1/37高考導(dǎo)航1.概率與統(tǒng)計是高考中相對獨立一塊內(nèi)容，處理問題方式、方法表達(dá)了較高思維含量.該類問題以應(yīng)用題為載體，重視考查學(xué)生應(yīng)用意識及閱讀了解能力、化歸轉(zhuǎn)化能力；2.概率問題關(guān)鍵是概率計算.其中事件互斥、對立、獨立是概率計算關(guān)鍵，排列組合是進(jìn)行概率計算工具.統(tǒng)計問題關(guān)鍵是樣本數(shù)據(jù)取得及分析方法，重點是頻率分布直方圖、莖葉圖和樣本數(shù)字特征；3.離散型隨機(jī)變量分布列及其期望考查是從來高考重點，難度多為中低級類題目，尤其是與統(tǒng)計內(nèi)容滲透，背景新奇，充分表達(dá)了概率與統(tǒng)計工具性和交匯性.2/37熱點一常見概率模型概率

幾何概型、古典概型、相互獨立事件與互斥事件概率、條件概率是高考熱點，幾何概型主要以客觀題形式考查，求解關(guān)鍵在于找準(zhǔn)測度(面積、體積或長度)；相互獨立事件、互斥事件常作為解答題一問考查，也是深入求分布列、期望與方差基礎(chǔ)，求解該類問題要正確了解題意，準(zhǔn)確判定概率模型，恰當(dāng)選擇概率公式.3/37【例1】

(·全國Ⅰ卷)為了監(jiān)控某種零件一條生產(chǎn)線生產(chǎn)過程，檢驗員天天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件，并測量其尺寸(單位：cm).依據(jù)長久生產(chǎn)經(jīng)驗，能夠認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)零件尺寸服從正態(tài)分布N(μ，σ2). (1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取16個零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件數(shù)，求P(X≥1)及X數(shù)學(xué)期望； (2)一天內(nèi)抽檢零件中，假如出現(xiàn)了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)日生產(chǎn)過程進(jìn)行檢驗. (ⅰ)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法合理性；4/375/37解(1)由題可知抽取一個零件尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之內(nèi)概率為0.9974，從而零件尺寸落在(μ－3σ，μ＋3σ)之外概率為0.0026，故X～B(16，0.0026).所以P(X≥1)＝1－P(X＝0)＝1－0.997416≈1－0.9592＝0.0408.X數(shù)學(xué)期望E(X)＝16×0.0026＝0.0416.(2)(ⅰ)假如生產(chǎn)狀態(tài)正常，一個零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外概率只有0.0026，一天內(nèi)抽取16個零件中，出現(xiàn)尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外零件概率只有0.0408，發(fā)生概率很小，所以一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對當(dāng)日生產(chǎn)過程進(jìn)行檢驗，可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法是合理.6/377/37探究提升1.解第(1)題關(guān)鍵是認(rèn)清隨機(jī)變量X服從二項分布，并能夠應(yīng)用E(X)＝np求解，易出現(xiàn)失誤是因為題干較長，不能正確了解題意.2.解第(2)題關(guān)鍵是了解正態(tài)分布意義，能夠利用3σ標(biāo)準(zhǔn)求解，易出現(xiàn)失誤有兩個方面，一是不清楚正態(tài)分布N(μ，σ2)中μ和σ意義及其計算公式，二是計算失誤.8/379/3710/3711/37熱點二概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題(教材VS高考)

高考數(shù)學(xué)試題中對概率統(tǒng)計考查有這么一類試題，題目非常新奇，又非常符合生活實際，這就是概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題，普通是以統(tǒng)計圖表為載體，離散型隨機(jī)變量期望是某一變量函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求期望最值.12/37【例2】

(滿分12分)(·全國Ⅲ卷)某超市計劃按月訂購一個酸奶，天天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出酸奶降價處理，以每瓶2元價格當(dāng)日全部處理完.依據(jù)往年銷售經(jīng)驗，天天需求量與當(dāng)日最高氣溫(單位：℃)相關(guān).假如最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；假如最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；假如最高氣溫低于20，需求量為200瓶.為了確定六月份訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面頻數(shù)分布表：最高氣溫[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40)天數(shù)21636257413/37以最高氣溫位于各區(qū)間頻率預(yù)計最高氣溫位于該區(qū)間概率.(1)求六月份這種酸奶一天需求量X(單位：瓶)分布列；(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶利潤為Y(單位：元)，當(dāng)六月份這種酸奶一天進(jìn)貨量n(單位：瓶)為多少時，Y數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值？教材探源本題第(2)問需對酸奶需求量n進(jìn)行分類討論，以確定利潤最大值，這種分類討論思想源自于人教版教材選修2－3P63例3.14/37X200300500P0.20.40.45分(得分點5)15/37(2)由題意知，這種酸奶一天需求量至多為500，最少為200，所以只需考慮200≤n≤500.當(dāng)300≤n≤500時，若最高氣溫不低于25，則Y＝6n－4n＝2n，若最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，則Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1200－2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；16/37所以E(Y)＝2n×0.4＋(1200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.8分(得分點6)當(dāng)200≤n<300時，若最高氣溫不低于20，則Y＝6n－4n＝2n；若最高氣溫低于20，則Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；所以E(Y)＝2n×(0.4＋0.4)＋(800－2n)×0.2＝160＋1.2n.11分(得分點7)所以n＝300時，Y數(shù)學(xué)期望到達(dá)最大值，最大值為520元.12分(得分點8)17/37?得步驟分：抓住得分點步驟、步步為贏：如第(1)問，指出隨機(jī)變量X全部可能取值，有則得1分，無則沒有分；隨機(jī)變量X各個值對應(yīng)概率也是每個1分，列出其分布列是1分，也是每個步驟都有分，都是得分點，第(2)問也是如此.?得關(guān)鍵分：解題過程關(guān)鍵點，有則給分，無則沒分，如第(2)問中，依據(jù)n范圍求E(Y)，即當(dāng)300≤n≤500時，E(Y)＝640－2n；當(dāng)200≤n≤300時，E(Y)＝160＋1.2n，若這兩個關(guān)鍵運(yùn)算結(jié)果有誤，即使有計算過程和步驟也不得分.?得計算分：解題過程中計算正確，是得滿分確保，如第(1)問中三個概率值計算要正確，不然不得分.18/371.求離散型隨機(jī)變量均值和方差問題普通步驟

第一步：確定隨機(jī)變量全部可能值；

第二步：求每一個可能值所對應(yīng)概率；

第三步：列出離散型隨機(jī)變量分布列；

第四步：求均值和方差；

第五步：反思回顧、查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范.19/372.概率統(tǒng)計與函數(shù)交匯問題解題步驟

第一步：通讀題目，仔細(xì)審題，了解題意；

第二步：依據(jù)題目所要處理問題，確定自變量及其取值范圍；

第三步：構(gòu)建函數(shù)模型，寫出函數(shù)解析式；

第四步：利用函數(shù)模型，求解目標(biāo)函數(shù)最值或最優(yōu)解.20/37【訓(xùn)練2】

(·青島模擬)我國是世界上嚴(yán)重缺水國家，城市缺水問題較為突出.某市政府為了勉勵居民節(jié)約用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個合理居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，用水量不超出x部分按平價收費，超出x部分按議價收費，為了了解全市市民用水量分布情況，經(jīng)過抽樣，取得了100位居民某年月均用水量(單位：噸)，將數(shù)據(jù)按照[0，0.5)，[0.5，1)，…，[4，4.5]分成9組，制成了如圖所表示頻率分布直方圖.21/37(1)求頻率分布直方圖中a值；(2)若該市政府希望使85%居民每個月用水量不超出標(biāo)準(zhǔn)x(噸)，預(yù)計x值，并說明理由；(3)已知平價收費標(biāo)準(zhǔn)為4元/噸，議價收費標(biāo)準(zhǔn)為8元/噸.當(dāng)x＝3時，預(yù)計該市居民月平均水費(同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值代替).22/37解(1)由頻率分布直方圖，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，解得a＝0.30.(2)∵前6組頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85，而前5組頻率之和為(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85，∴2.5≤x<3.由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，解得x＝2.9.所以，預(yù)計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%居民每個月用水量不超出標(biāo)準(zhǔn).23/37(3)設(shè)居民月用水量為t噸，對應(yīng)水費為y元，則由題設(shè)條件及月均用水量頻率分布直方圖，得居民每個月水費數(shù)據(jù)分組與頻率分布表以下：組號123456789分組[0，2)[2，4)[4，6)[6，8)[8，10)[10，12)[12，16)[16，20)[20，24]頻率0.040.080.150.200.260.150.060.040.02依據(jù)題意，該市居民月平均水費預(yù)計為1×0.04＋3×0.08＋5×0.15＋7×0.20＋9×0.26＋11×0.15＋14×0.06＋18×0.04＋22×0.02＝8.42(元).24/37熱點三概率統(tǒng)計與統(tǒng)計案例交匯問題

近幾年高考數(shù)學(xué)試題對統(tǒng)計案例考查普通不單獨命題，而是與概率、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望交匯命題，高考對這類題目標(biāo)要求是能依據(jù)給出或經(jīng)過統(tǒng)計圖表給出相關(guān)數(shù)據(jù)求線性回歸方程，了解獨立性檢驗思想方法，會判斷兩個分類變量是否相關(guān).25/37【例3】

(·全國Ⅱ卷)海水養(yǎng)殖場進(jìn)行某水產(chǎn)品新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法產(chǎn)量對比，收獲時各隨機(jī)抽取了100個網(wǎng)箱，測量各箱水產(chǎn)品產(chǎn)量(單位：kg)，其頻率分布直方圖以下：26/37(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法箱產(chǎn)量相互獨立，記A表示事件：舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg，預(yù)計A概率；(2)填寫下面列聯(lián)表，并依據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法相關(guān)：

箱產(chǎn)量<50kg箱產(chǎn)量≥50kg舊養(yǎng)殖法

新養(yǎng)殖法

27/37(3)依據(jù)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量中位數(shù)預(yù)計值(準(zhǔn)確到0.01).附：28/37解(1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg”，C表示事件“新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg”.由題意知，P(A)＝P(BC)＝P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量低于50kg頻率為(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，故P(B)預(yù)計值為0.62.新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量不低于50kg頻率為(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5＝0.66，故P(C)預(yù)計值為0.66.所以，事件A概率預(yù)計值為0.62×0.66＝0.4092.29/37(2)依據(jù)箱產(chǎn)量頻率分布直方圖得列聯(lián)