學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2017—2018學(xué)年河北省邯鄲市館陶一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（5分）數(shù)列1，，,,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）A．a(chǎn)n= B．a(chǎn)n= C．a(chǎn)n= D．a(chǎn)n=2．(5分)在△ABC中,a=2,b=，c=1,則最小角為（）A． B． C． D．3．（5分)一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列，它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（）A．22 B．21 C．19 D．184．(5分）△ABC內(nèi)角A，B,C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知a=3，A=60°，b=，則B=（）A．45° B．30° C．60° D．135°5．（5分）若數(shù)列｛an}滿足關(guān)系：an+1=1+，a8=，則a5=（)A． B． C． D．6．（5分)某公司要測(cè)量一水塔CD的高度，測(cè)量人員在該水塔所在的東西方向水平直線上選擇A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),在A處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為α,在B處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為β，已知AB=a,0＜β＜α＜，則水塔CD的高度為（)A． B．C． D．7．(5分）在△ABC中，AB=3,AC=2，BC=，則?等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．8．（5分）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為3，若a1，a3，a4成等比數(shù)列,則a2等于(）A．﹣18 B．﹣15 C．﹣12 D．﹣99．（5分）己知△ABC的周長(zhǎng)為9，且sinA:sinB：sinC=3:2：4，則cosC的值為（)A． B． C． D．10．（5分）已知等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn，a4﹣a1=78,S3=39，設(shè)bn=log3an，那么數(shù)列{bn｝的前10項(xiàng)和為(）A．log371 B． C．50 D．5511．（5分）已知數(shù)列{2n﹣（﹣1）n}的前10項(xiàng)和為（）A．210﹣3 B．210﹣2 C．211﹣3 D．211﹣212．（5分）在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2+c2﹣a2=bc,且b=a，則下列關(guān)系一定不成立的是（)A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．(5分）如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an﹣3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是．14．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若A,B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則sinA?sinC=．15．（5分）有一長(zhǎng)為1公里的斜坡,它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°,則坡底要伸長(zhǎng)公里．16．(5分）在數(shù)列{an｝中，a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明,證明過(guò)程或演算步驟）17．（10分）已知等差數(shù)列｛an}中，公差d≠0，a1=2，且a1,a3，a9成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列｛2an﹣1}的前n項(xiàng)和Sn．18．（12分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c，且a=2，cosB=．（1）若b=4，求sinA的值；（2）若S△ABC=4,求b，c的值．19．（12分)Sn為數(shù)列{an｝前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3，（1)求{an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和．20．（12分）如圖,某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°方向上，距離為12nmile，在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上，距離為8nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在南偏東60°方向上，求：(1)A處與D處的距離;(2）燈塔C與D處的距離．21．(12分）在銳角△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c,且acsinC=（a2+c2﹣b2）?sinB．（1)若C=，求A的大??；（2）若a≠b，求的取值范圍．22．（12分）已知點(diǎn)(1，2）是函數(shù)f（x）=ax（a＞0且a≠1）的圖象上一點(diǎn)，數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn=f(n）﹣1(1)求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式（2)若bn=logaan+1，求數(shù)列｛anbn｝的前n項(xiàng)和Tn．

2017-2018學(xué)年河北省邯鄲市館陶一中高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（5分）數(shù)列1,,，,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是(）A．a(chǎn)n= B．a(chǎn)n= C．a(chǎn)n= D．a(chǎn)n=【分析】由數(shù)列1，，,，…,可得分子為1，分母為奇數(shù)2n﹣1．即可得出數(shù)列通項(xiàng)公式．【解答】解：由數(shù)列1，，，,…，可得分子為1，分母為奇數(shù)2n﹣1．因此此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）在△ABC中，a=2，b=，c=1，則最小角為(）A． B． C． D．【分析】由題意,C最小，根據(jù)余弦定理cosC=,可得結(jié)論．【解答】解：由題意,C最小，根據(jù)余弦定理可得cosC===,∵0＜C＜π，∴C=．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確運(yùn)用余弦定理是關(guān)鍵．3．（5分)一個(gè)只有有限項(xiàng)的等差數(shù)列,它的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146,所有項(xiàng)的和為234，則它的第七項(xiàng)等于（）A．22 B．21 C．19 D．18【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列中若m+n=k+l則am+an=ak+al．結(jié)合題意可得a3=,．所以a1+an=36．由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式可得:Sn=18n=234,解得：n=13．進(jìn)而求出答案．【解答】解：設(shè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為n,首項(xiàng)為a1，公差為d,因?yàn)榈炔顢?shù)列的前5項(xiàng)的和為34，最后5項(xiàng)的和為146,所以a3=，．所以a1+an=36．由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式可得：，解得:n=13．所以S13=13a7=234解得：a7=18．故選D．【點(diǎn)評(píng)】解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟悉等差數(shù)列的性質(zhì)與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的表達(dá)式,以及進(jìn)行正確的運(yùn)算也是解決此類基礎(chǔ)題目的關(guān)鍵．4．（5分）△ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c．已知a=3，A=60°，b=，則B=()A．45° B．30° C．60° D．135°【分析】由正弦定理可得sinB==，由a=3＞b=，即可根據(jù)大邊對(duì)大角求得B的值．【解答】解:由正弦定理可得：sinB===，∵a=3＞b=，∴B為銳角．∴B=45°故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形中大邊對(duì)大角，正弦定理等知識(shí)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）若數(shù)列{an}滿足關(guān)系：an+1=1+，a8=,則a5=（）A． B． C． D．【分析】利用數(shù)列的遞推式,利用a8的值求得a7,同理利用a7的值求得a6，利用a6的值求得a5．【解答】解：a8=1+=,∴a7=∴1+=，a6=1+=，a5=故選C【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了數(shù)列的遞推式．對(duì)于項(xiàng)數(shù)較小的數(shù)列可采用逐個(gè)求解的方法求得問(wèn)題的答案．6．（5分）某公司要測(cè)量一水塔CD的高度，測(cè)量人員在該水塔所在的東西方向水平直線上選擇A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn),在A處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為α，在B處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為β,已知AB=a，0＜β＜α＜，則水塔CD的高度為（）A． B．C． D．【分析】設(shè)CD=x,求出AC，BC，利用a=BC﹣AC，即可求出水塔CD的高度．【解答】解：設(shè)CD=x，則AC=,∵BC=，a=BC﹣AC,∴a=﹣，∴x==，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解三角形的實(shí)際應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，求出AC，BC是關(guān)鍵．7．(5分）在△ABC中，AB=3，AC=2，BC=，則?等于（）A．﹣ B．﹣ C． D．【分析】根據(jù)利用余弦定理求出cosA,通過(guò)向量數(shù)量積的量,=，求解即可．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理得：cosA===，==﹣=﹣=．故選:A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理的應(yīng)用，向量的數(shù)量積，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．8．（5分）已知等差數(shù)列｛an｝的公差為3，若a1，a3，a4成等比數(shù)列，則a2等于（）A．﹣18 B．﹣15 C．﹣12 D．﹣9【分析】由題意可得（a2+3）2=（a2﹣3）（a2+6），解方程可得．【解答】解：∵等差數(shù)列｛an}的公差為3，且a1，a3,a4成等比數(shù)列，∴a32=a1a4，即(a2+3）2=(a2﹣3）（a2+6）,解得a2=﹣9故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，屬基礎(chǔ)題．9．（5分）己知△ABC的周長(zhǎng)為9，且sinA：sinB：sinC=3:2：4，則cosC的值為(）A． B． C． D．【分析】由題意利用正弦定理可得可得a=3、b=2、c=4，再由余弦定理可得cosC=的值．【解答】解：由題意利用正弦定理可得三角形三邊之比為a：b：c=3：2：4，再根據(jù)△ABC的周長(zhǎng)為9，可得a=3、b=2、c=4．再由余弦定理可得cosC===﹣，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用，求得a=3、b=2、c=4,是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10．（5分)已知等比數(shù)列｛an}的前n項(xiàng)和為Sn,a4﹣a1=78，S3=39，設(shè)bn=log3an，那么數(shù)列{bn｝的前10項(xiàng)和為（)A．log371 B． C．50 D．55【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比,由已知列式求出等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，得到等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入bn=log3an求得數(shù)列{bn}的通項(xiàng)，然后由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案．【解答】解：設(shè)等比數(shù)列{an｝的公比為q，由a4﹣a1=78，S3=39,得，兩式作比得:q﹣1=2，即q=3．∴，則a1=3．∴．∴bn=log3an=．則數(shù)列{bn｝的前10項(xiàng)和=55．故選:D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．11．（5分)已知數(shù)列｛2n﹣（﹣1）n}的前10項(xiàng)和為（）A．210﹣3 B．210﹣2 C．211﹣3 D．211﹣2【分析】由已知條件得S10=（2+22+…+210）﹣（﹣1+1﹣1+1﹣1+1﹣1+1﹣1+1），由此能求出結(jié)果．【解答】解：數(shù)列{2n﹣（﹣1)n}的前10項(xiàng)和：S10=（2+22+…+210）﹣（﹣1+1﹣1+1﹣1+1﹣1+1﹣1+1)==211﹣2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的前10項(xiàng)的求法,是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分組求和法的合理運(yùn)用．12．（5分）在△ABC中,角A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若b2+c2﹣a2=bc，且b=a，則下列關(guān)系一定不成立的是（)A．a(chǎn)=c B．b=c C．2a=c D．a(chǎn)2+b2=c2【分析】利用余弦定理表示出cosA,將已知第一個(gè)等式代入求出cosA的值，確定出A度數(shù),再利用正弦定理化簡(jiǎn)第二個(gè)等式，求出sinB的值，確定出B的度數(shù)，進(jìn)而求出C的度數(shù)，確定出三角形ABC形狀，即可做出判斷．【解答】解：∵b2+c2﹣a2=bc,∴cosA==，∴A=30°，由正弦定理化簡(jiǎn)b=a，得到sinB=sinA=，∴B=60°或120°,當(dāng)B=60°時(shí)，C=90°,此時(shí)△ABC為直角三角形,得到a2+b2=c2，2a=c;當(dāng)B=120°時(shí)，C=30°，此時(shí)△ABC為等腰三角形,得到a=c，綜上，b=c不一定成立,故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，以及直角三角形與等腰三角形的性質(zhì),熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上）13．（5分)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=an﹣3，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是an=2?3n．【分析】利用及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．【解答】解：當(dāng)n=1時(shí)，,解得a1=6；當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=，化為．∴數(shù)列｛an｝是以6為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，∴．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是解題的關(guān)鍵．14．（5分)△ABC的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為a，b，c,若A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則sinA?sinC=．【分析】依題意，可求得B=，利用正弦定理即可求得sinAsinC；另解，求得B=，利用余弦定理=cosB可求得a2+c2﹣ac=ac，從而可求得答案．【解答】解：∵△ABC中,A，B,C成等差數(shù)列，∴2B=A+C，又A+B+C=π,∴B=，…（6分）又b2=ac，由正弦定理得sinAsinC=sin2B=…（12分）另解：b2=ac，=cosB==，…(6分）由此得a2+c2﹣ac=ac，得a=c，所以A=B=C，sinAsinC=．…(12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理與余弦定理，熟練掌握兩個(gè)定理是靈活解題的關(guān)鍵,屬于中檔題．15．（5分）有一長(zhǎng)為1公里的斜坡,它的傾斜角為20°，現(xiàn)要將傾斜角改為10°，則坡底要伸長(zhǎng)1公里．【分析】設(shè)原來(lái)的斜坡為RtABC，B為直角頂點(diǎn),AC為斜邊，延長(zhǎng)BC到D得新斜面ABD，則可知AC=CD，故可求【解答】解：設(shè)原來(lái)的斜坡為RtABC,B為直角頂點(diǎn)，AC為斜邊，延長(zhǎng)BC到D得新斜面ABD，依題可知：∠ACB=20°，∠ADB=10°∠CAD=∠ACB﹣∠ADB=10°=∠ADB故CD=AC=1km故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題的考點(diǎn)是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，主要考查角的計(jì)算,考查三角形模型的構(gòu)建,屬于中檔題．16．（5分）在數(shù)列{an}中,a1=2，an+1=an+ln（1+），則an=2+lnn．【分析】由n=1，2，3，分別求出a1，a2，a3，a4，總結(jié)規(guī)律，猜想出an．【解答】解:a1=2+ln1，a2=2+ln2，，，由此猜想an=2+lnn．用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí),a1=2+ln1，成立．②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即ak=2+lnk，則當(dāng)n=k+1時(shí)，=2+lnk+ln=2+ln（k+1）．成立．由①②知,an=2+lnn．故答案為:2+lnn．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的遞推式，解題時(shí)要注意總結(jié)規(guī)律合理地進(jìn)行猜想．三、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）17．(10分）已知等差數(shù)列{an}中,公差d≠0，a1=2，且a1，a3，a9成等比數(shù)列．(1）求數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{2an﹣1}的前n項(xiàng)和Sn．【分析】（1）由已知可得=a1a9，進(jìn)一步得到(2+2d）2=2×(2+8d)，求解d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；（2）把數(shù)列｛an}的通項(xiàng)公式代入2an﹣1，進(jìn)一步利用等差數(shù)列的求和公式求數(shù)列{2an﹣1}的前n項(xiàng)和Sn．【解答】解：（1)∵a1=2,∴a3=2+2d,a9=2+8d,又a1，a3，a9成等比數(shù)列，∴=a1a9,即（2+2d)2=2×（2+8d），即d2﹣2d=0，解得d=2或d=0(舍），∴an=2+2(n﹣1)=2n；（2）∵an=2n，∴2an﹣1=4n﹣1，∴Sn=4（1+2+3+…+n）﹣n=4×﹣n=2n2+n．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和，考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．18．（12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B，C所對(duì)的邊分別為a，b,c,且a=2，cosB=．（1）若b=4，求sinA的值；(2)若S△ABC=4,求b，c的值．【分析】（1)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinB，利用正弦定理進(jìn)行求解即可求sinA的值；（2）利用三角形面積公式可求c，利用余弦定理可求b的值．【解答】解：(1）∵cosB=，∴sinB==,由正弦定理，得sinA===；（2）∵a=2，sinB=，S△ABC=4=acsinB=，∴解得:c=5，又∵cosB=．∴b===．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，正弦定理,三角形面積公式，余弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．19．（12分）Sn為數(shù)列{an}前n項(xiàng)和，已知an＞0，an2+2an=4Sn+3，（1）求｛an}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)bn=，求數(shù)列{bn｝的前n項(xiàng)和．【分析】(1)an＞0，an2+2an=4Sn+3，n≥2時(shí)，+2an﹣1=4Sn﹣1+3，an＞0，相減可得，an﹣an﹣1﹣2=0，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得an．（2)bn===,利用裂項(xiàng)求和方法即可得出．【解答】解：（1）an＞0，an2+2an=4Sn+3，n≥2時(shí)，+2an﹣1=4Sn﹣1+3，相減可得：an2+2an﹣（+2an﹣1）=4an,化為：(an+an﹣1)(an﹣an﹣1﹣2)=0，∵an＞0，∴an﹣an﹣1﹣2=0，即an﹣an﹣1=2，又=4a1+3，a1＞0,解得a1=3．∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為3，公差為2．∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．(2）bn===，∴數(shù)列｛bn}的前n項(xiàng)和=+…+==．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題．20．（12分)如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東75°方向上,距離為12nmile,在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°方向上，距離為8nmile，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí),再看燈塔B在南偏東60°方向上，求：（1)A處與D處的距離；(2)燈塔C與D處的距離．【分析】（1)由已知利用正弦定理求AD；（2)在△ADC中，由余弦定理求得CD．【解答】解:（1）在△ABD中，∠ADB=60°,B=45°，AB=12，由正弦定理得AD==24，∴A處與D處的距離為24nmile；（2）在△ADC中，由余弦定理得：CD2=AD2+AC2﹣2AD?AC?cos30°,解得：CD=8,∴燈塔C與D處的距離為8nmile．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正弦定理與余弦定理在解三角形中的實(shí)際應(yīng)用，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．21．(12分)在銳角△ABC中,三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且acsinC=（a2+c2﹣b2)?sinB．(1）若C=，求A的大