數(shù)學(xué)智力考試題及答案姓名：____________________

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.若方程x^2-5x+6=0的兩個(gè)根分別為a和b，則a+b的值為：

A.2B.3C.5D.6

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：

A.（2，3）B.（-2，-3）C.（-2，3）D.（2，-3）

3.若sinα+cosα=√2/2，則cosα的值為：

A.1/2B.√2/2C.√2/4D.-√2/4

4.在三角形ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=5，b=8，且cosB=3/5，則三角形ABC的面積S為：

A.20√2/3B.40/3C.16√2/3D.16/3

5.若函數(shù)f(x)=2x-3在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，則f(2)的值一定大于：

A.0B.1C.2D.3

6.若方程x^2-2x-3=0的兩個(gè)根為實(shí)數(shù)，則該方程的判別式Δ的值為：

A.0B.1C.2D.4

7.若向量a=（1，2），向量b=（3，4），則向量a與向量b的數(shù)量積為：

A.7B.10C.5D.0

8.若函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處有極值，則該極值為：

A.最大值B.最小值C.0D.無極值

9.在△ABC中，若∠A=60°，a=4，b=5，則△ABC的面積S為：

A.4√3B.10√3C.8√3D.6√3

10.若函數(shù)f(x)=(x-1)^2在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，則f(1)的值一定大于：

A.0B.1C.2D.3

11.若方程2x^2-4x+3=0的兩個(gè)根分別為a和b，則ab的值為：

A.1B.3C.-1D.-3

12.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（1，2）關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：

A.（1，2）B.（2，1）C.（-1，-2）D.（-2，-1）

13.若函數(shù)f(x)=x^2+2x+1在x=-1處有極值，則該極值為：

A.最大值B.最小值C.0D.無極值

14.若函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞增，則f(π/2)的值一定大于：

A.0B.1C.-1D.0

15.在△ABC中，若∠A=45°，a=3，b=4，則△ABC的面積S為：

A.3√2B.6√2C.3D.6

16.若方程x^2-3x+2=0的兩個(gè)根分別為a和b，則a^2+b^2的值為：

A.7B.5C.9D.4

17.若函數(shù)f(x)=x^3在x=0處有極值，則該極值為：

A.最大值B.最小值C.0D.無極值

18.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（-2，1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是：

A.（-2，1）B.（2，-1）C.（2，1）D.（-2，-1）

19.若函數(shù)f(x)=2x^2-3x+2在x=1處有極值，則該極值為：

A.最大值B.最小值C.0D.無極值

20.在△ABC中，若∠A=30°，a=2，b=3，則△ABC的面積S為：

A.√3B.2√3C.3√3D.6√3

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別為60°、70°和50°，則該三角形是銳角三角形。（）

2.函數(shù)y=x^2在x=0處取得最小值0。（）

3.向量a=（1，2）與向量b=（3，4）的夾角為90°。（）

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)（0，0）是所有坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。（）

5.若方程x^2-5x+6=0的兩個(gè)根都是正數(shù)，則方程的判別式Δ必須大于0。（）

6.若函數(shù)f(x)=sinx在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞增，則f(π)的值大于f(0)的值。（）

7.在等腰三角形中，底角相等，頂角也相等。（）

8.若函數(shù)f(x)=x^3在x=0處取得極值，則該極值為0。（）

9.在直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)之間的距離等于它們橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值。（）

10.若函數(shù)f(x)=2x+1在x=0處取得極值，則該極值為最大值。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述一元二次方程ax^2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式Δ與方程根的關(guān)系。

2.如何判斷一個(gè)二次函數(shù)y=ax^2+bx+c（a≠0）的開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)？

3.請(qǐng)簡述向量的數(shù)量積（點(diǎn)積）的定義，并給出向量的數(shù)量積的計(jì)算公式。

4.如何利用三角函數(shù)的性質(zhì)，判斷一個(gè)三角形是銳角三角形、直角三角形還是鈍角三角形？

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述如何利用配方法解一元二次方程，并舉例說明解題步驟。

2.論述在解決實(shí)際問題中，如何將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，并舉例說明解題思路。

試卷答案如下：

一、單項(xiàng)選擇題

1.B

解析思路：根據(jù)韋達(dá)定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)根之和等于-b/a。

2.B

解析思路：點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，-y），所以A（2，3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是（-2，-3）。

3.C

解析思路：由sinα+cosα=√2/2，平方兩邊得1+2sinαcosα=1/2，解得sinαcosα=-1/4，又sin^2α+cos^2α=1，聯(lián)立方程解得cosα=√2/4。

4.C

解析思路：利用海倫公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2，代入a、b、c和cosB的值計(jì)算面積。

5.B

解析思路：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[1，3]上單調(diào)遞增，所以f(2)是區(qū)間內(nèi)的最大值，而f(2)=2*2-3=1。

6.B

解析思路：判別式Δ=b^2-4ac，代入a、b、c的值計(jì)算Δ。

7.A

解析思路：向量a與向量b的數(shù)量積為a·b=a1b1+a2b2。

8.B

解析思路：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，因?yàn)閒''(x)=6x，f''(0)=0，所以x=-1是極大值點(diǎn)，x=1是極小值點(diǎn)。

9.A

解析思路：利用海倫公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2，代入a、b、c和∠A的值計(jì)算面積。

10.A

解析思路：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，所以f(2)是區(qū)間內(nèi)的最大值，而f(2)=2*2-3=1。

11.A

解析思路：根據(jù)韋達(dá)定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)根之積等于c/a。

12.B

解析思路：點(diǎn)P關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，y），所以P（1，2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)是（-1，2）。

13.C

解析思路：f'(x)=3x^2-3，令f'(x)=0得x=±1，因?yàn)閒''(x)=6x，f''(-1)=-6，所以x=-1是極大值點(diǎn)。

14.B

解析思路：因?yàn)閒(x)在區(qū)間[0，π]上單調(diào)遞增，所以f(π/2)是區(qū)間內(nèi)的最大值，而f(π/2)=1。

15.B

解析思路：利用海倫公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2，代入a、b、c和∠A的值計(jì)算面積。

16.B

解析思路：根據(jù)韋達(dá)定理，一元二次方程ax^2+bx+c=0的兩個(gè)根之積等于c/a，所以a^2+b^2=(a+b)^2-2ab。

17.B

解析思路：f'(x)=3x^2，令f'(x)=0得x=0，因?yàn)閒''(x)=6x，f''(0)=0，所以x=0是極小值點(diǎn)。

18.B

解析思路：點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為（-x，y），所以A（-2，1）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)是（2，1）。

19.A

解析思路：f'(x)=4x-3，令f'(x)=0得x=3/4，因?yàn)閒''(x)=4，f''(3/4)=4，所以x=3/4是極大值點(diǎn)。

20.B

解析思路：利用海倫公式S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中p=(a+b+c)/2，代入a、b、c和∠A的值計(jì)算面積。

二、判斷題

1.×

解析思路：三角形的內(nèi)角和為180°，所以不可能有角大于90°。

2.√

解析思路：二次函數(shù)y=x^2的導(dǎo)數(shù)y'=2x，當(dāng)x=0時(shí)，y'=0，所以x=0是極值點(diǎn)，且為最小值點(diǎn)。

3.×

解析思路：向量a與向量b的夾角為90°時(shí)，它們的數(shù)量積為0。

4.√

解析思路：原點(diǎn)是坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，因?yàn)樗悬c(diǎn)的坐標(biāo)都滿足x=0或y=0。

5.×

解析思路：Δ=b^2-4ac，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

6.√

解析思路：因?yàn)閟inx在[0，π]上單調(diào)遞增，所以f(π)>f(0)。

7.×

解析思路：在等腰三角形中，底角相等，但頂角不一定相等。

8.√

解析思路：f'(x)=3x^2，當(dāng)x=0時(shí)，f'(x)=0，所以x=0是極值點(diǎn)。

9.√

解析思路：兩點(diǎn)之間的距離公式為√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2]。

10.×

解析思路：f(x)=2x+1是一次函數(shù)，沒有極值。

三、簡答題

1.解答思路：一元二次方程ax^2+bx+c=0的根的判別式Δ=b^2-4ac，當(dāng)Δ>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)Δ<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。

2.解答思路：二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的開口方向由a的符號(hào)決定，a>0時(shí)開口向上，a<0時(shí)開口向下；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-b/2a，c-b^2/4a）。

3.解答思路：向量的數(shù)量積定義為兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量乘積之和，計(jì)算公式為a·b=a1b1+a2b2。

4.解答思路：將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通常需要建立坐標(biāo)系，將幾何圖