直線與平面平行「學習目標」1.通過運用圖形語言、文字語言、符號語言準確描述直線與平面平行的判定定理和性質定理,培養(yǎng)數(shù)學抽象和直觀想象的核心素養(yǎng).2.在發(fā)現(xiàn)、推導和應用直線與平面平行的判定定理和性質定理的過程中,發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理和直觀想象的核心素養(yǎng).知識梳理自主探究「知識探究」直線與平面平行的判定及性質定理條件結論圖形語言符號語言判定平面外一條直線與此

的一條直線平行這條直線和這個平面

性質一條直線與一個平面

,經(jīng)過這條直線的平面與此平面

這條直線和這兩個平面的

平行平面內平行平行相交交線師生互動合作探究探究點一直線與平面平行的判定定理及其應用

[例1]已知四棱錐P-ABCD,底面ABCD是菱形,點M,N分別是棱AB,PC的中點.求證:MN∥平面PAD.方法總結利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關鍵,其常用方法有:利用三角形、梯形中位線的性質;利用平行四邊形的性質;利用平行線分線段成比例定理.[針對訓練]如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D為BC的中點,連接AD,DC1,A1B,AC1.求證:A1B∥平面ADC1.證明:如圖,連接A1C,設A1C∩AC1=O,再連接OD.由題意知,四邊形A1ACC1是平行四邊形,所以O是A1C的中點.又D是CB的中點,所以OD∥A1B.又A1B?平面ADC1,OD?平面ADC1,所以A1B∥平面ADC1.探究點二直線與平面平行的性質定理及其應用[例2]如圖,用平行于四面體ABCD的一組對棱AB,CD的平面截此四面體.求證:截面MNPQ是平行四邊形.證明:因為AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線面平行的性質定理,知AB∥MN.同理AB∥PQ.所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.方法總結(1)利用線面平行的性質定理解題的步驟(2)運用線面平行的性質定理時,應先確定線面平行,再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線,然后確定線線平行.[針對訓練]如圖,E,F分別是空間四邊形ABCD的邊BC,AD的中點,過EF平行于AB的平面與AC交于點G.求證:G是AC的中點.證明:因為AB∥平面EFG,AB?平面ABC,平面ABC∩平面EFG=EG,所以AB∥EG.又因為E是BC的中點,所以G是AC的中點.探究點三線面平行判定定理和性質定理的綜合應用[例3]如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點P是平面ABCD外一點,M是PC的中點,在DM上取一點G,過G和AP作平面交平面BDM于HG.求證:AP∥HG.證明:連接AC交BD于點O,連接OM,因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以O為AC中點,又M是PC的中點,所以OM∥PA,因為OM?平面BDM,PA?平面BDM,所以PA∥平面BDM,又因為PA?平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥HG.方法總結判定定理與性質定理常常交替使用,即先通過線線平行推出線面平行,再通過線面平行推出線線平行,復雜的題目還可以繼續(xù)推下去,我們可稱它為平行鏈,如下:[針對訓練]如圖所示,直線a∥平面α,點A在α另一側,點B,C,D∈a,線段AB,AC,AD分別交α于點E,F,G.若BD=4,CF=4,AF=5,求EG的長.解:因為A?a,所以點A與直線a可以確定一個平面,即平面ABD.因為a∥α,且α∩平面ABD=EG,「當堂檢測」1.下列條件中,能得出直線m與平面α平行的是(

)A.直線m與平面α內的所有直線平行B.直線m與平面α內的無數(shù)條直線平行C.直線m與平面α沒有公共點D.直線m與平面α內的一條直線平行解析:對A,直線m與平面α內的所有直線平行不可能,故A錯誤;對B,當直線m在平面α內時,滿足直線m與平面α內的無數(shù)條直線平行,但m與α不平行;對C,能推出m與α平行;對D,當直線m在平面α內時,m與α不平行.故選C.√2.設a,b表示空間的兩條直線,α表示平面,給出下列結論:①若a∥b且b?α,則a∥α;②若a∥α且b?α,則a∥b;③若a∥b且a∥α,則b∥α;④若a∥α且b∥α,則a∥b.其中不正確的結論的個數(shù)是(

)A.1 B.2 C.3 D.4√解析:若a∥b且b?α,則a∥α或a?α,故①錯誤;若a∥α且b?α,則a∥b或a,b為異面直線,故②錯誤;若a∥b且a∥α,則b∥α或b?α,故③錯誤;若a∥α且b∥α,則a∥b或a,b相交或異面,故④錯誤.故選D.3.如圖,已知平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c,若a∥b,則c與a,b的位置關系是(

)A.c與a,b都異面B.c與a,b都相交C.c至少與a,b中的一條相交D.c與a,b都平行√解析:因為a∥b,a?平面γ,b?平面γ,所以a∥平面γ.因為a?平面α,平面γ∩平面α=c,所以a∥c,所以b∥c.所以a∥b∥c.故選D.4.如圖所示,四邊形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC與平面α分別交于點M,N,且點