選擇性必修第三冊第七章隨機(jī)變量及其分布第六講超幾何分布問題情境：問題：已知100件產(chǎn)品中有8件次品，現(xiàn)從中采用有放回方式隨機(jī)抽取4件．設(shè)抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列.思考1：采用有放回抽樣，隨機(jī)變量X服從什么分布？思考2：如果采用不放回抽樣，抽取的4件產(chǎn)品中次品數(shù)X服從二項(xiàng)分布嗎？若不服從，那么X的分布列是什么二、知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一超幾何分布1.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有件，其中有件次品，從件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取件(不放回)，用表示抽取的件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則的分布列為，.其中，，，，．如果隨機(jī)變量的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．2.對(duì)超幾何分布的理解在超幾何分布的模型中，“任取件”應(yīng)理解為“不放回地一次取一件，連續(xù)取件”.如果是有放回地抽取，就變成了重伯努利試驗(yàn)，這時(shí)概率分布是二項(xiàng)分布.所以兩個(gè)分布的區(qū)別就在于是否為地抽取.知識(shí)點(diǎn)二超幾何分布的均值若隨機(jī)變量服從超幾何分布，則(是件產(chǎn)品的次品率).三、類型歸納類型一超幾何分布的理解類型二超幾何分布的概率類型三超幾何分布的均值與方差類型四二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合應(yīng)用類型五數(shù)學(xué)情境中的超幾何分布類型應(yīng)用類型一對(duì)超幾何分布的理解【例1】（多選）（2425高二·全國·課后作業(yè)）下列隨機(jī)變量中，服從超幾何分布的有(

)A．拋擲三枚骰子，向上面的點(diǎn)數(shù)是6的骰子的個(gè)數(shù)XB．有一批種子的發(fā)芽率為70％，任取10顆種子做發(fā)芽試驗(yàn)，試驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)XC．盒子中有3個(gè)紅球、4個(gè)黃球、5個(gè)藍(lán)球，任取3個(gè)球，不是紅球的個(gè)數(shù)XD．某班級(jí)有男生25人，女生20人.選派4名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生的人數(shù)X【跟蹤訓(xùn)練11】（2425高二·全國·課后作業(yè)）下列隨機(jī)事件中的隨機(jī)變量服從超幾何分布的是（）A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數(shù)為B．從7男3女共10名學(xué)生干部中隨機(jī)選出5名學(xué)生干部，記選出女生的人數(shù)為C．某射手的射擊命中率為0.8，現(xiàn)對(duì)目標(biāo)射擊1次，記命中的次數(shù)為D．盒中有4個(gè)白球和3個(gè)黑球，每次從中摸出1個(gè)球且不放回，記第一次摸出黑球時(shí)摸取的次數(shù)為【跟蹤訓(xùn)練12】（2425高二下·全國·課堂例題）下列問題中，哪些屬于二項(xiàng)分布問題，哪些屬于超幾何分布問題．(1)拋擲三枚骰子，所得向上的數(shù)是的骰子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；(2)有一批種子的發(fā)芽率為，任取顆種子做發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，把實(shí)驗(yàn)中發(fā)芽的種子的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；(3)盒子中有紅球只，黃球只，藍(lán)球只，任取只球，把不是紅色的球的個(gè)數(shù)記為，求的分布列；(4)某班級(jí)有男生人，女生人．選派名學(xué)生參加學(xué)校組織的活動(dòng)，班長必須參加，其中女生人數(shù)記為，求的分布列；(5)現(xiàn)有臺(tái)平板電腦未經(jīng)檢測，抽取臺(tái)送檢，把檢驗(yàn)結(jié)果為不合格的平板電腦的個(gè)數(shù)記為，求的分布列．類型二超幾何分布的概率【例2】（2324高二下·江蘇南京·期末）一批零件共有10個(gè)，其中有3個(gè)不合格品，從這批零件中隨機(jī)抽取2個(gè)進(jìn)行檢測，則恰有1個(gè)不合格品的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練21】（2024高二·黑龍江哈爾濱·期末）從一批含有6件正品，2件次品的產(chǎn)品中一次性抽取3件，設(shè)抽取出的3件產(chǎn)品中次品數(shù)為X，則（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練22】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）國家提出“鄉(xiāng)村振興”戰(zhàn)略，各地紛紛響應(yīng)．某縣有7個(gè)自然村，其中有4個(gè)自然村根據(jù)自身特點(diǎn)推出鄉(xiāng)村旅游，被評(píng)為“旅游示范村”．現(xiàn)要從該縣7個(gè)自然村里選出3個(gè)作宣傳，則恰有2個(gè)村是“旅游示范村”的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練23】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)袋中有8個(gè)紅球，4個(gè)白球，若從袋中任取4個(gè)球，則其中至多3個(gè)紅球的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練24】（2324高二下·山東青島·期中）數(shù)學(xué)老師從6道題中隨機(jī)抽3道讓同學(xué)檢測，規(guī)定至少要解答正確2道題才能及格．某同學(xué)只能正確求解其中的4道題，則該同學(xué)能及格的概率為（

）A． B． C． D．【跟蹤訓(xùn)練25】（2324高三上·上?！て谥校┰诟呖贾驹改M填報(bào)實(shí)驗(yàn)中，共有9個(gè)專業(yè)可供學(xué)生甲填報(bào)，其中學(xué)生甲感興趣的專業(yè)有3個(gè)．若在實(shí)驗(yàn)中，學(xué)生甲隨機(jī)選擇3個(gè)專業(yè)進(jìn)行填報(bào)，則填報(bào)的專業(yè)中至少有1個(gè)是學(xué)生甲感興趣的概率為．【跟蹤訓(xùn)練26】（遼寧省沈陽市級(jí)重點(diǎn)高中聯(lián)合體20232024學(xué)年高二學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）課桌上有12本書，其中理科書籍有4本，現(xiàn)從中任意拿走6本書，用隨機(jī)變量表示這6本書中理科書籍的本數(shù)，則概率為的是（

）A． B． C． D．【例3】（2324高二·湖南·課后作業(yè)）從一批含有13件正品、2件次品的產(chǎn)品中，不放回地任取3件，求取得次品數(shù)的分布列．【跟蹤訓(xùn)練31】（2324高二·全國·課后作業(yè)）從6名男生和4名女生中隨機(jī)選出3名同學(xué)參加一項(xiàng)競技測試．(1)求選出的3名同學(xué)中至少有1名女生的概率；(2)設(shè)表示選出的3名同學(xué)中男生的人數(shù)，求的分布列．【跟蹤訓(xùn)練32】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）新高考制度的“3+1+2”中的“1”是指從物理和歷史兩門科目選擇一門．若某班級(jí)一組有8名女生，其中有2名選擇物理，6名選擇歷史，現(xiàn)從這8名女生中任選3人，求3人中選擇物理科目人數(shù)的分布列．類型三超幾何分布均值與方差【例4】（2223高二下·遼寧·期中）學(xué)校要從5名男生和3名女生中隨機(jī)抽取2人參加社區(qū)志愿者服務(wù)，若用表示抽取的志愿者中女生的人數(shù)，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的值是（

）A． B． C． D．1【跟蹤訓(xùn)練41】（2324高二下·北京·期中）某不透明紙箱中共有8個(gè)小球，其中2個(gè)白球，6個(gè)紅球，它們除顏色外均相同．一次性從紙箱中摸出4個(gè)小球，摸出紅球個(gè)數(shù)為，則．【跟蹤訓(xùn)練42】（2324高二下·北京海淀·期末）某學(xué)校組織趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)，一共設(shè)置了3個(gè)項(xiàng)目（其中只包含1個(gè)球類項(xiàng)目），每位教師只能從3個(gè)項(xiàng)目中隨機(jī)選擇2個(gè)參加，設(shè)李老師選擇的2個(gè)項(xiàng)目中所含球類項(xiàng)目的數(shù)量為，則的所有可能取值為，數(shù)學(xué)期望．【跟蹤訓(xùn)練43】（2425高三上·上?！るA段練習(xí)）某醫(yī)院派出16名護(hù)士?4名內(nèi)科醫(yī)生組成支援隊(duì)伍，現(xiàn)在需要從這20人中任意選取3人去A城市支援，設(shè)表示其中內(nèi)科醫(yī)生的人數(shù)，則的期望為.【跟蹤訓(xùn)練44】（2024高二·江蘇連云港月考）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測，記取到的正品數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【例5】（2324高二下·江蘇鹽城·期中）“英才計(jì)劃”最早開始于2013年，由中國科協(xié)、教育部共同組織實(shí)施，到2023年已經(jīng)培養(yǎng)了6000多名具有創(chuàng)新潛質(zhì)的優(yōu)秀中學(xué)生，為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加學(xué)科知識(shí)競答活動(dòng)，題庫中共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓學(xué)生回答．已知某同學(xué)只能答對(duì)其中的6道，試求：(1)抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；(2)求的期望和方差．【跟蹤訓(xùn)練51】（2324高二·江蘇·課后作業(yè)）已知15件同類型的零件中有2件是不合格品，從中任取3件，用隨機(jī)變量X表示取出的3件中的不合格品的件數(shù)．求：(1)X的概率分布；(2)X的均值．【跟蹤訓(xùn)練52】（2425高二上·江西南昌·期末）袋中裝有12個(gè)大小相同的球，其中紅球2個(gè)，黃球3個(gè)，白球7個(gè)，從中隨機(jī)取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球中有2個(gè)白球的概率；(2)設(shè)X表示取到的紅球個(gè)數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.【跟蹤訓(xùn)練53】（2324高二下·山東臨沂·期中）某單位組織“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”知識(shí)競賽，競賽共有10道題目，隨機(jī)抽取4道讓參賽者回答，已知小李只能答對(duì)其中的7道，試求：(1)抽到他能答對(duì)題目數(shù)的分布列；(2)求的期望和方差.【跟蹤訓(xùn)練54】（2425高二下·寧夏銀川·階段練習(xí)）一批筆記本電腦共有10臺(tái)，其中A品牌3臺(tái)，B品牌7臺(tái)．如果從中隨機(jī)挑選2臺(tái)．(1)求這2臺(tái)電腦中至多有1臺(tái)B品牌電腦的概率；(2)求這2臺(tái)電腦中A品牌臺(tái)數(shù)X的分布列及均值和方差．類型四二項(xiàng)分布與超幾何分布綜合應(yīng)用【例6】（2324高二下·天津·期末）一個(gè)袋子中有6個(gè)大小相同的球，其中有2個(gè)黃球，4個(gè)白球，從中隨地摸出3個(gè)球作為樣本.用表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).(1)若不放回摸球，求的分布列；(2)若有放回摸球，求的分布列和均值.【跟蹤訓(xùn)練61】（2324高二下·山東淄博·期末）在一個(gè)不透明的密閉紙箱中裝有10個(gè)大小、形狀完全相同的小球，其中8個(gè)白球，2個(gè)黑球.小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球觀察其顏色，連續(xù)摸4次，記隨機(jī)變量為小張摸出白球的個(gè)數(shù).(1)若小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后放回紙箱，求和；(2)若小張每次從紙箱中隨機(jī)摸出一個(gè)小球后不放回紙箱，求的分布列和；【跟蹤訓(xùn)練62】（2425高二·全國·課堂例題）為了解決某地區(qū)教師資源匱乏的問題，某市教育局?jǐn)M從5名優(yōu)秀教師中抽選人員分批次參與支教活動(dòng)．支教活動(dòng)共分為三批次，每批次支教需要同時(shí)派送2名教師，且每批次派送人員均從這5人中隨機(jī)抽選．已知這5名優(yōu)秀教師中，2人有支教經(jīng)驗(yàn)，3人沒有支教經(jīng)驗(yàn)．(1)求甲在這三批次支教活動(dòng)中恰有兩次被抽到的概率；(2)求第一批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)的分布列；(3)第二批次抽到?jīng)]有支教經(jīng)驗(yàn)的教師人數(shù)最有可能是多少？請(qǐng)說明理由．【跟蹤訓(xùn)練63】（2324高三上·北京西城·期中）某校設(shè)計(jì)了一個(gè)實(shí)驗(yàn)學(xué)科的實(shí)驗(yàn)考查方案；考生從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3題，按照題目要求獨(dú)立完成全部實(shí)驗(yàn)操作，規(guī)定：至少正確完成兩題便可通過，已知6道備選題中甲生有4題能正確完成，2題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都是，求：(1)分別寫出甲、乙兩考生正確完成題數(shù)的概率分布列，并計(jì)算數(shù)學(xué)期望；(2)試用統(tǒng)計(jì)知識(shí)分析比較兩考生的實(shí)驗(yàn)操作能力．類型五數(shù)學(xué)情境中的超幾何分布【例7】（2324高二下·陜西西安·期末）當(dāng)前，以為代表的（利用技術(shù)自動(dòng)生成內(nèi)容的生產(chǎn)方式）領(lǐng)域一系列創(chuàng)新技術(shù)有了革命性突破．全球各大科技企業(yè)都在積極擁抱，我國的（百度、阿里、騰訊3個(gè)企業(yè)的簡稱）、字節(jié)跳動(dòng)、萬興科技、藍(lán)色光標(biāo)、華為等領(lǐng)頭企業(yè)已紛紛加碼布局賽道，某傳媒公司準(zhǔn)備發(fā)布《2023年中國發(fā)展研究報(bào)告》，先期準(zhǔn)備從上面7個(gè)科技企業(yè)中隨機(jī)選取3個(gè)進(jìn)行采訪．記選取的3個(gè)科技企業(yè)中中的個(gè)數(shù)為，求的分布列與期望．【跟蹤訓(xùn)練71】（2324高二下·北京大興·期末）某種水果按照果徑大小可分為四級(jí)：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果.某采購商從采購的一批水果中隨機(jī)抽取100個(gè)，利用水果的等級(jí)分類標(biāo)準(zhǔn)得到的數(shù)據(jù)如下：等級(jí)標(biāo)準(zhǔn)果優(yōu)質(zhì)果精品果禮品果個(gè)數(shù)10304020假設(shè)用頻率估計(jì)概率.(1)從這100個(gè)水果中有放回地隨機(jī)抽取4個(gè)，求恰好有2個(gè)水果是禮品果的概率；(2)采用分層抽樣的方法從這100個(gè)水果中抽取10個(gè)，再從抽取的10個(gè)水果中不放回地隨機(jī)抽取3個(gè)，若表示抽到的精品果的數(shù)量，求的分布列和期望．【跟蹤訓(xùn)練72】（2324高二下·天津·階段練習(xí)）我國是全球制造業(yè)大國，制造業(yè)增加值自2010年起連續(xù)12年位居世界第一，主要產(chǎn)品產(chǎn)量穩(wěn)居世界前列．為深入推進(jìn)傳統(tǒng)制造業(yè)改造提升，全面提高傳統(tǒng)制造業(yè)核心競爭力，某設(shè)備生產(chǎn)企業(yè)對(duì)現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行技術(shù)攻堅(jiān)突破．設(shè)備生產(chǎn)的零件的直徑為X（單位：nm）．(1)現(xiàn)有舊設(shè)備生產(chǎn)的零件共7個(gè)，其中直徑大于10nm的有4個(gè)．現(xiàn)從這7個(gè)零件中隨機(jī)抽取3個(gè)．記ξ表示取出的零件中直徑大于10nm的零件的個(gè)數(shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．(2)技術(shù)攻堅(jiān)突破后設(shè)備生產(chǎn)的零件的合格率為，每個(gè)零件是否合格相互獨(dú)立．現(xiàn)任取6個(gè)零件進(jìn)行檢測，若合格的零件數(shù)η超過半數(shù)，則可認(rèn)為技術(shù)攻堅(jiān)成功．求技術(shù)攻堅(jiān)成功的概率及η的方差；素養(yǎng)提升1.（多選）（2024高二·河南南陽·期末）在一個(gè)袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個(gè)黑球，3個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，設(shè)這4個(gè)球中黑球的個(gè)數(shù)為，則（

）A．服從二項(xiàng)分布 B．的值最小為1C． D．2.（多選）（2425高二下·全國·課后作業(yè)）一個(gè)袋中有6個(gè)同樣大小的黑球，編號(hào)為1，2，3，4，5，6，還有4個(gè)同樣大小的白球，編號(hào)為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，則下列說法中正確的是（

）A．取出一個(gè)黑球記2分，取出一個(gè)白球記1分，表示取出的4個(gè)球的總得分，則服從超幾何分布B．若表示取出的黑球的個(gè)數(shù)，則服從超幾何分布C．若表示取出白球的個(gè)數(shù)，則D．若表示取出黑球的個(gè)數(shù)，則3.（2324高二下·湖南·期末）3月19日，習(xí)總書記在湖南省常德市考察調(diào)研期間來到河街，了解歷史文化街區(qū)修復(fù)利用等情況，這片歷史文化街區(qū)匯聚了常德高腔、常德絲弦、桃源刺繡、安鄉(xiāng)木雕、澧水船工號(hào)子等品類繁多的非遺項(xiàng)目.現(xiàn)為了更好的宣傳河街文化，某部門召集了200名志愿者，根據(jù)報(bào)名情況得到如下表格：項(xiàng)目常德高腔常德絲弦桃源刺繡安鄉(xiāng)木雕澧水船工號(hào)子志愿者人數(shù)3060504020若從這200名志愿者中按照比例分配的分層隨機(jī)抽