吉林四中2024—2025學年度下學期3月份月考高二年級數(shù)學學科試卷一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求1.一物體的運動方程是，則在時的瞬時速度是（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】【分析】表示，計算，利用可計算出時的瞬時速度.【詳解】∵，∴，∴在時的瞬時速度為.故選：B.2.設函數(shù)在處存在導數(shù)為2，則（）A.1 B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)的定義即可得解.【詳解】由依題意，知,則，故選：A3.函數(shù)的單調遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】對函數(shù)求導并令解不等式可得單調遞減區(qū)間.【詳解】易知函數(shù)定義域為，可得，顯然，令，可得，因此函數(shù)的單調遞減區(qū)間是.故選：A4.現(xiàn)有3名老師、6名男同學和4名女同學共13人．若需1名老師和1名學生參加評選會議，則不同的選法種數(shù)為（）A.30 B.18 C.12 D.13【答案】A【解析】【分析】根據(jù)分步計數(shù)原理，結合題意，直接求解即可.【詳解】先從3名老師中任選1名，有3種選法，再從10名學生中任選1名，有10種選法；由分步乘法計數(shù)原理知，不同的選法種數(shù)為3×10＝30．故選：A.5.過點作函數(shù)的切線方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設切點為，利用導數(shù)幾何意義求切線方程，結合所過的點求參數(shù)m，進而確定切線方程.【詳解】由，設切點為，則，所以，切線方程為，又過點，所以，整理得，所以，切線方程為，則.故選：C6.如圖，函數(shù)的圖象在點處的切線是，則（）A.1 B.2 C.0 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象中的數(shù)據(jù)求出切線的方程，從而可求出點的縱坐標，則可得，求出直線的斜率可得的值，從而可得答案.【詳解】由圖象可得切線過點，所以切線的方程為，即，所以切線的斜率為，所以因為點在切線上，所以，所以，所以，故選：C7.已知直線與曲線相切，則的值為（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】設切點坐標為，根據(jù)切點在切線、曲線上及切線的斜率為建立方程組，求解即得結果.【詳解】設切點坐標.∵，∴，則，由②得，，代入①得，，整理得，解得，故.故選：A.8.已知為函數(shù)的導函數(shù)，且．若，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用導數(shù)的運算性質解出，所以，即，結合基本不等式求解即可.【詳解】由題意可得，所以，解得，所以，即，又，當且僅當，即時，等號成立，所以，，故選：D二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列說法正確的是（）A.B.設函數(shù)的導函數(shù)為，且，則C.函數(shù)在處有極大值，則或6D.設，則“”是“”的充要條件【答案】BD【解析】【分析】對于A，根據(jù)常值函數(shù)的導數(shù)為0可判斷；對于B，求導函數(shù)，將代入導函數(shù)，利用方程解出，即可判斷；對于C，通過驗證可知當時，在處有極小值，即可排除C，對于D，構造函數(shù)，利用導數(shù)判斷單調性，結合，即可判斷.【詳解】A選項：因為，所以，故A錯誤；B選項：因為，所以，則，解得，故B正確；C選項：因為函數(shù)在處有極大值，所以，又，則，解得或6.若，則，當時，，當時，，此時在上單調遞減，在上單調遞增，則在處有極小值，不符合題意，故C錯誤.D選項：設，.則，因為恒成立，且不恒等于1，所以恒成立，且不恒等于0，則在上單調遞增.又，所以當，即時，；當時，，即，所以“”是“”的充要條件，故D正確.故選：BD.10.若函數(shù)恰好有三個單調區(qū)間，則實數(shù)a的取值可以是（）A. B. C.0 D.2【答案】BD【解析】【分析】將問題轉化為導函數(shù)有兩個零點問題，由判別式可解．【詳解】當時，，顯然不滿足題意；當時，依題意知，有兩個不相等零點，所以，解得且，故選：BD．11.對于函數(shù)，下列結論正確的（）A.在處取得極大值 B.有兩個不同的零點C. D.若恒成立，則【答案】ACD【解析】【分析】求得，得到的單調區(qū)間，可判定A正確；根據(jù)的單調性，結合當時，，當時，，畫出的圖象，可判定B錯誤；根據(jù)的單調性，得到，結合，可判定C正確；轉化為在恒成立，令gx=lnxx+1x,x>0，求得，得到函數(shù)的單調性與，可判定D正確.【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得，當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以在處取得極大值，所以A正確；當時，，當時，，則函數(shù)的圖象，如圖所示，所以函數(shù)有且僅有一個零點，所以B錯誤；由函數(shù)的圖象，可得，因為，所以，所以C正確；若在恒成立，則在恒成立，令gx=ln當時，；當時，，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，所以，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分，12.函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】先求導數(shù)，根據(jù)導數(shù)求解實數(shù)a的取值范圍.【詳解】，因為函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，所以在區(qū)間上恒成立，即，所以.故答案為：.13.曲線在處切線的傾斜角是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，求導得，再由導數(shù)的幾何意義，即可得到結果.【詳解】設切線的傾斜角為，因為，則，且，則，所以曲線在處切線的傾斜角是.故答案為：14.將一個邊長為a的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為x的小正方形，做成一個無蓋方盒，若要使方盒的容積V最大，則邊長x為________.【答案】##【解析】【分析】依題意，可得，求導確定函數(shù)單調性即可求解.【詳解】依題意，折成無蓋盒子的底面是邊長為的正方形，高為，則，由，得，令，解得，令，解得，故在單調遞增，在單調遞減，且在處取得最大值.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.求下列函數(shù)導數(shù)：（1）；（2）；（3）；【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)求導公式與四則運算的求導法則求解；（2）根據(jù)求導公式與四則運算的求導法則求解；（3）利用復合函數(shù)的求導法則可求.【小問1詳解】；【小問2詳解】；【小問3詳解】令，則16.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的單調區(qū)間以及極值；（2）求函數(shù)在上的最小值.【答案】（1）單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為；極大值為，無極小值（2）1【解析】【分析】(1)先求函數(shù)的定義域，然后對函數(shù)求導，利用導數(shù)的正負，求得函數(shù)的單調區(qū)間，從而可求得函數(shù)的極值;(2)根據(jù)第(1)小問的單調性，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調性，從而函數(shù)的最小值是，比較和的大小，求得函數(shù)的最小值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域是.又，令，得，令，得，故函數(shù)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，所以函數(shù)的極大值為，無極小值.【小問2詳解】由（1）可知，在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上的最小值為.因為，所以，所以函數(shù)在上的最小值為1.17.設函數(shù)和函數(shù).（1）曲線在點處的切線與曲線相切于點，求、的值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，求的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）利用導數(shù)的幾何意義可求出曲線在點處的切線方程為，利用導數(shù)的幾何意義可得出，即可求得實數(shù)、的值；（2）分析可知，對任意的恒成立，設，可知對任意的恒成立，可得出關于實數(shù)的不等式組，解之即可.【小問1詳解】解：因為，則，所以，，，故曲線在點處的切線方程為，又因為與曲線相切于點，且，所以，，解得.【小問2詳解】解：因為函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，當時，恒成立，因為，故當時，恒成立，所以，，解得或.而當或時，均不是常函數(shù)，故若函數(shù)在區(qū)間內單調遞增，則的取值范圍為或.18.已知函數(shù)在時取得極值．（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；（3）若有兩個零點，求值．【答案】（1）遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是；（2）（3）或【解析】【分析】（1）先求導，由可求出的值，進而確定導數(shù)，由導數(shù)正負即可得解.（2）由（1）可知函數(shù)單調性，根據(jù)單調性求出最低的端點值和極小值進行比較即可得解.（3）將函數(shù)零問題轉化成圖像交點問題結合函數(shù)單調性和極值情況即可求解.【小問1詳解】由題得，且定義域為.由函數(shù)在時取得極值，得，解得，此時，顯然是的變號零點，即是極值點，因此，所以當或時，，當時，，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.【小問2詳解】由（1）知，函數(shù)，且在上單調遞增，在上單調遞減，又所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值是.【小問3詳解】因為，由（1）可知在上單調遞增，在上單調遞減，所以有極小值為，極大值為，由有兩個零點得直線與函數(shù)的圖像有兩個交點，故或，所以或.19.已知函數(shù).（1）若曲線在點處的切線斜率為，求a的值；（2）討論函數(shù)的單調性；（3）若，求證：對，且，都有.【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程，求值即可；（2），根據(jù)參數(shù)與1的大小關系分類討論，利用導數(shù)的正負判斷函數(shù)的單調性；（3）設，要證，即證，構造新函數(shù)，證明函數(shù)在上單調遞增即可．【小問1詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，，.因為曲線在點處