4/20/2025第1講函數(shù)

-10-9第1頁4/20/2025一函數(shù)概念二函數(shù)表示方法三分段函數(shù)四反函數(shù)五初等函數(shù)六函數(shù)幾個性質(zhì)第2頁4/20/2025一函數(shù)概念

常量與變量定義設在某個改變過程中有兩個變量x和y，變量y伴隨x改變而改變，當x在一個非空數(shù)集D上任取一值時，y依照某一對應規(guī)則f總有一個確定數(shù)值與之對應，則稱變量y是變量x函數(shù)。記為第3頁4/20/2025其中,x叫做自變量，y叫做因變量或函數(shù)。數(shù)集D稱為這個函數(shù)定義域，記為D（f）。當自變量x在其定義域內(nèi)取某確定值x0時，因變量y按照所給函數(shù)關系（對應法則），求出對應值y0，稱做當x=x0時函數(shù)值。記為

對應地，y值集合稱為函數(shù)y=f(x）值域。

或第4頁4/20/2025注意

1.函數(shù)定義有兩個要素，即定義域(D)與對應規(guī)則(f)。所以，只有當兩個函數(shù)定義域和對應規(guī)則完全相同時，他們才是同一個函數(shù)。

2.函數(shù)定義域D，要符合客觀要求。如：身高、體重等不能小于0;……

第5頁4/20/20253.求函數(shù)定義域時，要注意：分式中分母不為0;根式中負數(shù)不能開偶次根；對數(shù)中真數(shù)大于0…

4.對于特殊函數(shù)——反三角函數(shù)(arcsinx等)，除定義域與法則以外，數(shù)學上同時也要求了它值域。第6頁4/20/2025第7頁4/20/2025二函數(shù)表示方法慣用表示方法有三種：解析法（公式法）、表格法和圖示法。

(1)解析法是指用解析表示式（或公式）去表示函數(shù)關系。比如

第8頁4/20/2025

(2)表格法是用列表方法來表示函數(shù)關系，比如水文監(jiān)測站統(tǒng)計了某河流內(nèi)平均月流量V，如表1.1所表示。

表1.1

這是用表格表示函數(shù)，當自變量x取1～12之間任意一個整數(shù)時，從表格里可得出y一個對應值。x月份123456789101112y平均月流量V/億m0.320.290.470.640.330.774.14.23.71.90.90.72第9頁4/20/2025(3)圖示法是用直角坐標系x0y平面上曲線表示函數(shù)關系

第10頁4/20/2025三分段函數(shù)例它們圖形以下：-110第11頁4/20/2025寫出下面函數(shù)關系表示式例：學校外超市，因為期假貨物積壓，現(xiàn)物價促銷，可樂原價2.50元/罐，現(xiàn)促銷以下：10罐以上（含）8折，20罐以上（含）7折。請寫出此時可樂銷售量（Q）與銷售收入（R）之間關系函數(shù)。第12頁4/20/2025四反函數(shù)定義設給定y是x函數(shù)，，假如對其值域R中任一值y，都可經(jīng)過關系式在其定義域D中確定唯一一個x與之對應，則得到一個定義在R上以y為自變量，x為因變量函數(shù)，我們稱其為反函數(shù)。記為

第13頁4/20/2025第14頁4/20/2025Oxyxy=f(x)yOxy-xxy=f(x)y

單調(diào)函數(shù)反函數(shù)是單值函數(shù)

什么樣函數(shù)存在單值反函數(shù)？第15頁4/20/2025Oxy-xxy=x2yy=x2反函數(shù)是多值函數(shù)：x=

。把x限制在區(qū)間[0,)，則y=x2反函數(shù)是單值，即x=。它稱為函數(shù)y=x2反函數(shù)一個單值分支。反函數(shù)單值分支：

另一個單值分支為x=-

。第16頁4/20/2025

在數(shù)學中，習慣上自變量用x表示，因變量用y

表示。按此習慣，我們把函數(shù)y=f(x)反函數(shù)x=j(y)改寫成y=j(x)。比如y=x2反函數(shù)寫為y=

。反函數(shù)圖形：反函數(shù)圖形與直接函數(shù)圖形關于直線y=x對稱。Oxyy=xy=f(x)y=j(x)P(a,b)Q(b,a)關于反函數(shù)變量符號：第17頁4/20/2025五初等函數(shù)

1.5.1基本初等函數(shù)及其圖形以下函數(shù)稱為基本初等函數(shù)常量：y=c（C為常數(shù)）(2)冪函數(shù)：(3)指數(shù)函數(shù)：(4)對數(shù)函數(shù)：(5)三角函數(shù)：(6)反三角函數(shù)：第18頁4/20/20251.5.2復合函數(shù)定義，函數(shù)值域全部或一部分包含在函數(shù)定義域內(nèi)，則對定義域內(nèi)一些x，有

此函數(shù)稱函數(shù)與函數(shù)復合而成復合函數(shù)，其中u稱為中間變量。重點掌握復合函數(shù)分解第19頁4/20/2025注意

不是任何兩個函數(shù)都能夠復合成一個復合函數(shù)，比如，，就不能復合成一個復合函數(shù)，因為定義域中任何值x所對應u值都大于或等于2，即全部落在定義域之外。第20頁4/20/2025例已知求表示式。解：令解出

將u換成x，得出

例

設，求復合函數(shù)定義域。解：已知定義域為，即[-3，3]；定義域為。由得定義域為[-4，2]。第21頁4/20/20251.5.3初等函數(shù)定義由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算及有限次復合過程所組成函數(shù)，叫作初等函數(shù)。

比如

等等。第22頁4/20/2025六函數(shù)幾個性質(zhì)

1.6.1函數(shù)單調(diào)性定義設函數(shù)定義在D上：第23頁4/20/20251.6.2函數(shù)奇偶性定義3設函數(shù)在D上有定義，（1）若對于任意恒有則稱f(x)為偶函數(shù)。（2）對于任意恒有，則稱f(x)為奇函數(shù)。注意

當函數(shù)含有奇偶性時，其定義域必定是關于原點對稱，即若,則。偶函數(shù)圖象關于y軸對稱，奇函數(shù)圖象關于原點對稱。第24頁4/20/2025Oxy-xxf(-x)=f(x)y=f(x)偶函數(shù)舉例：y=x2，y=cosx都是偶函數(shù)

偶函數(shù)圖形關于y軸對稱。

設函數(shù)f(x)定義域D關于原點對稱。假如對于任意x

D，有f(-x)=f(x)，則稱f(x)為偶函數(shù)。第25頁4/20/2025奇偶函數(shù)舉例：

y=x3，y=sinx都是奇函數(shù)。101x-22y

假如對于任意x

D，有f(-x)=-f(x)，則稱f(x)為奇函數(shù)。奇函數(shù)圖形關于原點對稱。第26頁4/20/2025例判定函數(shù)奇偶性第27頁4/20/20251.6.3函數(shù)周期性定義

若存在常數(shù)，對任意x，恒有，則稱為周期函數(shù)。使得上述等式成立最小正數(shù)T，稱為最小正周期，簡稱函數(shù)周期。例，就是一個周期函數(shù)，它周期為。第28頁4/20/20251.6.4函數(shù)有界性定義設函數(shù)在區(qū)間（a，b）內(nèi)有定義，若存在正數(shù)使得對于任意，恒有，則稱函數(shù)在（a，b）內(nèi)是有界。不然，稱函數(shù)在（a，b）內(nèi)是無界。比如

函數(shù)在