專題10三角形問題

【典例分析】

【考點(diǎn)1】三角形基礎(chǔ)學(xué)問

【例1】（2024?浙江中考真題）若長度分別為。,3,5的三條線段能組成一個(gè)三角形，則a的值可以是（）

A.1B.2C.3D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)三角形三邊關(guān)系可得5-3<a<5+3,解不等式即可求解.

【詳解】

由三角形三邊關(guān)系定理得：5-3<a<5+3,

即2VaV8,

由此可得，符合條件的只有選項(xiàng)C,

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形三邊關(guān)系，能依據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理得出5-3VaV5+3是解此題的關(guān)鍵，留意：三

角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊.

【變式1-1]（2024?北京中考真題）如圖，已知△ABC,通過測量、計(jì)算得AABC的面積約為—cm2.（結(jié)

果保留一位小數(shù)）

【答案】L9

【解析】

【分析】

過點(diǎn)C作CDJ_AB的延長線于點(diǎn)D,測量出AB,CD的長,再利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積.

【詳解】

解：過點(diǎn)C作CD_LAB的延長線于點(diǎn)D,如圖所示.

=—AB-CD=—x2.2x1.7?1.9（cm"）.

XA/I/JC22

故答案為：1.9.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的面積，牢記三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2]（2024?山東中考真題）把一塊含有45。角的直角三角板與兩條長邊平行的直尺如圖放置（直角

頂點(diǎn)在直尺的一條長邊上）.若Nl=23°,貝?。?2=。?

【答案】68

【解析】

【分析】

由等腰直角三角形的性質(zhì)得出NA=NC=45°,由三角形的外角性質(zhì)得出NAGB=68°,再由平行線的性質(zhì)即

可得出N2的度數(shù).

【詳解】

如圖，

C

:AA3C是含有45。角的直角三角板，

：.ZA=ZC=45°,

??,Z1-23°，

???ZAGB=NC+N1=68。，

EFABD,

???Z2=ZAGB=68°；

故答案為68.

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)，關(guān)鍵是駕馭兩直線平行，

同位角相等.

【考點(diǎn)2】全等三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

【例2】(2024?山東中考真題)在AABC中，NBAC=90。，AB=AC,AD_L8C于點(diǎn)D.

(1)如圖1,點(diǎn)M,N分別在40,4笈上，且NBMN=90。，當(dāng)N4WN=30。，A4=2時(shí)，求線段AM

的長；

(2)如圖2,點(diǎn)E,尸分別在A8,AC上，且NEDF=90。，求證：BE=AF；

(3)如圖3,點(diǎn)M在AO的延長線上，點(diǎn)N在AC上，且N3MN=90。，求證：AB+AN=y/2AM.

c

【解析】

【分析】

(I)依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)得到AD=lU)=l)C=夜，求出/物切=300,依據(jù)勾股

定理計(jì)算即可：

(2)證明△加/汪△/1以；依據(jù)全等二角形的性質(zhì)證明；

(3)過點(diǎn)出作NE"BC交加，的延長線于E,證明△以監(jiān)必△兒股，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE=AN，依

據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理證明結(jié)論.

【詳解】

(1)解：?.NE4C=90。，AB=AC,ADLBC.

:.AD=BD=DC,ZABC=ZACB=45°,ZBAD=ZC4D=45°,

???A5=2，

AD=BD=DC=V2,,

vZAW=3O°,

/BMD=180°-90°-30°=60。，

;"BMD=3U0,

:.BM=2DM，

由勾股定理得，BM?—DM?=BD?，即(2OM)2—OM?=(五尸，

解得，DM二邁,

3

AM=AD-DM=V2--；

3

(2)證明：?.ADIBC,N￡DF=9O。，

;"BDE=ZADF，

在MOE和A4￡)尸中，

NB=/DAF

{DB=DA,

NBDE=NADF

/.ABDEgAADF(ASA)BE=AF；

(3)證明：過點(diǎn)M作MEV/3c交A3的延長線于E，

/.Z4ME=90°,

則AE=VLA8，ZE=45°,

:.ME=MA^

??,ZAME=90°,/BMN=90°,

:"BME—zLAMN，

在ABME和A4MN中，

NE=/MAN

{ME=MA,

/BME=NAMN

^BME^^AMN(ASA),

,\BE=AN,

AB+AN=AB+BE=AE=國乂?

本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)，駕馭全等三角形的

判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2024?貴州中考真題）（1）如圖①，在四邊形A5c。中，AB//CD,點(diǎn)七是BC的中點(diǎn)，

若AE是NfiAD的平分線，試推斷AB,AD,0c之間的等量關(guān)系.

解決此問題可以用如下方法：延長AE交。。的延長線于點(diǎn)尸，易證AAEgAraC得到A8=/C,從

而把AB,AD,。。轉(zhuǎn)化在一個(gè)三角形中即可推斷.

AB,A。，。。之間的等量關(guān)系；

(2)問題探究：如圖②，在四邊形A3C。中，AB//CD,AF與。。的延長線交于點(diǎn)尸，點(diǎn)E是BC的

中點(diǎn)，若AE是NBA廠的平分線，摸索究AB,AF,C/之間的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

A

【解析】

【分析】

(1)先依據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得AO=D/，再依據(jù)AAS證得AC石尸絲兇心，于是

AB=CF,進(jìn)一步即得結(jié)論；

(2)延長AE交OF的延長線于點(diǎn)G,如圖②，先依據(jù)AAS證明AAEB空AGEC,可得A3=CG,再依

據(jù)角平分線的定義和平行線的性質(zhì)證得E4=FG,進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

解：⑴AD=AB^DC.

理由如下：如圖①，;AE是NK4D的平分線，???ND4E=NB4E

?:ABHDC,：./F=ZBAE，：.4DAF=4F,：.AD=DF.

丁點(diǎn)E是的中點(diǎn)，???CE=8石，

乂?：4F=/BAE.ZAEB=ZCEF

/.\CEFj\BEA(AAS),AAB=CF.

:.AD=CD+CF=CD+AB.

故答案為：AD=AB+DC.

(2)AB=AF+CF.

理由如下：如圖②，延長4E交。廠的延長線于點(diǎn)G.

D

?:ABHDC、：.4BAE=NG,

又,：BE=CE,ZAEB=/GEC，

且AGEC(AAS),：,AB=GC,

VAE是/BAF的平分線，???/BAG=NE4G,

???/BAG=NG,???NE4G=NG，???胡

?：CG=CF+FG,：.AB=AF+CF.

【點(diǎn)睛】

本題考杳了全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的定義和等角對等邊等學(xué)問，添加恰當(dāng)協(xié)

助線構(gòu)造全等三角形是解本題的關(guān)鍵.

【變式2-2](2024?廣西中考真題)如圖，AB=AD,BC=DCf點(diǎn)f在AC上.

C

(1)求證：AC平分NE4P；(2)求證：BE=DE.

【答案】(1)見解析；(2)見解析.

【解析】

【分析】

(1)由題中條件易知:△ABCgAADC,可得AC平分NBAD；

(2)利用(1)的結(jié)論，可得△BAEgZWAE,得出BE=DE.

【詳解】

AB=AD

解：（1）在A4BC與AAOC中，｛AC=AC

BC=DC

：.AABC也AAQC（SSS）

???ZBAC=ZDAC

即AC平分44力；

（2）由（1）ZBAE=ZDAE

BA=DA

在ABA石與AZME中，得<NBAE=NDAE

AE=AE

：.\BAE^M）AE（SAS）

???BE=DE

【點(diǎn)睛】

嫻熟運(yùn)用三角形全等的判定，得出三角形全等，轉(zhuǎn)化邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

【考點(diǎn)3】等腰三角形與等邊三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

【例3】（2024?浙江中考真題）如圖，在A48。中，AC<AB<BC.

⑴己知線段AB的垂直平分線與BC邊交于點(diǎn)P,連結(jié)AP,求證：2Ape2?4；

⑵以點(diǎn)B為圓心，線段AB的長為半徑畫弧，與BC邊交于點(diǎn)Q,連結(jié)AQ,若？AQC3?4,求D8的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）ZB=36°.

【解析】

【分析】

（1）依據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，得到PA=PB,再由等腰三角形的性質(zhì)得到NPAB=NB,從而得到答案；

（2）依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NBAQ=NBQA,設(shè)NB=x,由題意得到等式NAQC=NB+NBAQ=3x,即可得到

答案.

【詳解】

(1)證明：因?yàn)辄c(diǎn)P在AB的垂直平分線上，

所以PA=PB,

所以NPAB=NB,

所以NAPC=NPAB+NB=2/B.

(2)依據(jù)題意，得BQ二BA,

所以NBAQ:NBQA,

設(shè)NB=x,

所以/AQC=NB+/BAQ=3x,

所以NBAQ=NBQA=2x,

在△ABQ中，x+2x+2x=180°,

解得x=36°,即NB=360.

【點(diǎn)睛】

本題考查垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是駕馭垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性

質(zhì).

【變式3-1](2024?遼寧中考真題)如圖，AA3C是等邊三角形，延長3C到點(diǎn)。，使CQ=AC,連接

AD.若AB=2,則AO的長為.

【答案】2G

【解析】

【分析】

AB=AC=BC=CD,即可求出/BAD=90°,ZD=30°,解直角三角形即可求得.

【詳解】

解：???AA3C是等邊三角形，

???乙B=ABAC=NACB=60"，

'：CD=AC，

???ZC4D=ZD,

V￡ACB=ZCAD+ZD=60，

AZC4D=ZD=30，

???BAD=90

AB

AD=

3

故答案為2JJ.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等，證得aABD是含30°角的直角三

角形是解題的關(guān)鍵.

【變式3-2］（2024?遼寧中考真題）如圖，把三角形紙片折疊，使點(diǎn)仄點(diǎn)C都與點(diǎn)8重合，折痕分別為

EF,DG,得到N3OE=60°,/BED=90、若DE=2,則陽的長為.

【答案】3+6

【解析】

【分析】

依據(jù)折疊的性質(zhì)可得：尸G是△川町的中位線，47的長即為△乃宏的周長.在Rl△打比’中，依據(jù)30°角的直角

三角形的性質(zhì)和勾股定理可分別求出即與AF的長，從而可得〃’的長，再依據(jù)三角形的中位線定理即得答

案.

【詳解】

解：???把三角形紙片折疊，使點(diǎn)力、點(diǎn)C都與點(diǎn)8重合，

：?AF=BF,AE=BE,BG=CG,DC=DB,

???FG=-AC,

2

VZBDE=60\/BED=90,

?二"30=30”，

DB=2DE=4?

???BE7DB?-DE?=5/42_2?=2日

AAE=BE=2>/3?DC=DB=4,

???AC=AE+OE+OC=2G+2+4=6+25

???FG=-4C=3+V3,

2

故答案為：3+G-

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、三角形中位線定理、30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理等學(xué)問，依據(jù)折疊的

性質(zhì)得出/%是△力%的中位線，/I。的長即為48%'的周長是解本題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)4】直角三角形的性質(zhì)

【例4】（2024?寧夏中考真題）如圖，在R/AABC中，ZC=90%以頂點(diǎn)3為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫

弧，分別交AR8C于點(diǎn)M,N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于』MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,

2

S

作射線交AC于點(diǎn)O.若4=30，則產(chǎn).

【答案】!.

【解析】

【分析】

利用基本作圖得劃平分/A6C,再計(jì)算出NA8O=NC8O=30，所以DA=OB，利用BD=2CD得

S

到AO=2CD,然后依據(jù)三角形面積公式可得到三42的值.

3.ABD

【詳解】

解：由作法得3。平分N48C，

VZC=90，ZA=30，

，/ABC=60°，

工ZABD=ZCBD=30\

；?DA=DB,

在aABC。中，BD=2CD,

:,AD=2CD,

故答案為一.

2

【點(diǎn)睛】

本越考查了作圖一基本作圖：嫻熟駕馭基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知

線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過一點(diǎn)作已知直線的垂線）.

【變式4-1］（2024?黑龍江中考真題）一張直角三角形紙片A6C,ZACB=90,AB=\0,AC=6,

點(diǎn)。為8C邊上的任一點(diǎn)，沿過點(diǎn)。的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊A8上的點(diǎn)E處，當(dāng)1是

直角三角形時(shí)，則CD的長為.

【答案】3或弓

【解析】

【分析】

依據(jù)沿過點(diǎn)D的直線折疊，使直角頂點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，當(dāng)ABDE是直角三角形時(shí)，分兩種狀況

探討：N【）EB=9（）°或/BI）E=90°,分別依據(jù)勾股定理或者相像三角形的性質(zhì)，即可得到CD的長

【詳解】

分兩種狀況：

??VZDEB=90，則/AED=90=NC，CD=ED,

A.

連接AD，則Rl^ACD=Rt^AEAD(HL),

AE=AC=6^8E=10-6=4,

設(shè)CQ=OE=R,則3。=8—x,

?;RMDE中,DE2+BE2=BD2

x2+42=(8-x)2,

解得x=3,

/.CD—3；

②若NBOE=90，則NCQE=N。律=NC=90，CD=DE,

???四邊形COM是正方形，

:"AFE=/EDB=94，ZAEF=ZB，

/.AAEF-AEBD.

AF_EF

：'~ED=~BD'

設(shè)CQ=x,^EF=DF=x,AF=6-x,BD=S-x,

6-xx

,---8?

=2T4

=24-

7

綜上所述，CO的長為3或,,

故答案為：3或年.

【點(diǎn)睛】

此題考查折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形

【變式4-2](2024?河北中考真題)勘測隊(duì)按實(shí)際須要構(gòu)建了平面直角坐標(biāo)系，并標(biāo)示了4&C三地的

坐標(biāo)，數(shù)據(jù)如圖(單位：km).筆直鐵路經(jīng)過45兩地.

(1)A8間的距離為kM

(2)安排修一條從C到鐵路四的最短馬路1,并在[上建一個(gè)修理站〃使〃到4C的距離相等，則C,

。間的距離為______km.

Aa2fl)

?CO-17)

【答案】2013

【解析】

【分析】

(1)由垂線段最短以及依據(jù)兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同即可求出兒？的長度；

(2)依據(jù)力、B、。三點(diǎn)的坐標(biāo)可求出絲與四的長度，設(shè)上后依據(jù)勾股定理即可求出x的值.

【詳解】

(1)由4、8兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可知：/歷〃x軸，，力於12-(-8)=20；

(2)過點(diǎn)。作AL仍于點(diǎn)色連接力。，作力。的垂直平分線交直線/于點(diǎn)〃，由(1)可知：C和1-(-17)

=18,力后12,設(shè)。x,：.AD=C/)=x,由勾股定理可知：?=(18-x)2+12-,，解得：尸13,上期13.

故答案為：(1)20；(2)13.

CQ,-17)

【點(diǎn)睹】

本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是依據(jù)力、反。三點(diǎn)的坐標(biāo)求出相關(guān)線段的長度，本題屬于中等題型.

【考點(diǎn)5】相像三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用

【例5】(2024?四川中考真題)如圖，==DB平分NADC,過點(diǎn)B作區(qū)必||8交的

(1)求證：BD'ADCD:(2)若C￡>=6,AD=8,求MN的長.

【答案】(1)見解析；(2)MN=｛幣.

【解析】

【分析】

(1)通過證明AABDSABC。，可得任二也，可得結(jié)論；

BDCD

(2)由平行線的性質(zhì)可證NMHAN3DC,即可證由CO和勾股定理

BMMN2

可求MC的長，通過證明△MNBSACND,可得一=——=-,即可求MN的長.

CDCN3

【詳解】

證明：(1)???DB平分NADC,

:.ZADB=NCDB，且ZABD=NBCD=90°,

?AD__B_D_

BD-CD

:.BD2=ADCD

(2)-.BM//CD

:.AMBD=ZBDC

;.ZADB=ZMBD，且NA3ZA90。

;.BM=MD,ZMAB=ZMBA

BM=MD=AM=4

-BD2=AD-CD且CD=6,AD=8,

二.心=48，

BC2=BD2-CD2=\2

MC2=MB?+BC2=28

MC=2幣

\BM//CD

:.AMNBsdCND

BMMN

=|HMC=2不

~CD=C7V

【點(diǎn)睛】

考查了相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，求UC的長度是本題的關(guān)鍵.

【變式5-1］（2024?全國初三課時(shí)練習(xí)）如圖，在aABC中，AB=AC,點(diǎn)P、D分別是BC、AC邊上的點(diǎn)，且

ZAPD=ZB,

(1)求證:AC?CD=CP?BP；

(2)若AB=10,BC=12,當(dāng)PD〃AB時(shí)，求BP的長.

【答案】（1）證明見解析；（2）y.

【解析】

BpAR

（2）易證/API）=NB=NC,從而可證到△ABPs^PCD,即可得到一=—，即AB?CD=CP?BP,由AB=AC即

CDCP

可得到AC得到CP?BP；

(2)由PD〃AB可得/APD=NBAP,即可得至ijNBAP=NC,從而可證到△BAPsaBCA,然后運(yùn)用相像三角形

的性質(zhì)即可求出BP的長.

解：⑴VAB=AC,AZB=ZC.

VZAPD=ZB,???NAPD=NB=NC.

■:NAPO/BAP+NB,NAPC=NAPD+NDPC,

ZBAP=ZDPC,

/.△ABP^APCD,

BPAB

---=---，

CDCP

???AB?CD=CP?BP.

VAB=AC,

???AC?CD=CP?BP；

(2)VPD/7AB,???NAPD=NBAP.

VZAPD=ZC,.\ZBAP=ZC.

VZB=ZB,

/.△BAP^ABCA,

.BA_BP

*/AB=10.BC=12,

.10BP

??，

1210

?RD25

3

“點(diǎn)睛”本題主要考查了相像三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形外角的性

質(zhì)等學(xué)問,把證明AC?CD=CP?BP轉(zhuǎn)化為證明AB?CD=CP?BP是解決第(1)小題的關(guān)鍵，證到NBAP=NC進(jìn)而

得到△BAPs/XBCA是解決第(2)小題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2024?陜西中考模擬)大唐芙蓉園是中國第一個(gè)全方位展示盛唐風(fēng)貌的大型皇家園林式文化

主題公園，全園標(biāo)記性建筑一紫云樓為代表，展示了“形神升騰紫云景，天下臣服帝王心”的唐代帝王風(fēng)

范(如圖①).小風(fēng)和小花等同學(xué)想用一些測量工具和所學(xué)的幾何學(xué)問測量“紫云樓”的高度，來檢驗(yàn)自己

駕馭學(xué)問和運(yùn)用學(xué)問的實(shí)力，他們經(jīng)過探討須要兩次測量：首先，在陽光下，小風(fēng)在紫云樓影子的末端C

點(diǎn)處直立一根標(biāo)桿切，此時(shí)，小花測得標(biāo)桿功的影長32米，CD=2米?,然后，小風(fēng)從C點(diǎn)沿?zé)o方向

走了5.4米，到達(dá)G處，在6處直立標(biāo)桿R7,接著沿尾后退到點(diǎn)〃處時(shí)，恰好望見紫云樓頂端4標(biāo)桿頂

端尸在一條直線上，此時(shí)，小花測得加0.6米，小風(fēng)的眼睛到地面的距離砥1.5米，加=2米.

如圖②，已知AB1BM,CD1BM,FG工BM,HMVBM,請你依據(jù)題中供應(yīng)的相關(guān)信息，求出紫云樓的高居.

【答案】紫云樓的高四為39米.

【解析】

【分析】

依據(jù)已知條件得到AB=BC,過〃作〃于N,交廠G于P,設(shè)AD=DC=x,則HN=BM=x^.4?O.6=M6,

AN=x-1.5,-0.5,PH=G'f='6,依據(jù)相像三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：VCDLHM,FGL謝,窕=2,09=2,

：.AB=BQ

過，作〃于此交FG于P,

設(shè)AB=BC=x,則HN=BM=^.4+0.6=戶6,

AN=x-1.5,勿=0.5,PH=GM=>6,

■:NANH=/FPH=9G0,4AHN=/FHP,

:.△ANMAFPH,

ANNH*1.5x+6

?.—,即—9

PFPH0.50.6

A=39,

???紫云樓的高力8為39米.

本題考查了相像三角形的應(yīng)用，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵.

【考點(diǎn)6】銳角三角函數(shù)及其應(yīng)用

[例6]（2024?貴州中考真題）三角板是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好幫手.將一對直角三角板如圖放置，點(diǎn)，在也

的延長線上，點(diǎn)2在初上，AB//CF,N4NN390°,NQ45°,N4=60°,4Q10,則或的長度

是.

【答案】15-5>/3.

【解析】

【分析】

過點(diǎn)B作BM_LFD于點(diǎn)”，依據(jù)題意可求出BC的長度，然后在4EFD中可求出NEDF=45°,進(jìn)而可得出答

案.

【詳解】

過點(diǎn)B作BM1FD于點(diǎn)M,

在AACB中，NACB=900，NA=600,AC=10,

AZABC=30°,BC=10Xtan600=1()JJ,

?，AB〃CF,

AZBCM=ZABC=30°，

.\BM=BCXsin300=10gxg=56,

CM=BCXcos300=15,

在Z\EFD中，ZF=90°,ZE=45°,

.?.ZEDF=45°,

.?.MD=B\I=55

.,.CD=CM-MD=15-5-y/3?

故答案是：15-5J*

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形，正確添加協(xié)助線，構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵.

【變式6-1](2024?山東中考真題)自開展“全民健身運(yùn)動(dòng)”以來，喜愛戶外步行健身的人越來越多，為

便利群眾步行健身，某地政府確定對一段如圖1所示的坡路進(jìn)行改造.如圖2所示,改造前的斜波AN=200

米，坡度為1:6；將斜坡A3的高度AE降低AC=20米后，斜坡A3改造為斜坡CO,其坡度為1:4,求

斜坡CO的長.(結(jié)果保留根號(hào))

【答案】斜坡CD的長是8()/7米.

【解析】

【分析】

依據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得AE的長，進(jìn)而得到CE的長，再依據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到EO的長,

最終用勾股定理即可求得CQ的長.

【詳解】

???乙4￡?=90。，AB=2(X),坡度為1：退，

???tanZABE=-^=—,

V33

/.ZABE=30°,

AAE=-AB=100,

2

VAC=20，

CE=80?

VZC￡D=90°.斜坡C力的坡度為1:4,

CE1

??=9

DE4

8()1

即一=-,

ED4

解得，ED=320,

工CD=V8O2+3202=80x/17米，

答：斜坡CO的長是80j萬米.

【點(diǎn)睛】

本題考查解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)

合的思想解答.

【變式6-2](2024?海南中考真題)如圖是某區(qū)域的平面示意圖，碼頭力在觀測站8的正東方向，碼頭4

的北偏西60,方向上有一小島G小島。在觀測站8的北偏西15,方向上，碼頭/到小島C的距離4c為10

海里.

(1)填空：ZBAC=度，ZC=度；

(2)求觀測站8到4c的距離解(結(jié)果保留根號(hào)).

【答案】(1)30,45；(2)(5百一5)海里

【解析】

【分析】

(1)由題意得：=90-60=30\ZABC=90+I5C=1O5°，由三角形內(nèi)角和定理即可得出NC

的度數(shù)；

(2)證出A8cp是等腰直角三角形，得出BP=PC,求出抬=68。，由題意得出8P+Ji3P=10，

解得3尸=5Ji-5即可.

【詳解】

解：(1)由題意得:N84C=90—60=30°，ZABC=900+15°=105°?

ZC=1800-NBAC-NABC=45°；

故答案為30,45；

(2)?；BP上AC，

NBPA=/RPC=qd、

???NC=45°，

MCP是等腰直角三角形，

:.BP=PC,

?rNBAC=30'，

PA=6BP，

?.?R4+PC=AC，

BP+6BP=\O,

解得：BP=56-5,

答：觀測站8到AC的距離BP為(56-5)海里.

【點(diǎn)睛】

本題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，通過解直角三角形得出方程是解題的關(guān)鍵.

【達(dá)標(biāo)訓(xùn)I練】

1.(2024?河北中考真題)依據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺勝利找到三角形外心的是()

00

B.*/、

/50

【答案】C

【解析】

【分析】

依據(jù)三角形外心的定義得到三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，然后利用基本作圖對各選項(xiàng)進(jìn)行推斷.

【詳解】

三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項(xiàng)作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺勝

利找到三角形外心.

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了作圖-基本作圖：嫻熟駕馭基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已

知線段的垂直平分線：作己知角的角平分線：過一點(diǎn)作已知直線的垂線）.也考查了三角形的外心.

2.（2024?江蘇中考真題）已知n正整數(shù)，若一個(gè)三角形的三邊長分別是n+2、n+8、3n,則滿意條件的n

的值有（）

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

【答案】D

【解析】

【分析】

分n+8號(hào)3n最大兩種狀況，依據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式組：解不等式組后求出正整數(shù)解即可得答案.

【詳解】

*/n+2<n+8,

??.分n+8最大與3n最大兩種狀況,

〃+2+3〃>〃+8

當(dāng)n+8最大時(shí),，〃+8-3〃<〃+2,

〃+823〃

解得：2<nW4,

又In為正整數(shù)，

,\n=3,4；

〃+2+〃+8>3〃

當(dāng)3n最大時(shí)，<3〃一〃-8〈〃+2

3〃2〃+8

解得：4Wn<10,

又tn為正整數(shù),

n=4,5,6,7,8,9,

綜上：n的值可以為3、4、5、6、7、8、9,共7種可能，

故選【）.

【點(diǎn)睛】

本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，三角形三邊關(guān)系，嫻熟駕馭相關(guān)內(nèi)容并正確分類探討是解題的關(guān)鍵.

3.（2024?浙江中考真題）如圖，已知在四邊形48co中，NBCD=90。，BD平分/ABC,A3=6,

BC=9,CD=4,則四邊形ABC。的面積是（）

A.24B.30C.36D.42

【答案】B

【辭析】

【分析】

過D作DE±AB交BA的延長線于E,依據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DE=CD=4,依據(jù)三角形的面枳公式即可得到結(jié)

論.

【詳解】

如圖，過D作DE_LAB交BA的延長線于E,

E

/.EE=CD=4,

**?四邊形ABC。的面積=S.（，/）+S^BCD=—AB?DEH—BC*CD=一x6x44—x9x4=30

2222

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，正確的作出協(xié)助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?湖北中考真題）通過如下尺規(guī)作圖，能確定點(diǎn)。是BC邊中點(diǎn)的是（）

【解析】

【分析】

作線段的垂直平分線可得線段8C的中點(diǎn).

【詳解】

作線段的垂直平分線可得線段3c的中點(diǎn).

由此可知：選項(xiàng)A符合條件，

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查作圖-困難作圖，解題的關(guān)鍵是嫻熱駕馭五種基本作圖.

5.（2024?廣東中考真題）如圖，矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交BC,AD于點(diǎn)E,F,若

BE=3,AF=5,則AC的長為（）

A.4>/5B.45/3C.10D.8

【答案】A

【解析】

【分析】

連接AE,由線段垂直平分線的性質(zhì)得出0A=0C,AE=CE,證明△AOFgZXCOE得出AF=CE=5,得出AE=CE=5,

BC=BE+CE=8,由勾股定理求出AB=4,再由勾股定理求出AC即可.

【詳解】

解：如圖，連結(jié)AE,

設(shè)AC交EF于0,

依題意，有AO=OC,ZA0F=ZC0E,Z0AF=Z0CE,

所以，△OAFgaOCE(ASA),

所以,EC=AF=5,

因?yàn)镋F為線段AC的中垂線，

所以,EA=EC=5,

又BE=3,由勾股定理,得：AB=4,

所以，AC=VAB2+BC2=7l6+(3+5)2=4>/5

【點(diǎn)睛】

本題考杳了全等三角形的判定、勾股定理，嫻熟駕馭是解題的關(guān)鍵.

6.(2024?湖南中考真題)已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn)，AM=MN=2,NB=1,以點(diǎn)A為圓心，AN長為半

徑畫弧；再以點(diǎn)B為圓心，BM長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則AABC肯定是()

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰三角形

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)作圖即可得到AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+l=5,進(jìn)而得至ijACBUMAB）即可得出AABC是直角

三角形.

【詳解】

如圖所示，AC=AN=4,BC=BM=3,AB=2+2+l=5,

AAC2+BC2=AB2,

???△ABC是直角三角形,且NACB=90°,

故選B.

本題主要考查了勾股定理的逆定理，假如三角形的三邊長a,b,c滿意a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形就是直

角三角形.

7.（2024?黑龍江中考真題）如圖，在△胸中，做是/胸的平分線，位是外角N40的平分線，BE與

位相交于點(diǎn)后若乙4=60°,則N版是（）

A.15°B,30°C.45°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)角平分線的定義得到/EBM=g/ABC、NECM=]ZACM,依據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算即可.

22

【詳解】

解：???BE是NABC的平分線,

1

/.ZEBM=-ZABC,

2

?ICE是外角NACM的平分線，

1

:.ZECM=-ZACM,

2

則NBEONECM-/EB（ZACM-ZABC）=-ZA=30°,

22

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，駕馭三角形的?個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的

和是解題的關(guān)鍵.

8.（2024?海南中考真題）如圖，在RtAABC中，NC=90°，44-5,BC-4.點(diǎn)F是邊〃1上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P作PQ//AB交BC于點(diǎn)Q,〃為線段尸。的中點(diǎn)，當(dāng)初平分乙ABC時(shí)，形的長度為（）

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)勾股定理求出力。，依據(jù)角平分線的定義、平行線的性質(zhì)得到NQ8O=N5OQ,得到。3=00,依據(jù)

相像三角形的性質(zhì)列出比例式，計(jì)算即可.

【詳解】

解：丁/。=婚，AB=5,3c=4，

.?.AC=JAB'-BC?=3,

vPQ//AB,

:.ZABD=/BDQ,乂/ABD=/QBD,

Z.QBD=ZBDQ,

QB=QD,

:.QP=2QB,

?/PQ//AB,

ACPQ\CAB,

CPCQPQ,CP4—QB2QB

CACBAB345

解得，CP=—,

13

AP=CA-CP=—,

13

故選房

【點(diǎn)睛】

本就考杳的是相像三角形的判定和性質(zhì)，駕馭相像三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵.

9.(2024?遼寧中考真題)如圖，在△(7所中，ZE=8O°,ZF=50°,AB|CF,ADgCEt連接

BC,CD,則ZA的度數(shù)是()

A

A.45°B.50°C.55°D.80°

【答案】B

【解析】

【分析】

連接力。并延長交項(xiàng)于點(diǎn)機(jī)由平行線的性質(zhì)得N3=N1,12=N4,再由等最代換得

/BAD=Z3+Z4=Z1+Z2=ZFCE，先求出ZFCE即可求出N4.

【詳解】

解；連接/I。并延長交爐于點(diǎn)〃

'B

ABICF,

.\Z3=ZI,

AD\\CE.

/.Z2=Z4,

.?.N8M>=Z3+N4=N1+N2=N/CE,

?；4FCE=180°-ZE-ZF=l80°-80°-50°=50°,

/BAD=NFCE=500,

故選:B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型.

10.(2024?四川中考真題)如圖，四邊形A8。。是邊長為1的正方形，MPC是等邊三角形，連接。。并

延長交C3的延長線于點(diǎn)4連接BD交PC于點(diǎn)Q,下列結(jié)論：

①/8尸拉=135。；@M3DP^^HDBx③。Q:BQ=1:2；④除叱二任二

A.???B.(2X3)@C.①③④D.①②?

【答案】D

【解析】

【分^5】

依據(jù)等邊三角形和正方形的性質(zhì)對①進(jìn)行推斷，依據(jù)相像三角形對②進(jìn)行推斷，依據(jù)三角形的性質(zhì)對③進(jìn)

行推斷，由三角形面積公式對④進(jìn)行推斷.

【詳解】

解：是等邊三角形，四邊形ABCO是正方形,

"PCB=NCPB=60"，ZPCD=30°，BC=PC=CD,

KPD=/CDP=7S，

則乙BPD=ZBPC+4CPD=135°，故①正確；

丁/CBD=/CDB=45'，

，/DBP=NDPB=135"

又T/PDB=/BDH，

???ABOPsMZ汨，故②正確;

如圖，過點(diǎn)。作QE_LC。干￡

由。石+。七=。。知工+瓜=1,

解小牛1

/-"=信="二血

BD=0，

.RCRnnnB瓜一叵3>/2-5/6

??D(7=DD-D(2=Z-------------=-------------，

則DQ：%=片也：吟漁工1:2,

故③錯(cuò)誤;

???/COP=75°，NCDQ=45

，NPDQ=30,

又???NCPD=75,

，CDPQ=ZDQP=75°,

:.DP=DQ="y，

???S、HDP=-BD?PDsinNBDP=-xV2x瓜-。x'=，故④正確；

,,加力22224

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查等邊二角形、正方形的性質(zhì)對、相像二角形、二角形的性質(zhì)和二角形面積公式，解題的關(guān)鍵是嫻

熟駕馭等邊三角形、正方形的性質(zhì)對、相像三角形、三角形的性質(zhì)和三角形面積公式.

11.（2024?遼寧中考真題）如圖，是△胸的外角N￡4C的平分線，AD//BCZB=32°,則NC的度數(shù)

是（）

A.64°B.32°

C.30°D.40°

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)平行線的性質(zhì)求出NEAD,依據(jù)角平分線的定義得到NEAC=2NEAD=64°,依據(jù)三角形的外角性質(zhì)計(jì)算

即可.

【詳解】

解：???AD〃BC,

???NEAD=NB二32°,

VAD是AABC的外角/EAC的平分線，

AZEAC=2ZEAD=64°,

TNEAC是△ABC的外角，

/.ZC=ZEAC-ZB=64°-32°=32°,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義，駕馭三角形的一個(gè)外角等于和它不相

鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和是解題的關(guān)鍵.

12.（2024?青海中考真題）如圖，AD//BE//CF,直線卜4與這三條平行線分別交于點(diǎn)A、B、C和

點(diǎn)D、E、F.己知心1,小3,妙1.2,則所的長為（）

A.3.6B.4.8C.5D.5.2

【答案】B

【解析】

【分析】

依據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問題.

【詳解】

解：vAD//BE//CF,

ABDE.11.2

---=----,即一二----,

BCEF3EF

EF=3.6，

DF=EF+DE=3.6+1.2=4.8,

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查平行線分線段成比例定理，解題的關(guān)鍵是嫻熟駕馭基本學(xué)問，屬于中考?？碱}型.

13.(2024?遼寧中考真題)如圖，在△ABC中，ZC=90°,DE是AB的垂直平分線，AD恰好平分NBAC.若

DE=1,則BC的長是.

【解析】

【分析】

依據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等可得AD=BD，再依據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出NDAB=N

B,然后依據(jù)角平分線的定義與宜角三角形兩銳角互余求出/B=30°，再依據(jù)直角三角形30°角所對的直

角邊等于斜邊的一半求出BD,然后求解即可.

【詳解】

解：???AD平分NBAC,且DE_LAB,ZC=90°,

.*.CD=DE=1,

???DE是AB的垂直平分線,

AAl)=BI),

AZB=ZDAB,

VZDAB=ZCAD,

AZCAD=ZDAB=ZB,

VZC=90°,

/.ZCAD+ZDAB+ZB=90°,

.\ZB=30°,

.\BD=2I)E=2,

ABC=BD+CD=l+2=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

本題考查了角平分線的定義和性質(zhì)，線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等的性質(zhì)，直角三角形

30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵?

14.（2024?廣西中考真題）如圖，在A4BC中，sinB=-!-,tanC=—，AB=3f則AC的長為

32

【答案】G

【解析】

【分析】

過A作AD垂直于BC,在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長，在直角三角形ACD中,

利用銳角三角函數(shù)定義求出CD的長，再利用勾股定理求出AC的長即可.

【詳解】

解：過4作

在RrAABO中，sin8=一，AB=3,

3

/.AP=ABsinB=l,

行

在R/A4CD中，tanC=—

2

/.—=—，即CO二及，

CD2

依據(jù)勾股定理得：AC=yjAD2-￥CD2=71+2=73*

故答案為百

【點(diǎn)睛】

此題考查了解直角三角形，涉及的學(xué)問有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，嫻熟駕馭各自的性質(zhì)是解

本題的關(guān)鍵.

15.（2024?山東中考真題）如圖，一架長為6米的梯子AB斜靠在一豎直的墻A0上，這時(shí)測得

ZABO=700,假如梯子的底端B外移到。，則梯子頂端A下移到C,這時(shí)又測得ZCDO=50°,那么AC

的長度約為米.(sin70。。0.94,sin50°?0.77,cos70°?0.34,cos50°?0.64)

【答案】1.02

【解析】

【分^5】

干脆利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出AO，8的長，進(jìn)而得出答案.

【詳解】

由寇意可得:

VZAB6)=70°,AB=6m,

.”cAOAO__.

/.sin70=---=---x0.94,

AB6

解得：A。=5.64（，〃）,

???/COO=50。，DC=6m,

CO

...sin50°=——?0.77,

6

解得：CO