人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)PAGEPAGE12.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式.通過求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究中段導(dǎo)彈防御系統(tǒng)是用來對(duì)敵方彈道導(dǎo)彈進(jìn)行探測(cè)和跟蹤，然后發(fā)射攔截導(dǎo)彈，在敵方彈道導(dǎo)彈尚未到達(dá)目標(biāo)之前，在空中對(duì)其進(jìn)行攔截并將其摧毀.假若導(dǎo)彈的飛行路線是一條直線，攔截導(dǎo)彈的飛行路線也是直線，則被攔截的一瞬間即為兩直線相交的過程.問題把上述問題放在平面直角坐標(biāo)系中，如何求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？〖提示〗分別求出兩導(dǎo)彈飛行路線所在的直線方程，聯(lián)立解方程組即可求出交點(diǎn)坐標(biāo).1.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行2.兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式非常重要，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記條件點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)結(jié)論|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)特例點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0，0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2)3.利用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題的基本步驟eq\x(\a\al(第一步：建立,坐標(biāo)系，用坐,標(biāo)表示有關(guān)的量))→eq\x(\a\al(第二步：進(jìn)行,有關(guān)代數(shù)運(yùn)算))→eq\x(\a\al(第三步：把代數(shù),運(yùn)算的結(jié)果“翻,譯”成幾何結(jié)論))拓展深化〖微判斷〗1.若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.(√)2.無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交.(×)〖提示〗當(dāng)m＝eq\f(1,2)時(shí)兩直線平行.〖微訓(xùn)練〗1.直線x－y＋2＝0與直線x＋y－8＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(3，－5) B.(－3，5)C.(3，5) D.(－3，－5)〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x＋y－8＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))故交點(diǎn)為(3，5).〖答案〗C2.光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的距離為()A.5eq\r(2) B.2eq\r(5)C.5eq\r(10) D.10eq\r(5)〖解析〗∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，－5)，∴|A′B|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10)，由光的反射理論可知，此即為光線從A到B的距離.〖答案〗C〖微思考〗1.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與坐標(biāo)順序是否有關(guān)？〖提示〗無關(guān).在計(jì)算公式中x2與x1，y2與y1的位置可以互換，不影響計(jì)算結(jié)果.2.式子eq\r(x2＋y2)的幾何意義是什么？〖提示〗式子eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（x－0）2＋（y－0）2)表示平面上的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離.3.當(dāng)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐標(biāo)軸上時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式還適用嗎？〖提示〗適用.當(dāng)兩點(diǎn)都在x軸上時(shí)，|AB|＝|x1－x2|；當(dāng)兩點(diǎn)都在y軸上時(shí)，|AB|＝|y1－y2|.題型一兩直線的交點(diǎn)問題〖例1〗求經(jīng)過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l的方程.解法一由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，2).∵直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直線方程為y＝－x，即x＋y＝0.法二∵l2不過原點(diǎn)，∴可設(shè)l的方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.將原點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直線l的方程為5x＋5y＝0，即x＋y＝0.規(guī)律方法求與已知兩直線的交點(diǎn)有關(guān)的問題，可有以下兩種解法：(1)先求出兩直線交點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線，然后再依其他條件求解.(2)運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解.〖訓(xùn)練1〗求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.解法一由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2).∵l⊥l3，l3的斜率為eq\f(3,4)，∴kl＝－eq\f(4,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l與l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.題型二兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用〖例2〗(1)已知點(diǎn)A(－3，4)，B(2，eq\r(3))，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知△ABC三頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀.解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則有|PA|＝eq\r(（x＋3）2＋（0－4）2)＝eq\r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq\r(（x－2）2＋（0－\r(3)）2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))\s\up12(2)＋（0－4）2)＝eq\f(2\r(109),5).(2)法一∵|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.規(guī)律方法平面上兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用類型(1)已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解.(2)利用兩點(diǎn)間距離公式可以判定三角形的形狀.從三邊長(zhǎng)入手，如果邊長(zhǎng)相等，則可能是等腰或等邊三角形，如果滿足勾股定理，則是直角三角形.〖訓(xùn)練2〗(1)已知點(diǎn)A(3，6)，在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于10，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求證：△ABC是等腰三角形.(1)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由|PA|＝10，得eq\r(（x－3）2＋（0－6）2)＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，0)或(11，0).(2)證明∵|AB|＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，∴|AC|＝|BC|.又∵點(diǎn)A，B，C不共線，∴△ABC是等腰三角形.題型三坐標(biāo)法的應(yīng)用〖例3〗求證：三角形的中位線長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半.證明如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點(diǎn).設(shè)A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|.又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝|eq\f(c,2)|，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位線長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半.規(guī)律方法用〖解析〗法解題時(shí)，雖然平面圖形的幾何性質(zhì)不依賴于直角坐標(biāo)系的建立，但不同的直角坐標(biāo)系會(huì)使我們的計(jì)算有繁簡(jiǎn)之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必須“避繁就簡(jiǎn)”.〖訓(xùn)練3〗已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c).∴|AC|＝eq\r(（b－0）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(（a－b－a）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0，亦即兩條直線相交的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0.直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線(不含l2).3.〖解析〗法又稱為坐標(biāo)法，它就是通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)代替點(diǎn)、用方程代替曲線、用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì)的方法.4.兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)，其反映了把幾何問題代數(shù)化的思想.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,3x＋5y－6＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,3)，,y＝1.))故交點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1)).〖答案〗B2.經(jīng)過直線2x－y＋4＝0與x－y＋5＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線x－2y＝0的直線方程是()A.2x＋y－8＝0 B.2x－y－8＝0C.2x＋y＋8＝0 D.2x－y＋8＝0〖解析〗聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－y＋4＝0，,x－y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝6.))∴交點(diǎn)坐標(biāo)為(1，6).由垂直關(guān)系，得所求直線的斜率為－2，則所求直線方程為y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.〖答案〗A3.已知A(－1，0)，B(5，6)，C(3，4)三點(diǎn)，則eq\f(|AC|,|CB|)的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.3 D.2〖解析〗由兩點(diǎn)間的距離公式，得|AC|＝eq\r([3－（－1）]2＋（4－0）2)＝4eq\r(2)，|CB|＝eq\r(（3－5）2＋（4－6）2)＝2eq\r(2)，故eq\f(|AC|,|CB|)＝eq\f(4\r(2),2\r(2))＝2.〖答案〗D4.不論m取何實(shí)數(shù)，直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0恒過定點(diǎn)________.〖解析〗由直線(m＋2)x－(m＋1)y＋m＋1＝0變形為m(x－y＋1)＋(2x－y＋1)＝0，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,2x－y＋1＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))∴該直線過定點(diǎn)(0，1).〖答案〗(0，1)5.已知兩條直線l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0，試分別確定m，n的值，使：(1)l1與l2相交于一點(diǎn)P(m，1)；(2)l1∥l2且l1過點(diǎn)(3，－1)；(3)l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1.解(1)由于l1與l2相交于一點(diǎn)P(m，1)，故把點(diǎn)P(m，1)代入l1，l2的方程得m2＋8＋n＝0，2m＋m－1＝0，聯(lián)立解得m＝eq\f(1,3)，n＝－eq\f(73,9).(2)∵l1∥l2且l1過點(diǎn)(3，－1)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m2－8×2＝0，,8×（－1）－mn≠0，,3m－8＋n＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n＝－4))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n＝20.))(3)由l1⊥l2且l1在y軸上的截距為－1，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m＋8m＝0，,－\f(n,8)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝0，,n＝8.))2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.3.2兩點(diǎn)間的距離公式課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.能用解方程組的方法求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.探索并掌握平面上兩點(diǎn)間的距離公式.通過求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)及兩點(diǎn)間的距離，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).新知探究中段導(dǎo)彈防御系統(tǒng)是用來對(duì)敵方彈道導(dǎo)彈進(jìn)行探測(cè)和跟蹤，然后發(fā)射攔截導(dǎo)彈，在敵方彈道導(dǎo)彈尚未到達(dá)目標(biāo)之前，在空中對(duì)其進(jìn)行攔截并將其摧毀.假若導(dǎo)彈的飛行路線是一條直線，攔截導(dǎo)彈的飛行路線也是直線，則被攔截的一瞬間即為兩直線相交的過程.問題把上述問題放在平面直角坐標(biāo)系中，如何求解兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)？〖提示〗分別求出兩導(dǎo)彈飛行路線所在的直線方程，聯(lián)立解方程組即可求出交點(diǎn)坐標(biāo).1.直線的交點(diǎn)與直線的方程組成的方程組的解的關(guān)系(1)兩直線的交點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)既滿足直線l1的方程A1x＋B1y＋C1＝0，也滿足直線l2的方程A2x＋B2y＋C2＝0，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解，解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).(2)兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行2.兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式非常重要，請(qǐng)同學(xué)們一定要牢記條件點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)結(jié)論|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)特例點(diǎn)P(x，y)到原點(diǎn)O(0，0)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2)3.利用“坐標(biāo)法”解決平面幾何問題的基本步驟eq\x(\a\al(第一步：建立,坐標(biāo)系，用坐,標(biāo)表示有關(guān)的量))→eq\x(\a\al(第二步：進(jìn)行,有關(guān)代數(shù)運(yùn)算))→eq\x(\a\al(第三步：把代數(shù),運(yùn)算的結(jié)果“翻,譯”成幾何結(jié)論))拓展深化〖微判斷〗1.若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解.(√)2.無論m為何值，x－y＋1＝0與x－2my＋3＝0必相交.(×)〖提示〗當(dāng)m＝eq\f(1,2)時(shí)兩直線平行.〖微訓(xùn)練〗1.直線x－y＋2＝0與直線x＋y－8＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A.(3，－5) B.(－3，5)C.(3，5) D.(－3，－5)〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,x＋y－8＝0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝5.))故交點(diǎn)為(3，5).〖答案〗C2.光線從點(diǎn)A(－3，5)射到x軸上，經(jīng)反射以后經(jīng)過點(diǎn)B(2，10)，則光線從A到B的距離為()A.5eq\r(2) B.2eq\r(5)C.5eq\r(10) D.10eq\r(5)〖解析〗∵點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A′(－3，－5)，∴|A′B|＝eq\r(（－3－2）2＋（－5－10）2)＝5eq\r(10)，由光的反射理論可知，此即為光線從A到B的距離.〖答案〗C〖微思考〗1.平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式與坐標(biāo)順序是否有關(guān)？〖提示〗無關(guān).在計(jì)算公式中x2與x1，y2與y1的位置可以互換，不影響計(jì)算結(jié)果.2.式子eq\r(x2＋y2)的幾何意義是什么？〖提示〗式子eq\r(x2＋y2)＝eq\r(（x－0）2＋（y－0）2)表示平面上的點(diǎn)(x，y)到原點(diǎn)的距離.3.當(dāng)兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)都在同一坐標(biāo)軸上時(shí)，兩點(diǎn)間距離公式還適用嗎？〖提示〗適用.當(dāng)兩點(diǎn)都在x軸上時(shí)，|AB|＝|x1－x2|；當(dāng)兩點(diǎn)都在y軸上時(shí)，|AB|＝|y1－y2|.題型一兩直線的交點(diǎn)問題〖例1〗求經(jīng)過兩直線l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交點(diǎn)且過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l的方程.解法一由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,2x＋y＋2＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝2，))即l1與l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，2).∵直線過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴其斜率k＝eq\f(2,－2)＝－1.故直線方程為y＝－x，即x＋y＝0.法二∵l2不過原點(diǎn)，∴可設(shè)l的方程為3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0.將原點(diǎn)坐標(biāo)(0，0)代入上式，得λ＝1，∴直線l的方程為5x＋5y＝0，即x＋y＝0.規(guī)律方法求與已知兩直線的交點(diǎn)有關(guān)的問題，可有以下兩種解法：(1)先求出兩直線交點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為過定點(diǎn)的直線，然后再依其他條件求解.(2)運(yùn)用過兩直線交點(diǎn)的直線系方程：若兩直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交點(diǎn)，則過l1與l2交點(diǎn)的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ為待定常數(shù)，不包括直線l2)，設(shè)出方程后再利用其他條件求解.〖訓(xùn)練1〗求經(jīng)過兩直線l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交點(diǎn)P，且與直線l3：3x－4y＋5＝0垂直的直線l的方程.解法一由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2).∵l⊥l3，l3的斜率為eq\f(3,4)，∴kl＝－eq\f(4,3)，∴直線l的方程為y－2＝－eq\f(4,3)x，即4x＋3y－6＝0.法二∵直線l過直線l1和l2的交點(diǎn)，∴可設(shè)直線l的方程為x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0.∵l與l3垂直，∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11，∴直線l的方程為12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0.題型二兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用〖例2〗(1)已知點(diǎn)A(－3，4)，B(2，eq\r(3))，在x軸上找一點(diǎn)P，使|PA|＝|PB|，并求|PA|的值；(2)已知△ABC三頂點(diǎn)坐標(biāo)A(－3，1)，B(3，－3)，C(1，7)，試判斷△ABC的形狀.解(1)設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，則有|PA|＝eq\r(（x＋3）2＋（0－4）2)＝eq\r(x2＋6x＋25)，|PB|＝eq\r(（x－2）2＋（0－\r(3)）2)＝eq\r(x2－4x＋7).由|PA|＝|PB|，得x2＋6x＋25＝x2－4x＋7，解得x＝－eq\f(9,5).故所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)，0)).|PA|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,5)＋3))\s\up12(2)＋（0－4）2)＝eq\f(2\r(109),5).(2)法一∵|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，又|BC|＝eq\r(（1－3）2＋（7＋3）2)＝2eq\r(26)，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，且|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰直角三角形.法二∵kAC＝eq\f(7－1,1－（－3）)＝eq\f(3,2)，kAB＝eq\f(－3－1,3－（－3）)＝－eq\f(2,3)，則kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又|AC|＝eq\r(（1＋3）2＋（7－1）2)＝2eq\r(13)，|AB|＝eq\r(（3＋3）2＋（－3－1）2)＝2eq\r(13)，∴|AC|＝|AB|.∴△ABC是等腰直角三角形.規(guī)律方法平面上兩點(diǎn)間的距離公式的應(yīng)用類型(1)已知所求點(diǎn)的相關(guān)信息及該點(diǎn)到某點(diǎn)的距離滿足某些條件時(shí)，設(shè)出所求點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式建立關(guān)于所求點(diǎn)坐標(biāo)的方程或方程組求解.(2)利用兩點(diǎn)間距離公式可以判定三角形的形狀.從三邊長(zhǎng)入手，如果邊長(zhǎng)相等，則可能是等腰或等邊三角形，如果滿足勾股定理，則是直角三角形.〖訓(xùn)練2〗(1)已知點(diǎn)A(3，6)，在x軸上的點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于10，求點(diǎn)P的坐標(biāo).(2)已知點(diǎn)A(－2，－1)，B(－4，－3)，C(0，－5)，求證：△ABC是等腰三角形.(1)解設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，0)，由|PA|＝10，得eq\r(（x－3）2＋（0－6）2)＝10，解得：x＝11或x＝－5.所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－5，0)或(11，0).(2)證明∵|AB|＝eq\r(（－4＋2）2＋（－3＋1）2)＝2eq\r(2)，|AC|＝eq\r(（0＋2）2＋（－5＋1）2)＝2eq\r(5)，|BC|＝eq\r(（0＋4）2＋（－5＋3）2)＝2eq\r(5)，∴|AC|＝|BC|.又∵點(diǎn)A，B，C不共線，∴△ABC是等腰三角形.題型三坐標(biāo)法的應(yīng)用〖例3〗求證：三角形的中位線長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半.證明如圖，以A為原點(diǎn)，邊AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，其中D，E分別為邊AC和BC的中點(diǎn).設(shè)A(0，0)，B(c，0)，C(m，n)，則|AB|＝|c|.又由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m,2)，\f(n,2)))，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)，\f(n,2)))，∴|DE|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(c＋m,2)－\f(m,2)))＝|eq\f(c,2)|，∴|DE|＝eq\f(1,2)|AB|，即三角形的中位線長(zhǎng)度等于第三邊長(zhǎng)度的一半.規(guī)律方法用〖解析〗法解題時(shí)，雖然平面圖形的幾何性質(zhì)不依賴于直角坐標(biāo)系的建立，但不同的直角坐標(biāo)系會(huì)使我們的計(jì)算有繁簡(jiǎn)之分，因此在建立直角坐標(biāo)系時(shí)必須“避繁就簡(jiǎn)”.〖訓(xùn)練3〗已知：等腰梯形ABCD中，AB∥DC，對(duì)角線為AC和BD.求證：|AC|＝|BD|.證明如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(a－b，c).∴|AC|＝eq\r(（b－0）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2)，|BD|＝eq\r(（a－b－a）2＋（c－0）2)＝eq\r(b2＋c2).故|AC|＝|BD|.一、素養(yǎng)落地1.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).2.方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))有唯一解的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0，亦即兩條直線相交的等價(jià)條件是A1B2－A2B1≠0.直線A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)是過直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0與l2：A2x＋B2y＋C2＝0交點(diǎn)的直線(不含l2).3.〖解析〗法又稱為坐標(biāo)法，它就是通過建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)代替點(diǎn)、用方程代替曲線、用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì)的方法.4.兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(（x1－x2）2＋（y1－y2）2)與兩點(diǎn)的先后順序無關(guān)，其反映了把幾何問題代數(shù)化的思想.二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.已知直線l1：3x＋4y－5＝0與l2：3x＋5y－6＝0相交，則它們的交點(diǎn)是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,3))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(1,3)))〖解析〗由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，,3x