老校數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^2-4x+3\)的圖像與x軸相交于兩點(diǎn)，則這兩個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)是：

A.1和3

B.2和3

C.1和2

D.3和4

2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為3，公差為2，則第10項(xiàng)的值為：

A.21

B.23

C.25

D.27

3.若\(\frac{a}=\frac{c}6166166\)，且\(a,b,c,d\)均不為0，則以下哪個(gè)結(jié)論一定成立？

A.\(ad=bc\)

B.\(a^2=bc\)

C.\(b^2=ac\)

D.\(a+b=c+d\)

4.若\(a^2+b^2=25\)，且\(a-b=3\)，則\(ab\)的值為：

A.4

B.6

C.8

D.10

5.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)\(A(2,3)\)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是：

A.\(A'(-2,-3)\)

B.\(A'(2,-3)\)

C.\(A'(-2,3)\)

D.\(A'(3,-2)\)

6.若等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)為2，公比為\(\frac{1}{2}\)，則第5項(xiàng)的值為：

A.\(\frac{1}{16}\)

B.\(\frac{1}{8}\)

C.\(\frac{1}{4}\)

D.\(\frac{1}{2}\)

7.若\(x^2-5x+6=0\)，則\(x^3-5x^2+6x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

8.若\(x^2-4x+3=0\)，則\(x^3-4x^2+3x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

9.若\(x^2-6x+9=0\)，則\(x^3-6x^2+9x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

10.若\(x^2-8x+16=0\)，則\(x^3-8x^2+16x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

11.若\(x^2-10x+25=0\)，則\(x^3-10x^2+25x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

12.若\(x^2-12x+36=0\)，則\(x^3-12x^2+36x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

13.若\(x^2-14x+49=0\)，則\(x^3-14x^2+49x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

14.若\(x^2-16x+64=0\)，則\(x^3-16x^2+64x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

15.若\(x^2-18x+81=0\)，則\(x^3-18x^2+81x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

16.若\(x^2-20x+100=0\)，則\(x^3-20x^2+100x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

17.若\(x^2-22x+121=0\)，則\(x^3-22x^2+121x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

18.若\(x^2-24x+144=0\)，則\(x^3-24x^2+144x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

19.若\(x^2-26x+169=0\)，則\(x^3-26x^2+169x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

20.若\(x^2-28x+196=0\)，則\(x^3-28x^2+196x\)的值為：

A.0

B.1

C.2

D.3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個(gè)根，則\(a+b=5\)。（）

2.在直角坐標(biāo)系中，任意一條線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是該線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)的平均值。（）

3.若\(a\)和\(b\)是等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的任意兩項(xiàng)，且\(a<b\)，則\(a_n\)的值隨著\(n\)的增大而增大。（）

4.若\(a\)和\(b\)是等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的任意兩項(xiàng)，且\(a>b\)，則\(a_n\)的值隨著\(n\)的增大而減小。（）

5.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個(gè)根，則\(ab=6\)。（）

6.若\(a\)和\(b\)是方程\(x^2-5x+6=0\)的兩個(gè)根，則\(a^2+b^2=5\)。（）

7.在直角坐標(biāo)系中，任意一條線段的長(zhǎng)度等于該線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)差的平方的平方根。（）

8.若\(a\)和\(b\)是等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)和末項(xiàng)，且\(a+b=10\)，則\(a_n\)的值總是等于5。（）

9.若\(a\)和\(b\)是等比數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的首項(xiàng)和末項(xiàng)，且\(a\cdotb=16\)，則\(a_n\)的值總是等于4。（）

10.在直角坐標(biāo)系中，任意一條線段的斜率等于該線段兩端點(diǎn)坐標(biāo)差的比值。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述一元二次方程的解法，并舉例說(shuō)明。

2.解釋等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，并給出一個(gè)例子。

3.說(shuō)明如何求一個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度，如果已知兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度。

4.解釋函數(shù)圖像的對(duì)稱性，并舉例說(shuō)明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述勾股定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，并舉例說(shuō)明如何利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題。

2.探討函數(shù)的性質(zhì)對(duì)函數(shù)圖像的影響，并舉例說(shuō)明不同性質(zhì)函數(shù)的圖像特征。

試卷答案如下

一、多項(xiàng)選擇題答案

1.A

解析思路：根據(jù)一元二次方程的根的判別式，\(D=b^2-4ac\)，當(dāng)\(D>0\)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)根。對(duì)于\(f(x)=x^2-4x+3\)，有\(zhòng)(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4>0\)，所以方程有兩個(gè)不同的實(shí)根，且\(1+3=4\)。

2.C

解析思路：等差數(shù)列的第\(n\)項(xiàng)公式為\(a_n=a_1+(n-1)d\)，其中\(zhòng)(a_1\)是首項(xiàng)，\(d\)是公差。對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，有\(zhòng)(a_1=3\)，\(d=2\)，所以\(a_{10}=3+(10-1)\cdot2=3+18=21\)。

3.A

解析思路：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，若\(\frac{a}=\frac{c}1611116\)，則\(ad=bc\)。

4.A

解析思路：使用配方法將\(x^2-4x+3\)分解為\((x-1)(x-3)\)，因此\(a=1\)，\(b=3\)，所以\(ab=1\cdot3=3\)。

5.A

解析思路：點(diǎn)\(A(2,3)\)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，其對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為\((-x,-y)\)，所以對(duì)稱點(diǎn)為\((-2,-3)\)。

6.A

解析思路：等比數(shù)列的第\(n\)項(xiàng)公式為\(a_n=a_1\cdotr^{(n-1)}\)，其中\(zhòng)(a_1\)是首項(xiàng)，\(r\)是公比。對(duì)于數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)，有\(zhòng)(a_1=2\)，\(r=\frac{1}{2}\)，所以\(a_5=2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}\)。

7.A

解析思路：\(x^3-5x^2+6x=x(x^2-5x+6)\)，因?yàn)閈(x^2-5x+6=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

8.A

解析思路：同理，\(x^3-4x^2+3x=x(x^2-4x+3)\)，因?yàn)閈(x^2-4x+3=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

9.A

解析思路：同理，\(x^3-6x^2+9x=x(x^2-6x+9)\)，因?yàn)閈(x^2-6x+9=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

10.A

解析思路：同理，\(x^3-8x^2+16x=x(x^2-8x+16)\)，因?yàn)閈(x^2-8x+16=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

11.A

解析思路：同理，\(x^3-10x^2+25x=x(x^2-10x+25)\)，因?yàn)閈(x^2-10x+25=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

12.A

解析思路：同理，\(x^3-12x^2+36x=x(x^2-12x+36)\)，因?yàn)閈(x^2-12x+36=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

13.A

解析思路：同理，\(x^3-14x^2+49x=x(x^2-14x+49)\)，因?yàn)閈(x^2-14x+49=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

14.A

解析思路：同理，\(x^3-16x^2+64x=x(x^2-16x+64)\)，因?yàn)閈(x^2-16x+64=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

15.A

解析思路：同理，\(x^3-18x^2+81x=x(x^2-18x+81)\)，因?yàn)閈(x^2-18x+81=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

16.A

解析思路：同理，\(x^3-20x^2+100x=x(x^2-20x+100)\)，因?yàn)閈(x^2-20x+100=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

17.A

解析思路：同理，\(x^3-22x^2+121x=x(x^2-22x+121)\)，因?yàn)閈(x^2-22x+121=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

18.A

解析思路：同理，\(x^3-24x^2+144x=x(x^2-24x+144)\)，因?yàn)閈(x^2-24x+144=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

19.A

解析思路：同理，\(x^3-26x^2+169x=x(x^2-26x+169)\)，因?yàn)閈(x^2-26x+169=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

20.A

解析思路：同理，\(x^3-28x^2+196x=x(x^2-28x+196)\)，因?yàn)閈(x^2-28x+196=0\)，所以整個(gè)表達(dá)式等于0。

二、判斷題答案

1.×

解析思路：\(a+b=5\)，因?yàn)閈(a^2-5a+6=0\)可以分解為\((a-2)(a-3)=0\)，所以\(a\)和\(b\)的可能值為2和3，或3和2。

2.√

解析思路：這是線段中點(diǎn)公式的基本定義。

3.×

解析思路：等差數(shù)列的項(xiàng)隨\(n\)的增大而單調(diào)變化，但不一定是增大。

4.×

解析思路：等比數(shù)列的項(xiàng)隨\(n\)的增大而單調(diào)變化，但不一定是減小。

5.×

解析思路：\(ab=6\)，因?yàn)閈(a\)和\(b\)的可能值為2和3，或3和2。

6.×

解析思路：\(a^2+b^2=5^2=25\)，而不是5。

7.√

解析思路：這是線段長(zhǎng)度公式的定義。

8.√

解析思路：等差數(shù)列中項(xiàng)的平均值總是等于首項(xiàng)和末項(xiàng)的平均值。

9.×

解析思路：\(a\cdotb=16\)，因?yàn)閈(a\)和\(b\)的可能值為2和8，或8和2。

10.√

解析思路：這是斜率的定義。

三、簡(jiǎn)答題答案

1.一元二次方程的解法包括公式法和配方法。公式法利用求根公式\(\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)直接求解，配方法是將方程轉(zhuǎn)換為完全平方形式\((x-h)^2=k\)，然后求解。

2.等差數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列中，任意兩項(xiàng)之間的差是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為公差。例如，數(shù)列\(zhòng)(\{1,3,5,7,9,\ldots\}\)是一個(gè)等差數(shù)列，公差為2。等比數(shù)列是指一個(gè)數(shù)列中，任意兩項(xiàng)之間的比是一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為公比。例如，數(shù)列\(zhòng)(\{2,6,18,54,162,\ldots\}\)是一個(gè)等比數(shù)列，公比為3。

3.使用勾股定理\(a^2+b^2=c^