=x°,NEPC=y°,求變量)，與x的關系式；

(3)當△EPC是等腰三角形時，請直接寫出的度數(shù).

【變式1-3](2023秋?倉山區(qū)期中)如圖，在四邊形ABC。中，AC與8。相交于點E,AC=AD,ZBAC=

NBDC=a,ZCAD=p.

(1)求證：ZABD=ZADC,

(2)當NAEO=65°時，求0?2a的度數(shù);

(3)a+2p=180°時，求證：BD=CD.

【題型2等腰三角形的性質（周長問題）】

【例2】（2023秋?羅莊區(qū)期中）如圖，在△回（7中，AB=BC,中線4。將這個三角形的周長分成18和15

兩部分，則AC的長為

【變式2-1］（2023春?臥龍區(qū)期末）如圖，在△48C中，AB=AC,BC=4an,將△A8C沿8c方向平移得

到△加：/,若DE=6cm,EC=1cm,則四邊形A8FD的周長為cm.

【變式2-2］（2023秋?延津縣期中）一個等腰三角形的周長為28cm

（1）如果底邊長是腰長的1.5倍，求這個等腰三角形的三邊長：

（2）如果一邊長為1052,求這個等腰三角形的另兩邊長.

【變式2-3］（2023春?東營期末）如圖，在△ABC中，AB=AC,OE是邊48的垂直平分線，交AB于E、

A.\個B.2個C.3個D.4個

【變式3-2］（2023春?開福區(qū)校級期末）如圖，CE、C8分別是△ABC和△ADC的中線，且AC=43,則下

列結論中：①3C=8O：②NECB=/BCD；?ZACE=ZBDC,@CD=2CE.正確結論的序號

為

N4=40°,。為線段4c上一動點（不與點4,C重合），連接

AO,作NAQE=40°,OE交線段AC于E.以下四個結論:

①/CDE=/BAD；

②當。為8C中點時，DELAC；

③當NMD=30°時，BD=CE；

④當△AOE為等腰三角形時，ZBAD=30°.

其中正確的結論是.（把你認為正確結論的序號都填上）.

【題型4等腰三角形的性質（三線合一問題）】

【例4】（2023秋?紅花崗區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，AB=AC,。是BC邊上的中點，連結A。，BE

平分NA8C交AC于點E,過點E作EF//BC交AB于點F.

（I）若NC=40°,求/HAD的度數(shù);

(2)求證：FB=FE.

BDC

【變式4-1］（2023秋?伊犁州期末）如圖，已知：△A8C中，AB=AC,8。和CE分別是N4BC和NACB

的角平分線，且相交于。點.

①試說明△OBC是等腰三角形；

②連接試判斷直線CM與線段BC的關系，并說明理由.

【變式4-2］如圖，在△ABC中，點。是A8的中點，點尸是BC延長線上一點，連接

DF,交AC于點七，連接BE,ZA=ZABE

（1）求證：^￡）平分NAI?"：

（2）若A8=AC,NA=38°,求//的度數(shù).

【變式4-3］（2023春?宣漢縣期末）如圖，在等腰△A/3C中，AB=AC,4。是BC邊上的高，點￡、尸分別

是邊"、AC上的點，且律〃4c.

（1）試說明是等腰三角形；

（2）試比較?！昱c。尸的大小關系，并說明理由.

【題型5等腰三角形的判定（個數(shù)問題）】

【例5】（2023秋?匯川區(qū)期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A,8是兩格點，如

果C也是圖中的格點，且使得△ABC為等腰三角形，則符合條件的點。的個數(shù)是（）

【變式5-1］（2023秋?西華縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在y軸和x軸上，ZABO

=60°,在坐標軸上找一點尸，使得△心B是等腰三角形，則符合條件的尸點的個數(shù)是（）

【變式5-2］（2023春?薪春縣期中）己知在平面直角坐標系xQv中，O（0,0）,A（4,3）點6在x軸或y

軸上移動，若。、A、8三點可構成等腰三角形，則符合條件的8點有（）

A.9個B.8個C.7個D.6個

【變式5-3］如圖，在RtZXABC中，NACB=90°,NC4B=36'，以C為原點，AC所在直線為y軸，BC

所在直線為x軸建立平面直角坐標系，在坐標軸上取一點“使為等腰三角形，符合條件的M點

有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

【題型6等腰三角形的判定（證明問題）】

【例6】（2023春?新城區(qū)期中）如圖，在△A3C中，NA3C=9（T,點E在3C上，點尸在A8的延長線上,

連接AE,CR且AE=CF,BF=BE.求證：△A8C是等腰三角形.

【變式6-1］（2023秋?鼓樓區(qū)校級期中）如圖，在△A8C中，點E在A8上，點。在8c上，BD=BE,Z

BAD=/BCE,A。與CE相交于點F.

（1）證明：BA=BC；

（2）求證：△4FC為等腰三角形.

【變式6-2］（2023秋?包河區(qū)期末）如圖，在△ABC中，已知點。在線段AB的反向延長線上，過4c的中

點尸作線段GE交ND4c的平分線于E,交BC于G,且AE〃BC.

（1）求證：△ABC是等腰三角形.

（2）若AE=8,44=10,GC=2BG,求△AAC的周長.

BGC

【變式6-3］如圖：E在△ABC的4c邊的延長線上，。點在4B邊上，DE交BC于點F,DF=EF,BD=

CE.求證：ZVIBC是等腰三角形.（過。作。G〃A。交BC于G）

專題L1等腰三角形?重難點題型

【北師大版】

【知識點1等腰三角形】

（D定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性質

①等腰三角形的兩個底角相等，即“等邊對等角“；②等腰三角形頂角的平分線、底邊上的

中線與底邊上的高線互相重合（簡稱“三線合一”）.特別地，等腰直角三角形的每個底角

都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一個三角彩有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（即“等角對等邊“）.

【題型1等腰三角形的性質（角度問題）】

【例1】（2023?紹興）如圖，在△43C中，NA=40°,點、D,E分別在邊A8,AC上，BD

=BC=CE,連結CO,BE.

（1）若N4BC=80°,求N8。。，NA8E的度數(shù)；

（2）寫出N8EC與N8。。之間的關系，并說明理由.

【解題思路】⑴根據(jù)等腰三角形的性質得到/BQC=N8CO=bl80°-80°）=50°,

根據(jù)三角形的內角定理得到N4CB=180°-40°-80°=60°,推出△BCE是等邊三角

形，得到NE8C=60°,于是得到結論；

（2）根據(jù)等腰三角形的性質得到NCBE=NBEC=a,再根據(jù)△8OC的內角和等于180°,

求得,得出a+0的值，于是得到結論.

【解答過程】解：（11???N4BC=80°,BD=BC,

：.ZBDC=ZBCD=^(180°-80°)=50°,

???N4+N48C+NAC8=180°,NA=40°,

???NAC4=180°-40°-80°=60°,

,:CE=BC,

???△BCE是等邊三角形，

：.ZEBC=60a,

ZABE=ZABC-ZEBC=^°-60°=20°；

(2)N8EC與N8DC之間的關系：NBEC+NBDC=110°,

理由：設N8￡C=a,ZBDC=p,

在△ABE中，a=NA+NA3￡=40°+NABE,

,:CE=BC,

：,ZCBE=ZBEC=a,

；?AABC=ZABE+ZCBE=ZA+2ZABE=400+2ZABE,

在△BOC中，BD=BC,

AZBDC+ZBCD+ZD5C=23+400+2NA8E=180°,

AP=700-ZABE,

Aa+p=40°+ZARE+W-NABER100,

：.ZBEC+ZBDC=\\Q°.

【變式1-1](2023春?益陽期末)如圖，已知N48C、NAC8的平分線相交于點O,EF過

點O且EF//BC.

(1)若NABC=50°,NACB=60°,求NBOC的度數(shù)；

(2)若/8OC=130°,Zl：Z2=3：2,求NA8C、/AC8的度數(shù).

【解題思路】（I）由角平分線的定義可求解NOBC=25°,NOC8=30°,再利用三角

形的內角和定理可求解；

（2）由已知條件易求Nl,N2的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質即可得NO3C,NOC3的度

數(shù)，利用角平分線的定義可求解.

【解答過程】解：(1)〈/AB。和NAC8的平分線80與CO相交于點0,

11

所以/EBO=ZOBC=^ABC,NFCO=ZOCB=^ACB,

又N4BC=50°,NACB=60°,

???NO8C=25°,NOC8=30°,

???N3OC=1800-ZOBC-ZOCB=\25°；

(2)VZ^(?C=130°,

???N1+N2=5O°,

VZ1：Z2=3：2,

32

Azl=^x50°=30°,z2=^x50°=20°,

,:EF〃BC,

AZOBC=Z1=30°,ZOCB=Z2=20°,

???ZABC和ZACB的平分線BO與CO相交于點O,

???N4BC=60°,NACB=40°.

【變式1-2](2023春?寧德期末)如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90°,CO是

△ABC的高，BE是△.&3c的角平分線，CD與BE交于點P.當NA的大小變化時，△

EPC的形狀也隨之改變.

(1)當NA=44°時，求NBPO的度數(shù)；

(2)設NA=x°,ZEPC=y°,求變量y與x的關系式；

(3)當△EP。是等腰工角形時,靖直接寫出N人的度數(shù).

【解題思路】(1)根據(jù)等邊對等角求出等腰△ABC的底角度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義

得到N48E的度數(shù)，再根據(jù)高的定義得到/8。。=90°,從而可得尸。；

(2)按照(1)中計算過程，即可得到N4與NEPC的關系，即可得到結果：

(3)分①若EP=EC,②若PC=PE,③若CP=CE,三種情況，利用NABC+NBCO=

90°,以及產(chǎn)45+*解出4即可.

【解答過程】解—：(1)-AB=AC,NA=44°,

AZABC=ZACB=(180-44)04-2=68°,

VCDA.AB,

：.ZBDC=90°,

??浜平分N43C,

AZABE=ZCBE=34S,

/.ZBPD=90°-34°=56°；

(2)VZA=x°,

：.4ABC=(180-x)°+2=(90-分°,

*1Y

由(I)可得：NABP=RABC=145-充)°,ZBDC=90°,

AZEPC=y°=NBPD=90°-(45—1)°=(45+力°,

即)，與工的關系式為產(chǎn)45+至

(3)設/A=x°,ZEPC=y°,

①若EP=EC,

則NECP=N￡PC=＞，°,

而N八〃C-NACV-(90-?)°,XABC+ZBCD-W,

則有：(90-^)。+(90-^-y)。=90°,又)=45+1代入，

乙乙*

YVY

:.(90—今)。+(90-^)。-(45+》。=90。，

乙乙1

解得：x=36；

②若PC=PE,

則NPCE=NPEC=(180-y)°4-2=(90-分°,

由①得：NABC+NBCD=9G,

:.(90—?°+[(90-^)。-(90—白。]=90°,

LLL

又產(chǎn)45+左，代入，

解得：x=拳；

③若CP=CE,

則NEPC=NPEC=y°,ZPCE=180°-2/,

由①得：ZABC+ZBCD=90a,

:.(90-^)。+(90-巨。-(180-2y)。=90°,又)=45+[,代入，

解得：x=0,不符合，

180

綜上：當AEPC是等腰三角形時，N人的度數(shù)為36°或(=-)°.

【變式1-3](2023秋?倉山區(qū)期中)如圖，在四邊形4BCO中，4。與B。相交于點E,AC

=AD,/BAC=NBDC=a,ZCAD=p.

(1)求證：ZABD=ZADCt

(2)當NAEO=65°時，求0-2a的度數(shù);

(3)a+2p=180°時，求證：BD=CD.

【解題思路】(1)由24ED是△A8E和△CQE的外角，NBAC=/8OC=a可知NA8。

=ZACD,由4C=AO可得N4CO=N4OC,等量代換即可；

(2)根據(jù)/4EZ)是△COE的外角表示出的度數(shù)，由條件NAED=65°,進行變

形即可；

(3)延長84到R使AF=AC,通過SAS證△AOFgAAOC得FD=C。，再通過等邊

對等角證即可證出.

【解答過程】(1)證明：VAC-AD,

:.ZACD=ZADC,

■:ZAED是△43E和ACOE的外角，ZBAC=/BDC=a,

,NAED=^ABD+a=ZACD+a,

???ZABD=ZACD,

???ZACD=ZADC,

?\NABD=NAOC；

(2)\'AC=AD,ZC4D=P，

AZACD=1(180°-p)=90°-1/?,

*/ZAED是/\CDE的外角，NBDC=a,

/.ZAED=ZACD+a=90°-，+a,

'：ZAED=65°,

.,.90°-鼻+a=65°,

.,.p-2a=50c；

(3)解：延長BA到凡使AF=AC,連接FD,

VZBAC=a,ZCAD=p,

AZDAF=180°-a-p,

Va+2p=l80",

???ZDAF=1800-a-0=a+20-a-0=0=NQAC,

在△AO產(chǎn)和△AOC中

AF=AC

/.DAF=DAC，

AD=AD

/.(SAS)，

:?FD=CD,ZF=Z/4CD,

;由(1)得NABQ=NAC。,

AZF=NABD,

：,FD=BD,

：.CD=BD

【題型2等腰三角形的性質（周長問題）】

【例2】（2023秋?羅莊區(qū)期中）如圖，在△ABC中，AB=BC,中線AO將這個三角形的周

【解題思路】設AB=BC=2x,AC=y,則BD=CD=x,則有兩種情況，根據(jù)等腰三角

形的性質以及三角形三邊關系解答.

【解答過程】解：設A8=3C=2Y,AC=y,則8Q=CO=x,

???8C上的中線人。將這個三角形的周長分成18和I，兩部分，

，有兩種情況：

當3x=18且x+y=15時，

解得x=6,y=9,

即AC的長為9；

當x+y=18且3x=15時，解得x=5,y=13,

此時腰為10,

即AC的長為13.

綜上所述，AC的長為9或13.

故答案為：9或13.

【變式2-1］（2023春?臥龍區(qū)期末）如圖，在灰？中，AB=AC,BC=4on,將△ABC沿

方向平移得到△OEF,若DE=6cm,EC=\cm,則四邊形的周長為22cv〃.

【解題思路】根據(jù)平移的基本性質，得出四邊形ABFD的周長=AO+/W開8曰■。產(chǎn)=

3+6+7+6,即可得出答案.

【解答過程】解：根據(jù)題意，將△ABC沿BC方向平移得到△￡）￡r,

:?AD=CF=BE,BF=BC+CF,DE=AB=AC=DF=6cm；

又???8C=4a〃，EC=lcm,

:.BE=BC-EC=3cm,

???AD=CF=BE=3cm,BF=BC+CF=1cm,

：.四邊形ABFD的周長=4O+A8+8/+。/=3+6+7+6=22cm.

故答案為22.

【變式2?2】（2023秋?延津縣期中）一一個等腰三角形的周長為28o〃.

（I）如果底邊長是腰長的1.5倍，求這個等腰三角形的三邊長；

（2）如果一邊長為IOC/H,求這個等腰三角形的另兩邊長.

【解題思路】（1）設腰長=。c〃，則底邊長=1.5皿人代入求出即可;

（2）已知條件中，沒有明確說明已知的邊長是否是腰長，所以有兩種情況討論，還應判

定能否組成三角形.

【解答過程】解：（1］設腰長則底邊長=1.5〃°〃，

???三角形的周長是28?！?，

:.〃+。+1.5ci=28>

**?a=8,

1.567=12,

???這個等腰三角形的三邊長分別為8C〃38c/n,12C/M：

（2）①底邊長為IOc〃i,則腰長為：（28-10）+2=9,所以另兩邊的長為9M7,9cm,

能構成三角形；

②腰長為10?！?，則底邊長為：28-10X2=8,以另兩邊的長為10c〃z,8c，”,能構成三角

形.

因此另兩邊長為9cm,9cm或10cm，8c〃?.

【變式2-3］（2023春?東營期末）如圖，在△43C中，AB=AC,OE是邊A4的垂直平分線,

交A8于&交AC于D,連接BD.

（1）若NA=40°,求NQBC的度數(shù)；

（2）若△8CQ的周長為16?！?，ZVIBC的周長為26。m，求4C的長.

【解題思路】（1）首先計算出N48C的度數(shù)，再根據(jù)線段垂直平分線上任意一點，至IJ線

段兩端點的距離相等可得'/）=/，）.進而可得/A/，）=/4=40°,然后可得答案：

（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質可得AE=BE,然后再計算出AC+BC的長，

再利用△ABC的周長為26cm可得AB長，進而可得答案.

【解答過程】解:（1）-：AB=AC,

???/ABC=NC,ZA=40°，

AZABC=180°~￡A=70°,

???QE是邊4B的垂直平分線，

:,DA=DB,

：,ZDBA=ZA=4()°,

：.ZDBC=ZABC-ZDBA=1Q°-40°=30°；

(2)?△BCD的周長為16cm,

:?BC+CD+BD=16,

???BC+CO+AQ=16,

：.BC+CA=\6,

???AABC的周長為26。%

：.AB=26-BC-CA=26-16=10,

???4C=A8=10,

：.BC=26-AB-AC=26-10-\0=6cm.

【題型3等腰三角形的性質(多結論問題)】

【例3】(2023春?商河縣期末)如圖,△A8C中，AB=AC,N列=40°,L為線段3c上一

動點（不與點兒C重合），連接人4作/AA月=40°,/亞交線段人C于凡以下四個

結論：①/CDE=/BAD；②當。為8c中點時，Q￡_LAC：③當△AOE為等腰三角形時,

ZBAD=20°；④當/胡。=30°時，BD=CE.其匚正確的結論的個數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【解題思路】根據(jù)等腰三角形的性質得到N8=NC=40°,根據(jù)三角形的內角和和平角

的定義即可得到NBA0=NC7)E根據(jù)等腰三角形的性質得到4OJ_BC,根據(jù)三角形的

內角和即可得到OEL4C；根據(jù)三角形外角的性質得到NAEO>40°,求得NAOEWN

AED,根據(jù)等腰三角形的性質和三角形的內角和得到N8AD=60°,根據(jù)全等三角形的

性質得到BD=CE.

【解答過程】解：①??NB=AC,

/.ZB=ZC=40°,

???N/MD=1800-40"-ZADI3,ZCDE=180°-40°-NADB,

：,ZBAD=ZCDE；故①正確；

②為8c中點，AB=AC,

：.AD±BC,

???N4QC=90°,

AZCDE=50°,

VZC=40°,

AZDEC=90°,

：.DELAC,故②正確；

③???/。=40°,

AZAED>40°,

???N/1QEKNAED,

?「△?￡)￡1為等腰三角形，

**?AE=DEr

：.ZDAE=ZADE=W,

???/B4C=180°-40°-40°=100°,

/.ZBAD=60°,

或???△AQE為等腰三角形，

:?AD=DE,

：.ZlDAE=Z：AED=70a

VZBAC=180°-40°-40°=100°,

/.ZBAD=30°,

故③錯誤，

@VZBAD=30°,

AZCD￡=30°,

AZ/\DC=70°,

AZCAD=i80c-70c-40°=70°,

：.ZDAC=ZADC,

：,CD=AC,

*：AR=AC,

：,CD=AB,

：,(ASA),

；?BD=CE；故④正確；

【變式3?1】（2023春?宿州期中）如圖所示,在△ABC中,AB=ACfA。是△A8C的角平分

線，DEA.AB,DF±AC,垂足分別為E、F,則下列四個結論中，①人占上一點與/C上

一點到。的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③NBDE=NCDF；④

BD=CD,ADYBC.其中正確的個數(shù)是（）

【解題思路】根據(jù)等邊對等角的性質可得N3=NC,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的

距離相等可得4。上的點到AB、AC兩邊的距離相等，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性

質可得8。=。。，AD1BC,然后對各小題分析判斷解答即可.

【解答過程】解：???A8=AC,

?.?A。是△A8C的角平分線，DELAB,DFA.AC,

???A8上一點與AC上一點到。的距離相等錯誤；AO上任意一點到A8、AC的距離相等

正確，故①錯誤，②正確；

又???/8。七=90°-ZB,ZCDF=90°-ZC,

:.BDE=NCDF,故③正確：

根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，BD=CD,ADLBC,故④正確，

綜上所述，正確的結論有②③④共3個.

故選：C.

【變式3-2］（2023春?開福區(qū)校級期末）如圖，CE、C4分別是AA3c和△AQC的中線，且

AC=AB,則下列結論中：①BC=BD；②/ECB=NBCD；③NACE=NBOC；?CD=

2CE.正確結論的序號為②③④..

【解題思路】取QC的中點R連接則?！?gt;=2CF,通過證明△CE8出△CF3可判定

②@,結合三角形外角的性質可判定③，根據(jù)已知條件無法判定①.

【解答過程】解：取OC的中點F,連接8F,則C7）=2CE

???8尸為△人CO的中位線，

ABF//AC,AC=?BF,

：?4CBF=ZACB,

*：AB=ACfE為48的中點,

：?AE=BE=BF,ZABC=ZACB=ZCBF,

?：CB=CB,

:.ACEB迫ACFB(SAS),

工CE=CF,NECB=NBCD,故②正確；

.\CD=2CE,故④正確；

VZABC=ZACB,ZACB=ZBDC+ZBCD,ZABC=ZACE+ZECB,

，ZACE+ZECB=ZBDC+ZBCD,

*/ZECB=/BCD,

/.ZACE=ZBDC,故③正確；

根據(jù)已知條件無法證明3C=4Q,故①錯誤.

故答案為②③④.

【變式3-3］如圖，△ABC中，AB=AC,NB=40°,。為線段BC上一動點(不與點8,

。重合)，連接A。，作NAOE=40°,?！杲痪€段AC于￡.以下四個結論：

①NCDE=/BAD；

②當。為中點時，DE1AC；

③當NBAO=30°時，BD=CE；

④當△AQE為等腰三角形時，N8AQ=30°.

角的定義即可得到N3AQ=NCOE;故①正確；

②根據(jù)等腰三角形的性質得到人力_L9C,根據(jù)三角形的內角和即可得到-八C,故②正

確；

③根據(jù)全等三角形的性質得到8。=?！?；故③正確；

④根據(jù)三角形外角的性質得到NAED>4()°,求得//lOEWNAE。，根據(jù)等腰三角形的

性質和三角形的內角和得到/曲。=60°,故④錯誤.

【解答過程】解：①???AB=AC,

??.N4=NC=40°,

???NBAO=18(T-4(T-NADB,ZCDE=180u-40v-/ADB,

???NA4D=NCOE；故①正確；

②???。為8c中點，AB=AC,

：.AD1BC,

???/AOC=90°,

：.ZCDE=50°,

VZC=40°,

AZD￡C=90°，

：.DE±AC,故②正確；

@VZBAD=30°,

：.ZCDE=30°,

AZADC=70°,

AZCAD=1800-70c-40°=70°,

：.ZDAC=ZADC,

：.CD=AC,

\,AB=AC,

???CD=AB,

/.AABD^ADCE(ASA),

:.BD=CE；故③正確；

@VZC=40°,

/.ZAED>40°,

JZADE^ZAED,

???△/IDE為等腰三角形，

：.AE=DE,

：.ZDAE=ZADE=4Ga,

VZB>AC=180°-40°-40°=100°,

???N84O=60°,故④錯誤，

故答案為：①②③.

【題型4等腰三角形的性質(三線合一問題)】

【例4】(2023秋?紅花崗區(qū)校級期中)如圖，在AABC.中，A8=AC,。是8c邊上的中點,

連結AQ,4七平分NABC交AC于點E,過點七作交A8于點凡

(I)若NC=40°,求/用的度數(shù)；

(2)求證：FB=FE.

【解題思路】(1)利月等腰三角形的三線合一的性質證明NAQ5=9(r,再利用等腰三

角形的性質求出/A8c即可解決問題.

(2)只要證明NFBE=NbEB即可解決問題.

【解答過程】解：???AB=ACZC=40°

???N48C=NC=40°,

?:BD=CD,AB=AC,

：.AD±BC,

???NAQ3=90°,

：.ZBAD=900-NABC=90°-40°=50°.

(2)證明：:BE平分N48C,

???NABE=NCBE=^ZABC,

YEFHBC,

:?NFEB=NCBE,

:?/FBE=/FEB,

：.FB=FE.

【變式4-1](2023秋?伊型州期末)如圖，已知：△A8C中，AB=AC,和CE分別是N

ABC和/ACB的角平分線，且相交于。點.

①試說明△O8C是等腰三角形；

②連接試判斷直線OA與線段8c的關系，并說明理由.

【解題思路】①根據(jù)對邊對等角得到NA8C=NACB,再結合角平分線的定義得到NOBC

=NOCB,從而證明08=0C；

②首先根據(jù)全等三角形的判定和性質得到OA平分NBAC,再根據(jù)等腰三角形的三線合一

的性質得到直線AO垂直平分BC.

【解答過程】解:①??'在△ABC中,AB=ACt

:.NABC=NBCA；

?:BD、CE分別平分NA8C、N8C4,

：./OBC=/BCO；

：,OB=OC,

???△OBC為等腰三角形.

②在AAOB與△4OC中.

(AB=AC

,:AO=AO,

(B。=CO

???△AOBdAOC(S55)；

：,ZBAO=ZCAO；

???直線AO垂直平分8C.(等腰三角形頂角的平分線、底邊.上的高、底邊上的中線互相

重合)

解*去二：-：OB=OC,AR=AC,

???OA垂直平分線段BC.

【變式4-2］如圖，在AA8c中，點。是A3的中點，點少是3c延長線上一點，連接

DF,交AC于點區(qū)連接BE,ZA=ZABE

(1)求證：ED平分/AEB；

(2)若A8=AC,NA=38°,求/r的度數(shù).

【解題思路】(1)利用等腰三角形的三線合一即可解決問題.

(2)根據(jù)等腰三角形的性質求出NABE,證明N8。產(chǎn)=90°.

【解答過程】(1)證明：???/A=NA8E,

：?EA=EB,

■:AD=DB,

JOE是NAEB的平分線.

(2)解：VZA=38°,

???/"￡：=NA=38°,

???AB=AC,

AZABC=ZACB=1\0,

?:EA=EB,AD=DB,

：?ED工AB,

"=90°-N4BC=I9°.

【變式4-3］（2023春?宣漢縣期末）如圖，在等腰△48C中，AB=AC,AO是邊上的高,

點E、〃分別是邊48、AC上的點，且EF//BC.

（I）試說明尸是等腰三角形；

（2）試比較。E與。尸的大小關系，并說明理由.

【解題思路】（I）首先利用等腰三角形的性質得到//3=NC,再結合平行線的性質得

到利用等角對等邊即可證得；

（2）根據(jù)等腰三角形三線合一的性質證得AZ）是線段EF的垂直平分線，然后根據(jù)線段

的垂直平分線的性質跳可證得.

【解答過程】解：⑴TEFV/BC,

/.ZAEF=ZB,ZAFE=ZC.

又??Y8=AC,

:.NB=NC,

???NAEF=NAFE,

：.AE=AF,即ZVIEF是等腰三角形；

（2）DE=DF.理由如下:

-AD是等腰三角形ABC的底邊上的高，

：.AD也是N/MC的平分線.

又???△/!￡?是等腰三角形，

：-AG是底邊七廠上的高和中線，

：.ADLEF,GE=GF,

???4D是線段￡尸的垂直平分線，

：.DE=DF,

【題型5等腰三角形的判定（個數(shù)問題）】

【例5】（2023秋?匯川區(qū)期末）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，網(wǎng)格的交點稱為格點，已知A,

3是兩格點，如果C也是圖中的格點，且使得6c為等腰三角形，則符合條件的點C

的個數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

【解題思路】分A3是腰長時，根據(jù)網(wǎng)格結構，找出一個小正方形與A、3頂點相對的頂

點，連接即可得到等腰三角形，是底邊時，根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點

的距離相等，4B垂直平分線上的格點都可以作為點C,然后相加即可得解.

【解答過程】解：①AB為等腰△48C底邊時，符合條件的C點有4個；

②4B為等腰△ABC其中的一條腰時，符合條件的。點有4個.

故選：C.

【變式5-1］（2023秋?由華縣期中）如圖，在平面直角坐標系中，點A,B分別在），軸和x

軸上，NABO=60。，在坐標軸上找一點P,使得△以4是等腰三角形，則符合條件的。

點的個數(shù)是（）

【解題思路】分類討論：A8=”時，A8=8P時，”=8尸時，根據(jù)兩邊相等的三角形

是等腰三角形，可得答案.

【解答過程】解：①當48=4尸時，在），軸上有2點滿足條件的點P,在x軸上有I點滿

足條件的點P.

②當時，在y軸上有1點滿足條件的點P,在x軸上有2點滿足條件的點P,有

1點與AB=AP時的x釉正半軸的點P重合.

③當AP=8P時，在x軸、），軸上各有一點滿足條件的點P,有I點與A8=AP時的4軸

正半軸的點P重合.

綜上所述：符合條件的點P共有6個.

故選：B.

【變式5-2］（2023春?新春縣期中）已知在平面直角坐標系xQv中，O（0,0）,A（4,3）

點3在x軸或），軸上移動，若O、A、B三點可構成等腰三角形,則符合條件的B點有（）

A.9個B.8個C.7個D.6個

【解題思路】分三種情況說明：①以點。為圓心，OA長為半徑畫圓，與x軸、），軸有4

個交點，②以點A為圓心，長為半徑交/軸和y軸的正半軸有2個點，③作04的垂

直平分線交x軸和），軸的正半軸有2個點，即可得符合條件的B點個數(shù).

【解答過程】解：分三種情況說明：

①以點。為圓心，Q4長為半徑畫圓，

與x軸、y軸有4個交點，

這4個交點分別與點0、A構成4個等腰三角形；

②以點4為圓心，0A氏為半徑交x軸和y軸的正半軸有2個點，

這2個交點分別與點0、A構成2個等腰三角形：

③作OA的垂直平分線交工軸和1y軸的正半軸有2個點，

這2個交點分別與點0、A構成2個等腰三角形；

綜上所述：符合條件的8點有：4+2+2=8（個）.

故選：B.

【變式5-3］如圖，在RtAABC中，/4CB=90°,NG4B=36°,以。為原點，4c所在

直線為y軸，BC所在在線為x軸建立平面直.角坐標系，在坐標軸上取一點M使△MA8

為等腰三角形，符合條件的M點有（）

A.6個B.7個C.8個D.9個

【解題思路】根據(jù)等腰三角形的判定，“在同一三角形中，有兩條邊相等的三角形是等

腰三角形（簡稱：在同一三角形中，等邊對等角）”分三種情況解答即可.

【解答過程】解：如性，

①以A為圓心，/W為半徑畫圓，交直線AC有二點M,M2,交BC有一點M3,（此時

AB=AM）；

②以8為圓心，84為半徑畫圓，交宜線8C有二點Ms,M4,交AC有一點“6（此時8M

=BA）.

③AB的垂直平分線交AC一點M7=,交直線8C于點Ms；

???符合條件的點有8個.

故選：C.

y

【題型6等腰三角形的判定（證明問題）】

【例6】（2023春?新城區(qū)期中）如圖，在△ABC中，乙4BC=90"，點七在BC上，點尸在

43的延長線上，連接A￡,CF,KAE=