矩陣函數(shù)5.2矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的定義根據(jù)定理5.12,只要方陣的所有特征值都在冪級數(shù)的收斂圓內(nèi),矩陣冪級數(shù)就絕對收斂,它的和仍然是一個矩陣.現(xiàn)在給出矩陣函數(shù)的解析定義.矩陣函數(shù)的概念與通常函數(shù)的概念類似,不同的是,這里的自變量和因變量都是階方陣.定義5.13設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為且當(dāng)時,冪級數(shù)收斂于函數(shù)即

若則稱收斂的矩陣冪級數(shù)的和為矩陣函數(shù),記為即特殊地,當(dāng)時,對任意矩陣函數(shù)根據(jù)這個定義,我們可以形式地得到與微積分中的一些函數(shù)類似的矩陣函數(shù).已知

矩陣函數(shù)在各自的收斂域內(nèi)均收斂,因此,對于有

其中,、、分別稱為矩陣指數(shù)函數(shù)、矩陣正弦函數(shù)、矩陣余弦函數(shù),它們均絕對收斂.矩陣函數(shù)若將矩陣函數(shù)中的變量換成為參數(shù),則相應(yīng)地變?yōu)?/p>

在理論與工程應(yīng)用中,經(jīng)常用到以上含參數(shù)的矩陣函數(shù).值得注意的是,在微積分中,指數(shù)函數(shù)具有的運(yùn)算規(guī)律在矩陣分析中,一般不再成立.例如,令則從而

因此又由可得進(jìn)而得到

由此容易推出

可見,互不相等.矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)如果和可交換,則有事實(shí)上

因?yàn)樗酝砜勺C特殊地,其中,是整數(shù).矩陣函數(shù)對于下面再列出一些常見的矩陣指數(shù)函數(shù)及矩陣三角函數(shù)的性質(zhì).(1)

(2)

(3)

(4)

(5)當(dāng)時,有

矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)的計(jì)算矩陣的計(jì)算本來就很復(fù)雜,根據(jù)定義計(jì)算矩陣函數(shù)顯然更加復(fù)雜.因此,需要尋求計(jì)算矩陣函數(shù)的其他方法.本節(jié)主要介紹計(jì)算矩陣函數(shù)的兩種主要方法.方法1利用矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣函數(shù)引理5.1設(shè)是對角線元素為的階Jordan塊,冪級數(shù)其收斂半徑為則當(dāng)時,矩陣冪級數(shù)收斂,且其和為矩陣矩陣函數(shù)證令則容易算得

其中,若則因此矩陣函數(shù)矩陣函數(shù)因?yàn)榈氖諗堪霃綖榍宜?/p>

收斂,且

因此矩陣函數(shù)定理5.14(Lagrange-Sylvester定理)

設(shè)冪級數(shù)其收斂半徑為矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為其中,其相似變換矩陣為即若則矩陣冪級數(shù)收斂,其和為矩陣函數(shù)其中

根據(jù)引理5.1即可得證.矩陣函數(shù)根據(jù)定理5.14,將利用Jordan標(biāo)準(zhǔn)型計(jì)算矩陣函數(shù)的步驟總結(jié)如下.第一步：求的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣和第二步：求第三步：計(jì)算例5.10證明證設(shè)是的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型,是的特征值,則存在非奇異矩陣使得

因此

例5.11已知矩陣計(jì)算解的Jordan標(biāo)準(zhǔn)型為矩陣函數(shù)其相似變換矩陣和分別為

且

從而矩陣函數(shù)當(dāng)時,從而

當(dāng)時,從而

當(dāng)時,從而矩陣函數(shù)定理5.14提供了計(jì)算矩陣函數(shù)的一種方法.用這種方法必須先計(jì)算出Jordan標(biāo)準(zhǔn)型和相似變換矩陣從例5.11中可以看出,其計(jì)算過程還是比較繁瑣的.下面介紹的待定系數(shù)法相比較而言要簡單一些.但這種方法的理論推導(dǎo)非常復(fù)雜,因此這里只將方法和結(jié)果介紹給讀者.方法2待定系數(shù)法設(shè)其最小多項(xiàng)式為

其中,為的互異特征值；為了計(jì)算矩陣函數(shù)記將形式地寫為

其中,為含有參數(shù)的的表達(dá)式,為含有參數(shù)的次數(shù)不超過的的多項(xiàng)式,即矩陣函數(shù)因?yàn)槭亲钚《囗?xiàng)式,所以

因此,只要求出便可得到注意到

對式(5.1)兩端關(guān)于求導(dǎo),并利用式(5.2),可得

由式(5.3)即可得到以為未知量的線性方程組.解之,即得.矩陣函數(shù)綜合以上分析,現(xiàn)將用待定系數(shù)法計(jì)算矩陣函數(shù)或的步驟總結(jié)如下.第一步：求矩陣的最小多項(xiàng)式第二步：設(shè)根據(jù)

或者

列方程組,求解第三步：計(jì)算(或)需要指出的是,如果第一步求出的是特征多項(xiàng)式,那么也可以按此步驟繼續(xù)計(jì)算下去,只是計(jì)算量稍微大一些.矩陣函數(shù)例5.12已知矩陣計(jì)算解容易求得的最小多項(xiàng)式為因此可設(shè)由

得

解得因此,再由矩陣函數(shù)解得因此注需要指出的是,矩陣函數(shù)的計(jì)算不僅僅局限于以上兩種方法.針對矩陣的不同特點(diǎn),可以有不同的計(jì)算方法.例5.13設(shè)求

解根據(jù)Cayley-Hamilton定理,因此,

即有遞推公式矩陣函數(shù)所以

例5.14設(shè)其特征值為求解因