考點12函數(shù)的圖象9種常見考法歸類.【考

點通關(guān)】備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)一輪題型歸納與解題策略(新

高考地區(qū)專用)考點12函數(shù)的圖象9種常見考法歸類

著高頻考點

考點一作圖

考點二函數(shù)圖象的變換

考點三根據(jù)實際問題作函數(shù)的圖象

考點四給出函數(shù)確定圖象

考點五給出圖象確定函數(shù)

考點六由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍

考點七利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

考點八利用圖象解不等式

考點九函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

f。

解題策略

1.利用描點法作圖的步驟

(1)確定函數(shù)定義域：

(2)化簡函數(shù)解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；

(4)描點并作出函數(shù)圖象.

2.利用圖象變換法作圖的步驟

(1)平移變換

①水平平移：了=八￥)的圖象向左平移a(a>0)個單位長度，得到的圖象；y=

/(x—a)(a>0)的圖象可由j=/x)的圖象向右平移a個單位長度而得到.

②豎直平移：y=/U)的圖象向上平移以力>0)個單位長度，得到y(tǒng)=AxHb的圖象；y

=八幻一力S>0)的圖象可由)，=/U)的圖象向下平移b個單位長度而得到.

總之，對于平移變換，記憶口訣為“左加右減，上加下減”.

(2)對稱變換

①x),y=—f(x),y=-A—x)三個函數(shù)的圖象與)=人幻的圖象分別關(guān)于)，軸、x

軸、原點對稱.

②若函數(shù)/*)的圖像關(guān)于直線x=〃對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或/(幻=f(2a-x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x=。對稱的兩點連

線的中點橫坐標為。，即―T―二=。為常數(shù)）；若函數(shù)/"）的圖像關(guān)于點（。,6）對

稱，則對定義域內(nèi)的任意X都有fW=2b-f（2a-x）或f3-x）=2〃一f{a+x）

③函數(shù)y=（x）與_y=fW的圖像關(guān)于），=x對稱.

（3）翻折變換

①y=l/lr）|的圖象作法：作出y=/（x）的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對稱

軸翻折到x軸上方，上方的部分不變.

②y=AR）的圖象作法：作出y=/U）在y軸右邊的圖象，以『軸為對稱軸將其翻折到左

邊得丁=八僅1）在歹軸左邊的圖象，右邊的部分不變.

（4）伸縮變換

①要得到產(chǎn)A/U）s>o）的圖象，可將尸危）的圖象上每點的縱坐標伸（4>1時）或縮（A<1

時）到原來的A倍.

②要得到尸加工）（。>0）的圖象，可將尸大X）的圖象上每點的橫坐標伸時）或縮31

時）到原來的5倍.

3.畫函數(shù)圖象的一般方法：

①直接法：根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點直接作出.②圖象變換法：經(jīng)過平移、翻

折、對稱、伸縮等得到，此時應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影

響.

4.圖象對稱性的證明

（1）證明函數(shù)的對稱性，即證明其圖象上的任意一點關(guān)于對稱中心（或?qū)ΨQ軸）的對稱點仍

在圖象上.

（2）證明曲線G與Cz的對稱性，即證明G上任一點關(guān)于對稱中心（或?qū)ΨQ軸）的對稱點

在C?上，反之亦然.

5.確定函數(shù)的圖象

確定函數(shù)的圖象主要用排除法.要抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：①從函數(shù)的定義域，判

斷圖象的左右位置：從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的

變化趨勢.③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.同時

要善于抓住圖象的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點入手，利用特征點、特殊值的計算分

析等解決問題.

6.給出圖象確定函數(shù)

由圖選式，一般通過圖象體現(xiàn)出的性質(zhì)利用排除法篩選.與由式選圖類似，主要用奇偶

性、單調(diào)性、特值、極限等綜合分析.

7.由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍

由函數(shù)圖象，研究其性質(zhì)，進而確定參數(shù)值或范圍，體現(xiàn)了由形到數(shù)的思維.

8.利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)圖象應(yīng)用廣泛，是研窕函數(shù)性質(zhì)不可或缺的工具.數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快、準為前提，充

分利用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，互為補充，互相滲透.

9.利用圖象解不等式

與指、對、異混合型函數(shù)相關(guān)的不等式問題，常通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點

和在交點兩側(cè)圖象的上、下位置關(guān)系來求解.

10.函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

⑴利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直

觀性得到方程解的個數(shù).

(2)利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，求出

它們的交點，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案

(3)利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先做出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，

從圖像上尋找取得最值的位置，計算出結(jié)果，這體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想。

&___________

W考點精析

考點一作圖

1.(2023?全國?高W對口高考)作出下列函數(shù)的圖像：

,2x-3

(1)>'=--------

x-3

⑵、=丁-2國-3；

(3)y=\!x2-2x+l+-:

x

(4)>,=2-卜一斗

⑸尸曠L

(6)/(X)=|X2-4X-5|；

(7)>'=|log2(x+l)|.

2.(2023秋?河南洛陽?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(”=|log/|—L

濘…

:丁-:6+

I—▲—J—?—'—????」?????\—d—

3?

:??；??」??」??」—:——I'.HJLII--I-L-.L--L--i-.

1

I，??，I.?」???」aa'a?1L■■L--L--L--

J7-6-5-4-3-2-iQ1234567

-1,

；??；??；??1??<--；--：-2---：--:---r--r--r--r--i

⑴作出/(X)的圖象;

⑵討論函數(shù)F(x)=〃x)-為(4GR)的零點個數(shù).

3.(2023春?浙江杭州?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/(%)="-4兇+3.

5

4

3

2

1

IIIII

-5-4-3-2-\O12345x

-1

-2

(I)在下面的平面直角坐標系中，作出函數(shù)/(X)的圖象，并寫出單調(diào)增區(qū)間:

⑵方程有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)機的取值范圍.

4.(2023?內(nèi)蒙古烏蘭察布?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)，(x)=|x-l|,g(x)=2|x+2|-|x-l|.

(1)畫出y=/3和y=g(”)的圖象;

⑵若f(x+a)Ng(x),求。的值.

5.(2023春?天津河北?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)

⑴判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出函數(shù)〃力的極值；

(2)畫出函數(shù)/(6的大致圖象；

⑶討論方程〃x)=a(“wR)的解的個數(shù).

6.(2023秋?高三單元測試)已知/(工)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)上20時，f(x)=x2-x.

⑴求/(X)的解析式：

⑵畫出/(x)的圖象；

⑶求該函數(shù)的值域.

(2X+L￥<0

7.(2023秋?安徽合肥?高三?？计谀?已知/(力=(,~八.

[log2(x+l),x>0

(1)作出函數(shù)f(x)的圖象:

(2)寫出函數(shù)/(%)的單調(diào)區(qū)間;

⑶若函數(shù)y=/（x）-機有兩個零點，求實數(shù)，〃的取值范圍.

考點二函數(shù)圖象的變換

8.（2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)y=1og2”的圖象向上平移1個單位長度，得到

函數(shù)＞=/（%）的圖象，則"%）=（）

A.log2（x+l）B.1+log,-v

C.iog2(x-l)D.-l+log2x

9.（2023?北京豐臺?統(tǒng)考二模）為了得到函數(shù)y-lo&（2x-2）的圖象，只需把函數(shù)，，-log?X

的圖象上的所有點（）

A.向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度

B.向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度

C.向左平移I個單位長度,再向上平移I個單位長度

D.向右平移1個單位長度,再向上平移1個單位長度

10.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)，=|@x+D|的圖像是（）

11.（2023春?河北邯鄲?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）將函數(shù)"x）的圖象向右平移1個單位長度后,

再向上平移4個單位長度，所得函數(shù)圖象與曲線），=4,關(guān)于直線％=1對稱，則/{￡]=（）

A.-4B.-3C.-2D.4

12.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)y=/。）的圖象與.v=c'的圖象關(guān)于），軸對稱，再把

的圖象向右平移I個單位長度后得到函數(shù)了=8。）的圖象，則g（x）=.

13.（2023?青海西寧?統(tǒng)考一模）已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為），=/"）,則圖2對應(yīng)的函數(shù)是（）

A.y=/(-|x|)C.y=f(\x\)D.y=-f(-x)

14.（2023?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)尸八用的圖象與），=3小的圖象關(guān)于直線產(chǎn)r對稱,

若/（3）+/（9）=1,實數(shù)機的值為.

考點三根據(jù)實際問題作函數(shù)的圖象

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）列車從A地出發(fā)直達500km外的“地，途中要經(jīng)過離A地

300km的。地，假設(shè)列車勻速前進,5h后從A地到達8地,則列車與C地距離發(fā)（單位:km）

與行駛時間，（單位：h）的函數(shù)圖象為（）

16.（2023秋?北京昌平?高三統(tǒng)考期末）某校航模小組進行無人機飛行測試，從某時刻開始

15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與飛行時間1（單位：分鐘）的關(guān)系如圖所示.若定

義“速度差函數(shù)（單位：米/分鐘）為無人機在［0,可這個時間段內(nèi)的最大速度與最小速

17.（2023秋?高三課時練習(xí)；“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的

烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已

晚，烏龜還是先到達了終點.用S2分別表示烏龜和兔子經(jīng)過的路程，，為時間，則與故事

情節(jié)相吻合的是（）

A.

O

18.（2023秋?高三單元測試）如圖，點P在邊長為1的正方形邊上運動，設(shè)M是C。的中

點，則當(dāng)P沿A-B—C-M運動時，點?經(jīng)過的路程上與△APM的而枳y之間的函數(shù)），=/（"

的圖像大致是（）

19.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，正△A8c的邊長為2,點。為邊A8的中點，點P

沿著邊AC,C6運動到點8,記N4?=工困數(shù)/（x）=|/科2-|/刊2,則），=/（*?）的圖象

大致為（）

20.（2023秋?湖南長沙?高三長沙一中校考階段練習(xí)）青花瓷，乂稱白地青花瓷，常簡稱青

花，是中國瓷器的主流品種之一.如圖，這是景德鎮(zhèn)青花瓷，現(xiàn)往該青花瓷中勻速注水，則

A.B.

考點四給出函數(shù)確定圖象

2

21.（2U23春?四川成都?高二成都七中校考期中）函數(shù)_/（x）=］的大致圖像為（）

22.（2023?海南?校聯(lián)考模擬預(yù)測）函數(shù)■廿的部分圖象大致是（）

23.（海南省2023屆高三學(xué)業(yè)水平診斷（三）數(shù)學(xué)試題）函數(shù)/（力一

10（41）的人致圖象

是（）

25.（海南省海口市海南省農(nóng)墾實驗中學(xué)等2校2023屆高三一模數(shù)學(xué)試題）若函數(shù)

/（x）=sin2A+2shu,則的圖象大致為（）

26.（2023?全國?高三專題練習(xí)）函數(shù)/（戈）=胃一（AACGR）的圖象可能為（）

C

考點五給出圖象確定函數(shù)

27.（2023春?江蘇南京?高三江蘇省高淳高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)/。）的圖象如

D./（A-）=^

c

28.（2023?陜西咸陽?統(tǒng)考三模）已知函數(shù)/V）的部分圖象如圖所示，則它的解析式可能是

C./（X）=c'COSAD./（A）=cvsinA

29.（2023?全國?校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)f（x）的部分圖象如下圖所示，則〃”的解析

式可能為（）

cos(4cosgx)+cos(4sin；x)

A.cos(4cosx)+cos(4sinx)B.

cos(4cos1ix)4

C.sinl4cos-xl+sinl4sin-xD.

24

30.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)/（月=。'一。7,g(x)=cosx,如

圖可能是下列哪個函數(shù)的圖象（）

B./(X)-^(A)+2

g")

C./(x)g(x)D.

/(A)

31.（2023?寧夏石嘴山?平羅中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖是下列四個函數(shù)中的某個函數(shù)在區(qū)間

[-2,2]上的大致圖象，則該函數(shù)是（）

、xsinlxx2sin2x

A-小)=最三B.

/3=eA-e"

/、xcos2xx2cos2.v

c/(x)=Tr—T

e-e

考點六由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍

32.（2023秋?高三課時練習(xí)）已知函數(shù)）ylogKx+c）為常數(shù)，其中“〉。卬d1）的圖

象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是（）

A.B.?>l,0<c<1

C.0<a<l,c>ID.0<a<1,()<<:<I

33.（2023秋?山東青島?高三統(tǒng)考期中）函數(shù)/（力=熱*的圖象如圖所示，則下列結(jié)論

成立的是（）

A.a>(),b>(),c<()B.a<0,b>0,c>0

C.a<0,b>0.c<0D.?<0./?<0,c<0

34.【多選】（2023春?江西宜春）已知函數(shù)/（x）=ACOS（0“+8）+"4＞0.口＞0.網(wǎng)＜不力＞0

若函數(shù)y=|f（x）|的部分圖象如圖所示，則下列關(guān)于函數(shù)/。）的結(jié)論中，正確的是（）

C.圖象的對稱中心為（石+

D.在區(qū)間上單調(diào)遞用

66

考點七利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

35.【多選】（2023春.江蘇常州.高三常州市北郊高奴孑厚梭著并學(xué)著銃5”巨知函數(shù)

/W=V-4|x|+l,則下列說法正確的是()

A.函數(shù)y=f(x)在(YO,-2］上是單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=/(x)在卜2,0］上是單調(diào)遞增

C.當(dāng)X=o時，函數(shù)y=/(x)有最大值

D.當(dāng)x=-2或x=2時，函數(shù)y=/(x)有最小值

36.【多選】(2023秋?重慶?高三校聯(lián)考期中)已知函數(shù)/(x)于*(-%),且/("的對稱中心

為(1,0),當(dāng)xe［2,3］時，r(A)=3-x,則下列選項正確的是()

A./("的最小值是-1B./(力在(-3，-2)上單調(diào)遞減

C./(%)的圖像關(guān)于直線x=-2對稱D./(X)在(3,4)上的函數(shù)值大于0

37.(2023?全國?高三專題練習(xí))若VxwR,/(x+l)=/(l-x),當(dāng)時，f(x)=x2-4x,

則下列說法正確的是()

A.函數(shù)/(x)為奇函數(shù)B.函數(shù)在(Lxo)上單調(diào)遞增

C./⑴…=TD.函數(shù)在(YO.I)上單調(diào)講減

考點八利用圖象解不等式

38.(2023秋?北京平谷?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)〃x)=log{+l),若/(x)＞此則x的

范圍是.

39.(2023?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=2'-x-l,則不等式/。)＞。的解集是

40.(2023?河南新鄉(xiāng)?統(tǒng)考三模)設(shè)函數(shù)"0的定義域為R,滿足/(X-2)=2/(X),且當(dāng)

XG(0,2］時，/(X)=A(2-X).若對任意xG5,”)，都有f(x)V?成立，則。的取值范圍是()

O

A.g,”)B.

C.卜8,-|D.1-—|

41.(2023?陜西安康?陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測)定義在R上函數(shù)滿足

/(x+l)+/(l-x)=0,/(—2x+l)=/(3+2%).當(dāng)時，/(x)=(x-l)3,則下列選項

能使/(力＞：成立的為()

O

79212533(\921)

A.B.C.

2,2T'T2y2

考點九函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

42.(2023秋?浙江?高三階段練習(xí))已知關(guān)于x的函數(shù))，二|2戈-叫與)，=4+(陽+1)》-團的圖

象有2個交點，則m的取值范圍是.

43.(2023秋?浙江衢州?高三?？茧A段練習(xí))已知函數(shù)/("=01，若函數(shù)

lnx,x>0

g(x)=〃x)-a有3個零點，則。的取值范圍是.

x+l,jr<0

44.(2023秋?重慶合川?高三重慶市合川中學(xué)校考期末)已知函數(shù)/(x)={1.\八，若

關(guān)于x的方程尸")+(〃?-4)/次)+2(2-/〃)=0有五個不同的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍

是()

A.[1,3]B.(0,2]C.[1,2)D.(0,1)

45.(2023春?遼寧?高三校聯(lián)考階段練習(xí))函數(shù)/(x)=2sin(?渺圖像與函數(shù)

g(x)=木■的圖像在[F8]上有交點的橫坐標之和為.

46.(2023秋?四川廣安?高三統(tǒng)考期末)函數(shù)=|匕二乳若內(nèi)<小<內(nèi)，且

(3,x<0

/(%)=/(毛)=/(&)，則如J的取值范圍是.

X2+A3

|lg,r|,0<x<10

47.(2023?高三課時練習(xí))已知函數(shù)1/八，若a、b、c互不相等，且

一一x+6,x>10

2

/(?)=./(b)=/(e),則〃兒的取值范圍是()

A.[10,12]B.(10,12]C.(10,12)D.[10,12)

考點12函數(shù)的圖象9種常見考法歸類

善高頻考點

考點一作圖

考點二函數(shù)圖象的變換

考點三根據(jù)實際問題作函數(shù)的圖象

考點四給出函數(shù)確定圖象

考點五給出圖象確定函數(shù)

考點六由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍

考點七利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

考點八利用圖象解不等式

考點九函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

,二解題策略

1.利用描點法作圖的步驟

(1)確定函數(shù)定義域：

(2)化簡函數(shù)解析式；

(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值等)；

(4)描點并作出函數(shù)圖象.

2.利用圖象變換法作圖的步驟

(1)平移變換

①水平平移：)，=人幻的圖象向左平移。(。＞0)個單位長度，得到的圖象；＞?=

/Lr—”)(a＞0)的圖象可由j=/x)的圖象向右平移a個單位長度而得到.

②豎直平移：y=/U)的圖象向上平移力仍＞0)個單位長度，得到y(tǒng)=f(xHb的圖象；y

=共幻一力S＞0)的圖象可由)，=/U)的圖象向下平移b個單位長度而得到.

總之，對于平移變換，記憶口訣為“左加右減，上加下減”.

(2)對稱變換

①y=八一幻，y=-Jlx),)，=一人一幻三個函數(shù)的圖象與)，=/5)的圖象分別關(guān)于)，軸、x

軸、原點對稱.

②若函數(shù)/(x)的圖像關(guān)于直線x=〃對稱，則對定義域內(nèi)的任意x都有

f(a-x)=f(a+x)或/(幻=f(2a-x)(實質(zhì)上是圖像上關(guān)于直線x對稱的兩點連

線的中點橫坐標為。,即3一X)；3+*=a為常數(shù))；若函數(shù)/")的圖像關(guān)于點①,與對

稱，則對定義域內(nèi)的任意r都有f(x)=2b-f(2a-力或-x)=2〃一f(a+x)

③函數(shù)y=f-{(x)與y=fW的圖像關(guān)于y=x對稱.

(3)翻折變換

①y=l/U)l的圖象作法：作出y=/U)的圖象，將圖象位于x軸下方的部分以x軸為對稱

軸翻折到x軸上方，上方的部分不變.

②的圖象作法：作出y=/U)在)，軸右邊的圖象，以)，軸為對稱軸將其翻折到左

邊得yfM)在y軸左邊的圖象，右邊的部分不變.

（4）伸縮變換

①要得到y(tǒng)=/VU）G4>0）的圖象，可將y=./lx）的圖象上每點的縱坐標伸（4>1時）或縮（A<1

時）到原來的A倍.

②要得到嚴加工）（。>0）的圖象，可將尸八X）的圖象上每點的橫坐標伸時）或縮（。>1

時）到原來的:倍.

3.畫函數(shù)圖象的一般方法：

①直接法：根據(jù)函數(shù)的特征描出圖象的關(guān)鍵點直接作出.②圖象變換法：經(jīng)過平移、翻

折、對稱、伸縮等得到，此時應(yīng)注意平移變換與伸縮變換的順序?qū)ψ儞Q單位及解析式的影

響.

4.圖象對稱性的證明

（1）證明函數(shù)的對稱性，即證明其圖象上的任意一點關(guān)于對稱中心（或?qū)ΨQ軸）的對稱點仍

在圖象上.

（2）證明曲線G與C2的對稱性，即證明G上任一點關(guān)于對稱中心（或?qū)ΨQ軸）的對稱點

在Ca上，反之亦然.

5,確定函數(shù)的圖象

確定函數(shù)的圖象主要用排除法.要抓住函數(shù)的性質(zhì)，定性分析：①從函數(shù)的定義域，判

斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.②從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的

變化趨勢.③從周期性，判斷圖象的循環(huán)往復(fù).④從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性.同時

要善于抓住圖象的特征，定量計算：從函數(shù)的特征點入手，利用特征點、特殊值的計算分

析等解決問題.

6.給出圖象確定函數(shù)

由圖選式，一般通過圖象體現(xiàn)出的性質(zhì)利用排除法篩選.與由式選圖類似，主要用奇偶

性、單調(diào)性、特值、極限等綜合分析.

7.由函數(shù)圖象確定參數(shù)范圍

由函數(shù)圖象，研究其性質(zhì)，進而確定參數(shù)值或范圍，體現(xiàn)了由形到數(shù)的思維.

8.利用圖象研究函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)圖象應(yīng)用廣泛，是研究函數(shù)性質(zhì)不可或缺的工具.數(shù)形結(jié)合應(yīng)以快、準為前提，充

分利用“數(shù)''的嚴謹和“形”的直觀，互為補充，互相滲透.

9.利用圖象解不等式

與指、對、幕混合型函數(shù)相關(guān)的不等式問題，常通過數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點

和在交點兩側(cè)圖象的上、下位置關(guān)系來求解.

10.函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用

⑴利用函數(shù)圖像判斷方程解的個數(shù).由題設(shè)條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直

觀性得到方程解的個數(shù).

(2)利用函數(shù)圖像求解不等式的解集及參數(shù)的取值范圍.先作出所研究對象的圖像，求出

它們的交點，根據(jù)題意結(jié)合圖像寫出答案

(3)利用函數(shù)圖像求函數(shù)的最值，先做出所涉及到的函數(shù)圖像，根據(jù)題目對函數(shù)的要求，

從圖像上尋找取得最值的位置，計算出結(jié)果，這體現(xiàn)出了數(shù)形結(jié)合的思想。

考點精析

考點一作圖

1.(2023?全國?高=對口高考)作出下列函數(shù)的圖像：

2x-3

(1)>=----7

x-3

⑵y=f-2兇-3：

(3))，=&-2%+1+國；

X

(4)),=2-k-引：

(|

⑸)'七J

(6)/W=p-4x-5|；

(7)y=|log2(.v+l)|.

【答案】(I)答案見解析

(2)答案見解析

(3)答案見解析

(4)答案見解析

(5)答案見解析

⑹答案見解析

⑺答案見解析

【分析】(I)將y二-生=化為)=-2--由反比例函數(shù)y=-3的圖象經(jīng)過平移變換

x-3x-3x

可得答案；

(2)將函數(shù)寫成分段函數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)圖象可得答案：

(3)化簡函數(shù)解析式，分段作出函數(shù)圖象；

(4)脫掉絕對值符號，化簡函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)圖象口..得答案：

(5)結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象，依據(jù)圖象的平移以及對稱變換可得答案：

(6)結(jié)合二次函數(shù)圖象，依據(jù)圖象對稱變換可得答案:

(7)結(jié)合對數(shù)函數(shù)圖象，依據(jù)圖象對稱變換可得答案.

【詳解】⑴函數(shù)尸-分=-2-*'則其圖象可看作由反比例函數(shù)y—的圖象,

先向右平移3個單位，再向下平移2個單位得到，其圖象如圖示：

—2,r—3,x20

(2)其圖象如圖:

+2.t-3,x<0

-x,x<0

-A+2,0<X<1,其圖象如圖:

x,x>\

.r-x+2,0<x<l

(4)設(shè)以工)=尸2-卜一日其圖象如圖:

-A2十八十2,人0或il

（5）設(shè)人（x）=），=6j"-l,其圖象可看作由函數(shù)），

=的圖象向右平移1個單位，再

向下平移I個單位得到,

其圖象可由），=《）”的圖象保留xNO時的圖象，然后將該部分

關(guān)于y軸對稱得到,

圖象如圖示:

（6）/（司=k2-4"-5|的圖象可由函數(shù)），=f—4x-5的圖象保留x軸上方的部分不變,

將X軸下方的部分翻折到A■軸匕方得到，圖象如圖:

（7）設(shè)f（x）=y=Mg2（x+l）|,則其圖象可由），=bg2%的圖象向左平移I個單位,

再保留x軸上方部分不變，將x軸下方部分翻折到x軸上方得到，如圖:

2.(2023秋?河南洛陽?高三?？茧A段練習(xí))設(shè)函數(shù)/(x)=|log/|-L

⑴作出的圖象;

(2)討論函數(shù)/(x)=/(x)-%(4€R)的零點個數(shù).

【答案】(【)見解析

(2)當(dāng)a>-g時，產(chǎn)(x)=/(x)-2a有兩個零點：

當(dāng)a=-g時，/(力=〃力-2”有一個零點：

當(dāng)。<一；時，尸(刈=/")一2a沒有零點.

【詳解】(1)當(dāng)121時,/(A-)=log2x-l：當(dāng)Ovxvl時,/lA)=-log2X-i,其圖象如圖

所示：

(2)函數(shù)/(x)=〃x)-〃(aeR)的零點個數(shù)可轉(zhuǎn)化為y=/(x)與y=2a交點的個數(shù)，如圖:

當(dāng)2a＞-1即時，1y=/(%)與丁=2〃有兩個交點:

當(dāng)為=7即時，＞=/")與，=2〃有一個交點;

當(dāng)2a＜T即。＜一＜時，y=/(x)與y=2tt沒有交點，

綜上：

當(dāng)心一;時，/(x)=f(x)-2a有兩個零點；

當(dāng)a=_g時，網(wǎng)耳=/(6-2a有一個零點：

當(dāng)時，/(力=〃"-%沒有零點.

3.(2023春?浙江杭州?高三校考階段練習(xí))已知函數(shù)/(另=丁-4國+3.

5

4

3

2

-5-4-3-2-\O12345x

(1)在下面的平面直角坐標系中，作出函數(shù)f(x)的圖象，并寫出單調(diào)增區(qū)間；

(2)方程/")=，〃有四個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)加的取值范圍.

【答案】(I)答案見詳解；

(2)-1d3.

【詳解】(1)當(dāng)xNO時，，f|")=丁-4x+3；當(dāng)x＜。時，/(*)=/+41+3,

x2-4.r+3,x>0

所以,/(??)='

X2+4X+3,A-<0

作出函數(shù)/(x)的圖象如下圖

由圖像可知，f(x)在(F,-2)上單調(diào)遞減,在(-2,0)上單調(diào)遞增,在(0,2)上單調(diào)遞減,在

(2,+8)上單調(diào)遞增.

如圖2,作出函數(shù)與直線)，=切的圖象.

由圖2知，當(dāng)-時，直線y=m與)，=/(1)有4個交點，即方程/(/)=〃，有四個不相

等的實數(shù)根，

所以，-1<w<3.

4.(2023?內(nèi)蒙古烏蘭察布?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=|xT|,ga)=2|x+2|TxT|.

(2)若/(x+4)2g(x),求〃的[直.

【答案】(1)圖象見解析

(2)6

【分析】(I)利用分段函數(shù)的性質(zhì)作圖；

(2)利用絕對值不等式的解法結(jié)合函數(shù)圖象求解.

(―.V—5,x<-2,

【詳解】(1)由已知得，/?)=一：,,^(x)=3x+3,-2<x<l,

-x+\,x<\v

[x+5,x>I.

y=f(x)和)，=g(x)的圖象如圖所示.

(2)y=/(x+a)的圖象是由函數(shù))，=/(x)的圖象向左平移。(?>0)個單位長度,

或向右平移時(?<0)個單位長度得到的，

根據(jù)圖象/(x+a)2g。)，

可知把函數(shù))，=/*)的圖象向右平移不符合題意，只能向左平移.

當(dāng)向左平移使j=/*?+〃)的圖象的右支經(jīng)過y=g(x)的圖象上的點(1,6)時

此時>'=/(X+㈤的圖象的右支對應(yīng)的函數(shù)解析式為

)，=x+〃-y=/(x+a)的圖象的左支與y=g(x)的圖象的一部分重合,

代入點(1,6)的坐標,則6=1+，—1,解得a=6.

因為/(x+a)2g(x),所以a=6.故a的值為6.

5.(2023春?天津河北?高三統(tǒng)考期中)已知函數(shù)/(x)=j

⑴判斷函數(shù)外力的單調(diào)性,并求出函數(shù)外力的極值；

⑵畫出函數(shù)八％）的大致圖象：

⑶討論方程WR）的解的個數(shù).

【答案】（【）在（YO，I）上遞增，在（1，3>）上遞減，極大值J：

e

（2）函數(shù)圖象見解析：

（3）答案見解析.

【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)/（"的單調(diào)區(qū)間，求出極值作答.

（2）由（1）分析函數(shù)的性質(zhì)，作出圖象作答.

（3）結(jié)合（2）中函數(shù)圖象，探討方程/（x）=MawR）的解的個數(shù)作答.

【詳解】（1）函數(shù)/"）='的定義域為R.求導(dǎo)得r（x）=￡f,

當(dāng)x<l時，/"）>0,當(dāng)x>l時，r（x）<0,因此函數(shù)/（x）在（YO,1）上單調(diào)遞增，在（1,+8）

上單調(diào)遞減，

當(dāng)x=l時，函數(shù)/（%）取得極大值，/（1）=-,無極小值.

e

（2）由（I）知，函數(shù)/（M在（TC,I）上單調(diào)遞增，在（L”）上單調(diào)遞減，/（X）max=-,/（（））=（）,

e

當(dāng)X>1時，/（幻>0恒成立，因此當(dāng)X>1時，隨X的增大，/（X）的圖象在X軸的上方與X

軸無限接近，

函數(shù)〃X）的大致圖象如圖，

(3)令g(*)=e"-x-l,g，(x)=e*-l,當(dāng)x<0時g'(x)<。，當(dāng)x>0時，5*(x)>0,

函數(shù)g(x)在(F，0)上單調(diào)遞減，在(。，內(nèi))上單調(diào)遞增，X/xeR,g。)>g(0)=0,即e-x+1,

有e-x>-x+l，

當(dāng)x<0時，efr+1,5一…，而函數(shù)尸4+x在S，0)上單調(diào)遞增,

其值域為(YO,0)，因此函數(shù)〃工)=?■在(f，0)上無最小值，取值集合為(TO,0)，

方程/(x)="的解的個數(shù)等價于函數(shù)y=/(x)的圖象與直線y=。的公共點個數(shù)，

在同一坐標系內(nèi)作出直線、=“與函數(shù)y=/(x)的部分圖象，如圖，

觀察圖象知，當(dāng)時，方程f(x)=a的解的個數(shù)為0,

e

當(dāng)或時，方程/(1)=。的解的個數(shù)為1,

e

當(dāng)0<。<［時，方程/*)=〃的解的個數(shù)為2.

e

6.(2023秋?高三單元測試)已知/(文)是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng).CO時，f(x)=x2-x.

⑴求〃x)的解析式；

⑵畫出/(x)的圖象；

(3)求該函數(shù)的值域.

八、"\f^2-x,x>0

【答案】⑴={2八

x+x,x<0

(2)圖象見解析

(3)總+8)

【分析】(I)由函數(shù)奇偶性求解函數(shù)解析式：

(2)得到函數(shù)的單調(diào)性及特殊點的函數(shù)值，畫出函數(shù)圖象;

(3)在(2)的基礎(chǔ).匕數(shù)形結(jié)合得到函數(shù)值域.

【詳解】(1)當(dāng)x<0時，T>0,故/(一x)=(-x)’+X=Y+X,

因為/(X)是定義在R上的偶函數(shù),所以f(r)=/(x)，

所以/(x)=W+x,

X2-x,x>0

綜上,f(x)=

x2+A,X<0

(2)當(dāng)xXO時，/(x)=x2

在IT'+30)上單調(diào)遞增'

又因為小)為偶函數(shù)，故"X)在(-，-；)上單調(diào)遞減，在(-則上單調(diào)遞增,

且/卜/(-1)=/(1)=/(0)=0，

畫出函數(shù)圖象如下:

2X+1,A<0

7.(2023秋?安徽合肥?高三?？计谀狄阎?。)=

log,(x+l),x>0

(1)作出函數(shù)/(%)的圖象;

⑵寫出函數(shù)人力的單調(diào)區(qū)間；

⑶若函數(shù)y=/(x)T〃有兩個考點，求實數(shù)〃，的取值范圍.

【答案】⑴作圖見解析

(2)/(A)的單調(diào)增區(qū)間是(YO,0),(0,+8):無單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)1<W<2

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)/W的表達式，作出函數(shù)的圖象即可；

(2)根據(jù)函數(shù)/(x)的函數(shù)圖象，寫出單調(diào)區(qū)間即可；

(3)問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的交點問題，結(jié)合函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合得出結(jié)果即可.

【詳解】(I)畫出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示：

/（X）的單調(diào)增區(qū)間是：無單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若函數(shù)y=/（x）一機有兩個零點，

則y=f（x）與），=加有2個交點，結(jié)合圖像得】＜，〃m2.

考點二函數(shù)圖象的變換

8.（2023?北京?高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)丁=1。氐x的圖象向上平移1個單位長度，得到

函數(shù)y=/（x）的圖象，則〃工）=（）

A.log,（A+l）B.l+log2,r

C.log,（x-l）D.-l+log2.x-

【答案】B

【分析】根據(jù)函數(shù)平移變換進行求解即可.

【詳解】將函數(shù)的圖象向上平移I個單位長度，得到函數(shù)y=l+10g2X.

故選：B.

9.（2023?北京豐臺?統(tǒng)考二模）為了得到函數(shù)），=1。8式2I-2）優(yōu)圖象，只需把函數(shù)），=1留2工

的圖象上的所有點（）

A.向左平移2個單位長度,再向上平移2個單位長度

B.向右■平移2個單位長度,再向下平移2個單位長度

C.向左平移I個單位長度,再向上平移1個單位長度

D.向右平移1個單位長度,再向上平移I個單位長度

【答案】D

【分析】按照左加右減，上加下減，結(jié)合對數(shù)運算法則進行計嵬，得到答案.

【詳解】A選項，向左平移2個單位長度，再向上平移2個單位長度，得到

y=log3（x+2）+2=log24（x+2）=log24x+8,錯誤；

B選項，向右平移2個單位長度，再向下平移2個單位長度得到y(tǒng)=log2（x-2）-2=k）g2—,

錯誤：

C選項，向左平移1個單位長度，再向上平移I個單位長度得到

y=log,(A+1)+1=log2(A-+1)+log,2=Iog22(X+1)=log2(2x+2),錯誤;

D選項，向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度得到

.V=log2(x-l)+l=log,(x-1)4-log,2=log22(x-l)=log,(2x-2),正確.

故選：D

10.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù).v=|lg(x+l)|的圖像是()

【分析】由函數(shù)），=lgx的圖復(fù)與4軸的交點是（I，。）結(jié)合函數(shù)的平移變換得函數(shù)y=l?x+i）|

的圖象與“軸的公共點是（0,0）,即可求解.

【詳解】由于函數(shù)y=ig（x+i）的圖象可由函數(shù)y=igx的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)

y=ig工的圖象與x軸的交點是（1.（））,

故函數(shù)y=ig（x+i）的圖象與x軸的交點是（0、。），即函數(shù)y=|ig（"D|的圖象與1軸的公共點是

（0,0）,顯然四個選項只有A選項滿足.

故選:A.

11.（2023春?河北邯鄲?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）將困數(shù)"X）的圖象向右平移1個單位長度后，

再向上平移4個單位長度，所得函數(shù)圖象與曲線），=4,關(guān)于直線x=l對稱，則/（-：）=（）

A.-4B.-3C.-2D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象與函數(shù)），=4、的圖象關(guān)于直線x=l對稱，再利用函數(shù)平移

變換法則求出函數(shù)八幻的解析式，進而可得答案.

【詳解】函數(shù)），=42-*的圖象與函數(shù)），=4、的圖象關(guān)于直線x=l對稱，

將＞'=42-的圖象向下平移4人單位長度得到），=42T—4的圖象，

再將y=42-，-4的圖象向左平移1個單位長度得到」=42-（川）-4=4修-4的圖象，

即/（x）=4i_4,&/^-^=4^-4=4.

故選:D.

12.(2023?全國?高三專題練習(xí))函數(shù)y=/(x)的圖象與，=/的圖象關(guān)于)，軸對稱，再把

)，=f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到函數(shù))，=8。)的圖象，則&(幻=.

【答案】e-r+,

【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性及函數(shù)圖象變換的原則即可求解.

【詳解】解：由題意可知/("=夕”,

把丁=/(幻的圖象向右平移1個單位長度后得ga)=e-g)=。-向，

故答案為：c—z.

13.(2023?青海西寧?統(tǒng)考二模)已知圖1對應(yīng)的函數(shù)為)=/"),則圖2對應(yīng)的函數(shù)是()

C.y=.f(|x|)D.y=-f(-x)

【答案】A

【分析】根據(jù)兩函數(shù)圖象的關(guān)系知，所求函數(shù)為偶函數(shù)且XK0時兩函數(shù)解析式相同，即可

得解.

【詳解】根據(jù)函數(shù)圖象知，當(dāng)XWO時，所求函數(shù)圖象與已知函數(shù)相同,

當(dāng)x>o時，所求函數(shù)圖象與K<O時圖象關(guān)于了軸對稱，

即所求函數(shù)為偶函數(shù)且Xw0時與y=/(X)相同，故BD不符合耍求,

當(dāng)x?0時，)，=/(—|x|)=/a),y=f(\x\)=f(-x),故A正捅，C錯誤.

故選：A.

14.(2023?全國?高三專題練習(xí))設(shè)函數(shù)產(chǎn)/⑶的圖象與y=3…的圖象關(guān)于直線產(chǎn)r對稱,

若/(3)+/(9)=1,實數(shù)機的值為.

【答案】1

【分析】根據(jù)題意求出/(工)=1/31-〃?，從而列出方程，求出機=1.

【詳解】??r二3'5,函數(shù)產(chǎn)的圖象與y=3"m的圖象關(guān)于直線產(chǎn)x對稱

X=10g3y-/M,

/(A)-Iog3x-/zI

/(3)+/(9)=l-w+2-zn=l,

m=\.

故答案為：1

考點三根據(jù)實際問題作函數(shù)的圖象

15.（2023?全國?高三專題練習(xí)）列車從A地出發(fā)直達500km外的5地，途中要經(jīng)過離A地

300km的。地，假設(shè)列車勻速前進，5h后從A地到達8地，則列車與C地距離V（單位：km）

與行駛時間?（單位：h）的函數(shù)圖象為（

【分析】當(dāng)列車到達c地時，距離）?=o,求出列車到達c地的時間即可.得出答案.

【詳解】由題可知列車的運行速度為軍=100km%,

QAf）

??列車到達C地的時間為蕓=3h,

100

故當(dāng)，=3時，y=0.

故選：C.

16.（2023秋?北京昌平?高三統(tǒng)考期末）某校航模小組進行無人機飛行測試，從某時刻開始

15分鐘內(nèi)的速度（單位：米/分鐘）與飛行時間*（單位：分鐘）的關(guān)系如圖所示.若定

義“速度差函數(shù)”“（x）（單位：米/分鐘）為無人機在［0,燈這個時間段內(nèi)的最大速度與最小速

【分析】根據(jù)圖像分析，即可得到答案

【詳解】由題圖知，當(dāng)x?0,6］時，無人機做勻加速運動j(x)=80+*不"速度差函數(shù)”

當(dāng)xe［6,10］時，無人機做勻減速運動，速度v(x)從160開始卜降.一直降到80,“速度差函數(shù)”

〃(x)=8O：

當(dāng)xe［10,12］時，無人機做勻減速運動，】什)從80開始下降j(x)=180-10xJ速度差函數(shù)”

W(X)=160-(180-10A)=10X-20；

當(dāng)xe［12,15］時無人機做勻加速運動,“速度差函數(shù)1，(x)=160-60=l00.

所以函數(shù)〃3在［6,10］利［12,15］兩個區(qū)間上都是常數(shù).

故選：C

17.(2023秋?高三課時練習(xí)：“龜兔賽跑”講述了這樣的故事：領(lǐng)先的兔子看著慢慢爬行的

烏龜，驕傲起來，睡了一覺，當(dāng)它醒來時，發(fā)現(xiàn)烏龜快到終點了，于是急忙追趕，但為時已

晚，烏龜還是先到達了終點.用s/,