常數(shù)項級數(shù)的審斂法課件_第1頁
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文檔簡介

常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)審斂法定理1

正項級數(shù)收斂的充分必要條件是：它的部分和數(shù)列有界。（比較審斂法）

設和都是正項級數(shù)，且若級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；若級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)也發(fā)散。定理2正項級數(shù)概念各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù)。例1

討論級數(shù)LL+++++pppn131211的收斂性，其中常數(shù)0>p結論級數(shù)當時收斂，當時發(fā)散。定理3（比較審斂法的極限形式）設和都是正項級數(shù)，

(1)如果，且級數(shù)收斂,則級數(shù)收斂；(2)如果或且級數(shù)發(fā)散,則級數(shù)發(fā)散。例2判定級數(shù)的收斂性。解因為而級數(shù)發(fā)散，根據(jù)定理3知此級數(shù)是發(fā)散的。定理4

（比值審斂法，達朗貝爾判別法）設為正項級數(shù)，如果則當時級數(shù)收斂；當或

時級數(shù)發(fā)散；

當時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。

例3

證明級數(shù)是收斂的，并估計此級數(shù)的部分和近似代替和所產(chǎn)生的誤差。例4判定級數(shù)的收斂性。解因為根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散。定理5（根值審斂法，柯西判別法）

設為正項級數(shù)，如果，

則當時級數(shù)收斂；（或

）時級數(shù)發(fā)散；時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散。例5判定級數(shù)的收斂性。解因為所以，根據(jù)根植審斂法知所給級數(shù)收斂。定理6（極限審斂法）設為正項級數(shù)，

(1)如果

(2)如果,而

發(fā)散。收斂。例6判定級數(shù)的收斂性。解因故根據(jù)極限審斂法，知所給級數(shù)收斂。收斂。

交錯級數(shù)交錯級數(shù)是指這樣的級數(shù)，它的各項是正負交錯的，從而可以寫成的形式：或其中都是正數(shù)。二、交錯級數(shù)及其審斂法定理7（萊布尼茨定理，交錯級數(shù)審斂法）(1)(2)則級數(shù)收斂，且其和其余項的絕對值如果交錯級數(shù)滿足條件：概念設為常數(shù)項級數(shù)，如果它的各項的絕對值所構成的正項級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；如果級數(shù)收斂，而級數(shù)發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂絕對收斂與條件收斂定理8

如果級數(shù)絕對收斂，則級數(shù)必定收斂。*定理9

絕對收斂級數(shù)經(jīng)

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