線性代數(shù)課后答案.習(xí)

題5和習(xí)題6

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習(xí)題五

1.求下列矩陣的特征值和特征向量:

7U23、0030

2130I0；4)-4

34,0

<336,1007-2

并說明哪些矩陣可以相似于對(duì)角形矩陣。

/I—11

解：1）,1（=（/1一2）（丸—3）,特征值2=2,3。

—271—4

當(dāng)％=2時(shí)，7=（-1」）'，故屬于4=2的特征向量為左?。ㄈ斯?。）。

當(dāng)兄=3時(shí)，％=（-1,2）',故屬于4=3的特征向量為攵2%（%2,0）。

由于線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為2,故可以對(duì)角化。

2-1-2-3

2）-22-1-3+-9）,特征值2=0,-1,9。

-3-3A-6

當(dāng)2=0時(shí)，/=（—1,一1』）'，故屬于2=0的特征向量為女局

（＞0）。

當(dāng)2=_1時(shí)，故屬于4=-1的特征向量為

（《工。）。

當(dāng)2=9時(shí)，〃3=（1，1，2）',故屬于4=9的特征向量為外73（公工。）。

由于線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為3,故可以對(duì)角化。

A0-1

3）02-10=（2+1）（2-1）2,特征值4=-1,1。

-10Z

當(dāng)2=1時(shí)，7=（0,1,0）',故屬于4=1的特征向量為

攵司+自％（。向不全為零）。

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當(dāng)兄=_1時(shí)，%=(-1,0,1/,故屬于4=—1的特征向量為

(公工0)。

由于線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為3,故可以對(duì)角化。

A-3-10

4)42+10=(幾一1)2(2+2),特征值義=1,一2。

-48A+2

當(dāng)2=1時(shí)，=(-3,6,20/,故屬于2=1的特征向量為攵外

(>0)。

當(dāng)2=-2時(shí)，％=(0,0,1)',故屬于義=一2的特征向量為e%

(《工。)。

由于線性無關(guān)的特征向量個(gè)數(shù)為2,故不可以對(duì)角化。

2.已知方陣A滿足4—3A+2E=0,求4的所有可能的特征值。

解：設(shè)幾是A的特征值，則有非零向量X滿足AX=/IX。于是

22

(A-3A+2E)X=(A-3A+2)X=0o因?yàn)閄非零，所以42一3%+2=0。

即A的特征值只能為4=1或4=2。

3.設(shè)%是A的特征值，證明：

1)萬是川的特征值，萬(j為正整數(shù))是4的特征值；

2)設(shè)/(團(tuán)是幾多項(xiàng)式，則/(團(tuán)是/(A)的特征值；

3)如果A可逆，貝I」/是浦的特征值。

證明：1)因?yàn)锳X=2X,則42x=4QX)=；lAX=；l2x。

323

AX=A(AX)=AXt依此類推，4X=￡X即”是A?的特征值。

2)由1)4X=/X(i為正整數(shù))，記/(田=%+卯l+???+q)〃，則

/(A)X=(%E+qE+,??+a〃￡')X=/(2)X,即/(團(tuán)是/(4)的特征值。

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21](-505]p

1-2,有P-=!2

1(),使得：A=P

一2OjI

(4勺+(-5)”2-5A-2(-5)A0、

從而不=P5"=-2?5"-2(-5)人5t+4(-5/0

?、(-

’[455)'-52?5人一2(—5)"

57

u%r

8.求x,y的值，使得矩陣A與3相似，其中A=x1），

JyJ

r000、

B=010o

、002）

解：因?yàn)?的特征值為（）,1,2,由A與8相似，可得|0?七一4|=0,

|1-￡-^|=0,

忸1=。。即忙

從而x=y=0o

9.證明：

1）實(shí)反對(duì)稱矩陣的特征值為?；蚣兲摂?shù)；

2）正交矩陣的特征值的模等于1。

證明：1）設(shè)A是實(shí)反對(duì)稱矩陣，4是A的特征值，則有XwO.AX=/IA\

取共輾有K又=冗文?？紤]又'AX,一方面又‘4X=2M'X；另一方面，

XAX=-XrAX=-（Axyx="AXX;于是（2+元）Mx=0。又因?yàn)?/p>

XwO,所以又'x>0。故/l+元=0,即4為。或純虛數(shù)。

2）設(shè)A是正交稱矩陣，2是A的特征值，則有XwO,AX=2X。取共

匏有入刀=15，再轉(zhuǎn)置又=二父］=［父。所以

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r

XX=XAAX=AAXXo因?yàn)閄wO,所以XX＞。。故/U=l,即2的模

為10

10.判斷下列矩陣是否為正交矩陣：

口

211、

-一1-

3323

1211

)\A-A--1-

z32)22

321

211

3T

---

332

解：1）因?yàn)锳A=E,故A為正交矩陣；2）不是正交矩陣。

11.設(shè)48為正交矩陣，證明：

I）A"與A為正交矩陣；

A

2)為正交矩陣。

B

證明：1）因?yàn)锳為正交矩陣，所以=即4=%"。又

fff

(A)'A=(AA)=E=Et故―與4為正交矩陣。

2）因?yàn)锳8為正交矩陣，所以A/=E,B'B=E°從而

AA、A、A](A1AA

=E，即為正交

BBrB)B)

7\嗎B,

矩陣。

12.在R4中,求一單位向量a與向量句,1,7,1）,（2,1J3）正交。

-x2-x3+x4=0

解：設(shè)所求向量為。=（%,工2，壬3，幾），則有，%-9-工3+工4=。o求得基礎(chǔ)

2%+馬+七+3%=0

解系為〃=（4,0,1,-1）,故a=-4,0,1,7）（%為任意數(shù)）。

13.求正交矩陣Q,使得。-）。為對(duì)角形：

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p11、22-2、

1)A=1112)A=25-4

11I-2-45」

2-1-1-1

解：1)\AE-A\=-12-1-1=22(2-3),特征值2=0,3。

-12-1

當(dāng)幾=。時(shí)，7=（—1」,。）‘，4=（T，U」）'。當(dāng)％=3時(shí)，/=（1，1，】）’。

由施密特正交化，取片=圭（一1,1,0）',四=+（1，1，—2）'，

q3=

%為坊0、

令。=%為幾，則QT4Q=2'4Q=0

3

0%法

A-2-22

2)|2E-A|=-22-54=(4—1)2(4—10),特征值4=1,10。

242-5

當(dāng)2=1時(shí)，/=(—2,1,0)',%=(2,0』)'。當(dāng)2=10時(shí),

%=（_；,—Liy。由施密特正交化，取三=表（-2,1,0）二

%加-%

A=-(-1,-2,2/令。=,則

o九%45-%

°不%

<1

Q}AQ=QfAQ=1

9

14.設(shè)3階方陣A的特征值為1,2,3；對(duì)應(yīng)的特征向量為7二（0,1,0）',

%=（1,1,0）',%=（°，°，1）'。求矩陣A。

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,010](\

解：由題意，令。=110,貝IJ有尸一」「=2o故

、0()J、

V

0()、

A=P210

。3)

15.設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值為6和3(二重根)o屬于6的特征向量為

求A及IA3-3EI。

解：設(shè)X=(%,/,芻)'是實(shí)對(duì)稱矩陣A屬于特征值為3的特征向量，則有

%+/+為=oo故特征值為3的特征向量7=(7,1,0)',%=(-1,0,1)'。令

1]<3

1,則A=P|A3-3￡|=

9)24

\P33K-3E|二24=1226880

、6J213

提高題

ra-1c、

1.設(shè)矩陣A=5b3H=-i,4有特征值4,屬于兒的一個(gè)特

J-c0-a)

征向量為。=(一1,一1,1)'。求。，4c和％的值。

解：因?yàn)閨H=-1,所以A4*=—M即4=-4-二由于A*a=4。，可得

4(1+c-〃)=1A)=1

；a=Aa,又同=一1,所以，廣:*\。解得」b=-3

4)%(-1+c-<7)=-1c=2

H=Ta=2

2.已知3階矩陣A與3維列向量X,向量組X,AX,4x線性無關(guān)，且滿

足A?X=3AX—2A?Xo

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1)記P=(X,AX,A2x),求3階矩陣8,使得A=P3p7；

2)計(jì)算行列式|A+E|。

解：1)因?yàn)镻TP=K(X,AX,AX2)=M所以pTAX=(0,1,0)',

P-1/l2X=(0,0J)\由A=可得5=pTAP=pT(AX,A2x,4X3)二

,000、

(P-,AX,P'A2X,3P-,AX-2P-IA2X)=103

、01-2,

100

同=|尸+卜忸+同=

2)M+ii3=—4o

01

3.設(shè)A是〃階方陣，記/（2）=|/^一川=牙'+4牙1+?..+4，4,…，4是

/（㈤的〃個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）。證明：

1）4“+…+。”“=4+,,+47=-6，稱為方陣A的跡，記為江（4）；

2）4=（一1）〃同=（—1）”4…4。

證明：因?yàn)閒）二卜上―川=心+6元"++q=（4—4）（丸―丸〃），令

4=0,則有%=（—1）“|川=（一1）〃4…4，即2）成立。又由于特征多項(xiàng)式

|ZE-A|中心T項(xiàng)由行列式定義知只能出現(xiàn)在（2-4）???（4-。〃“）內(nèi)，它的系數(shù)

為一（4l+…+4”〃）=4；而（九一4）…（2-41中4"T項(xiàng)的系數(shù)為

一（4+…+4?）。故1）成立。

4.設(shè)4=（4,…4.均為非零實(shí)數(shù)，I3=A,A,求可逆矩陣P.使得

「一出?為對(duì)角陣。

它為實(shí)對(duì)稱矩陣。當(dāng)2=0時(shí)，ZE—4的

秩為1,所以2=0是心石―網(wǎng)=。的〃—1重根，由上題1）的結(jié)果知儲(chǔ)々項(xiàng)系數(shù)

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為一（a；+…+可）。故

2一〃；一的“

\AE-B\==4"奴-⑷+??+〃：)］。

一的丸一4

當(dāng)一=0時(shí),可得：%=（-。2嗎，…,0）'，…，%=當(dāng)。,”0,…，4）'。由于

屬于特征值4=（。；+?+。；）的特征向量X=（不…,％）與上述向量組正交，所

以。盧=%勺（j=2,

o故7=(q―??,qt)o

?2-。3…~an%'

%00a2

令P=???????????????,則

000afitl-\.

、00...qa〃,

’0、

,0

P'BP=o

、d+.+*

5.證明上三角正交矩陣必為對(duì)角陣。

證明：設(shè)上三角矩陣4正交，則A"=A。一方面由第二章習(xí)題知也為上三

角，另一方面4為下三角，故A既為三角又為下三角，從而為對(duì)角矩

陣。

6.4,8是正交矩陣，且|4|+困=0。證明人+8不可逆。

證明：因?yàn)橥?冏=0,所以國(guó)+忸「+2同忸|=0,即同網(wǎng)=—1。又48

是正交矩陣，所以|A+M=M?8+AAa=MW+A同=|AM||A+B|o即

（1-|犧）|A+M=0,從而|A+N=O,A+8不可逆。

習(xí)題六

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1.寫出二次型的矩陣表示形式：

1)f=x2+4y2+z?+4xy+2xz+4yz;

2)f=x2+y2-lz2-2xy-4xz-4yz;

3)f=+石+石+W-2%/+4%七-2xrVj+6X2X3-4x2x4o

\

2AX

解：1)f=(x,y,z)242y；2)/=(x,>\z)-11y

121

7<2>

1-12-r

-113-2

3)

2310

-1-201>

2.化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形：

1)f=2x；+3x；+34+鈕思；

2)/=X；+第+W+只_2%陷-2工2占+213月。

r200、

解：1)二次型矩陣為032

23>

Z-200

0丸-3-2=(4—1)(4—2)(4—5)。所以二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為

0-22-3

/=)；+2)彳+5y；o

110A-l01

11-10-14—10

2)二次型矩陣為等于

0-11101A—1-1

-10110-12-1

(A+l)(2-l)2(2-3)。所以二次型為標(biāo)準(zhǔn)形為/=—犬+2￡+式+3只。

3.判斷下列二次型的正定性：

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1)/=3x2+4y2+5z2+4xy-4yz；

2)f=-5片-6%2-4片+4不工2+4式科；

3)f=2XJX2+2XJX3-6X2X3O

2()、

解：1)二次型矩陣為24-2,又3>0,=8>0

24

、0-25)

320

24-2=28>00所以二次型正定。

0-25

‘一522}

-52

2)二次型矩陣為2-60,又—5<0,「，=26>()

2-6

、20-4J

-522

2-60=-80<0。所以二次型負(fù)定。

20Y

3)?。?(1,1,0)，則/(乂)=2>0；又取、2=(0,1,1)、則

/(X2)=-6<0。所以二次型既不正定，也不負(fù)定。

4.，為何值時(shí)，下列二次型是正定的：

1)f=2x；+X；+￥+2%X2+比2毛；

/=片++石+內(nèi)七+

2)2tx]x2+106X2X3O

/\

210

2?

解：1)二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為11%。又2>。，cI〉。，

、。%J

2I0

11%=1—。所以當(dāng)即〈血時(shí)二次型正定。

0%1

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勺t5、

1t)

2）二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為t43又…="/,

1531,

1/5

4一產(chǎn)>0

/43=一產(chǎn)+301—105。因?yàn)椋?無解，即無論/為何值二

?-30/+1（）5<0

531

次型是均不正定。

5.如果二次型/=XAX,對(duì)于任意〃維列向量X。，都有X（：AXo=（）。記明

A=0。

證明：記A=（%）,取X0=0（表示第i個(gè)分量為1其余分量為。的〃維列

向量），由X；AXo=（）.得%=0;取X°=%（表示第i、第/兩個(gè)分量為1

其余分量為。的〃維列向量），由Xo'AXo=O,則有2他=0。故A=0。

6.如果4是正定矩陣，證明AT是正定矩陣。

證明：因?yàn)锳是正定矩陣，所以存在可逆實(shí)矩陣B,使得Ao故

1=[（&）』（3],即4T是正定矩陣。

7.如果A,8是〃階正定矩陣，R>（）,/>（）。證明加+必為正定矩陣。

證明：4,B是〃階正定矩陣，對(duì)任意〃維實(shí)的列向量Xw。，XXX>0,

X'BX>Q。從而乂'（乂+/8）乂=攵（*：4*）+/（乂'8乂）>0。即乂+/3為正定矩

陣。

8.設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，證明當(dāng)實(shí)數(shù)，充分大之后，龍+A是正定矩陣。

證明：WM=max力%J,則當(dāng)，時(shí)，X'（芯+A）X>0。所以西+4是

正定矩陣。

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1.如果A為正定矩陣，證明：

1）ci..>0（i=l,.?,〃）；

2）4%>0（2八仃二1,.,〃）。

aji%

證明：1）（反證）若即工。，取X。為玉=1、其余未知量為零的列向量，則

有Xo'AXo=%KO。與A為正定矩陣矛盾。故%>0。=1,…o

2）由1）%>0，盯>0。（反證）若%%（0,則二元二次型

%%

g=+2旬凹%+旬￡不正定,故存在（>io，%））0°，使得

4加）+力^/兇0、20+%>2o400取X。為Xj=y10、Xj=y2Q、其余未知量為零的

列向量，則X