河北省武邑中學(xué)2018屆高三下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個(gè)小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】分析:先化簡(jiǎn)集合A，再求.詳解：由題得={x|2＜x＜3，x∈N}={1,0,1,2},所以.點(diǎn)睛：本題主要考查集合的化簡(jiǎn)和集合的交集運(yùn)算.在解不等式時(shí)，最好把它變成再解答，同時(shí)要注意N表示的是自然數(shù)，包括零.2.已知實(shí)數(shù)滿足，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】分析：先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)已知，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求m,n，最后求出m+n的值.詳解：由題得4m+2n+(4n2m)i=5+3i,∴4m+2n=5,且4n2m=3，解之得所以m+n=.故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等的概念，屬于基礎(chǔ)題.在計(jì)算時(shí)，要細(xì)心，不要計(jì)算出錯(cuò).3.給出下列命題：①已知，“且”是“”的充分條件；②已知平面向量，“”是“”的必要不充分條件；③已知，“”是“”的充分不必要條件；④命題：“，使且”的否定為：“，都有且”.其中正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】分析：利用充分條件必要條件充要條件的定義逐一判斷每個(gè)選項(xiàng)，即得正確選項(xiàng).詳解：①由a＞1且b＞1?ab＞1，反之不成立，例如取a=﹣2，b=﹣3，因此“a＞1且b＞1”是“ab＞1”的充分條件，所以該命題正確；②平面向量，||＞1，||＞1，取=（2，1），=（﹣2，0），則|+|=1，因此|+|＞1不成立．反之取==，則||＞1，||＞1不成立，∴平面向量，||＞1，||＞1是“|+|＞1”的既不必要也不充分條件；③如圖在單位圓x2+y2=1上或圓外任取一點(diǎn)P（a，b），滿足“a2+b2≥1”，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，一定有“|a|+|b|≥1”，在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)M（a，b），滿足“|a|+|b|≥1”，但不滿足，“a2+b2≥1”，故a2+b2≥1是“|a|+|b|≥1”的充分不必要條件，因此正確；④命題P：“?x0∈R，使且lnx0≤x0﹣1”的否定為?p：“?x∈R，都有ex＜x+1或lnx＞x﹣1”，因此不正確．其中正確命題的個(gè)數(shù)是2．故選C．點(diǎn)睛：本題考查了不等式的選擇與解法、平行向量有關(guān)性質(zhì)、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．在判斷命題的真假時(shí)，要注意靈活，要說明它是假命題，可以證明，也可以舉反例.4.若定義在上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）A.6個(gè)B.4個(gè)C.3個(gè)D.2個(gè)【答案】B【解析】分析：在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象，這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即為所求．詳解：∵偶函數(shù)f（x）滿足f（x+2）=f（x），故函數(shù)的周期為2．當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）=x，故當(dāng)x∈[﹣1，0]時(shí)，f（x）=﹣x．因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）﹣log3|x|的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象，如圖所示：顯然函數(shù)y=f（x）的圖象與函數(shù)y=log3|x|的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，故選B．點(diǎn)睛：本題考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，以及函數(shù)與方程的思想，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)和方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)一般有三種方法：（1）方程法；（2）圖像法；（3）方程+圖像法.本題利用的就是方法（3）.5.設(shè)函數(shù)，其中常數(shù)滿足.若函數(shù)（其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）是偶函數(shù)，則等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】由題意得，∵函數(shù)為偶函數(shù)，∴．又，∴．選A．6.執(zhí)行如圖的程序框圖，如果輸入的分別為，輸出的，那么判斷框中應(yīng)填入的條件為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】分析：直接按照程序運(yùn)行即可找到答案.詳解：依次執(zhí)行程序框圖中的程序，可得：①，滿足條件，繼續(xù)運(yùn)行；②，滿足條件，繼續(xù)運(yùn)行；③，不滿足條件，停止運(yùn)行，輸出．故判斷框內(nèi)應(yīng)填n＜4，即n＜k+1．故選C．點(diǎn)睛：本題主要考查程序框圖和判斷框條件，屬于基礎(chǔ)題,直接按照程序運(yùn)行，一般都可以找到答案.7.總體由編號(hào)為01，02，…，19，20的20個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出來的第5個(gè)個(gè)體編號(hào)為A.08B.07C.02D.01【答案】D【解析】試題分析：從隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字中小于20的編號(hào)依次為08，02，14，07，02，01，．其中第二個(gè)和第四個(gè)都是02，重復(fù)．可知對(duì)應(yīng)的數(shù)值為08，02，14，07，01，則第5個(gè)個(gè)體的編號(hào)為01考點(diǎn)：隨機(jī)抽樣8.已知，點(diǎn)是直線與圓的公共點(diǎn)，則的最大值為（）A.15B.9C.1D.【答案】B【解析】由于直線和圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離不大于半徑，即，解得，將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線和圓的方程，有，第一個(gè)式子兩邊平方后，代入第二個(gè)式子，化簡(jiǎn)得，二次函數(shù)對(duì)稱軸為，且開口向上，根據(jù)可知當(dāng)時(shí)，有最大值為,點(diǎn)睛：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查二次函數(shù)求最值的方法，其中二次函數(shù)的定義域是有范圍的.由于直線和圓有交點(diǎn)，故圓心到直線的距離不大于半徑，由此可求得的取值范圍.再將點(diǎn)坐標(biāo)代入兩個(gè)曲線的方程，化簡(jiǎn)出關(guān)于的表達(dá)式，最后利用二次函數(shù)求最值的方法求得最大值.9.若不等式組所表示的平面區(qū)域存在點(diǎn)，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：若a=0，則不等式x+ay+2?0等價(jià)為x??2，此時(shí)不滿足條件，若a>0,則不等式等價(jià)為,直線的斜率,此時(shí)區(qū)域都在直線的上方，不滿足條件。若a<0,則不等式等價(jià)為,直線的斜率，若平面區(qū)域存在點(diǎn)(x0,y0),使x0+ay0+2?0成立，則只要滿足點(diǎn)A(0,2)滿足條件不等式此時(shí)區(qū)域都在直線的上方即可。即0+2a+2?0，解得a??1，本題選擇A選項(xiàng).點(diǎn)睛：簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃有很強(qiáng)的實(shí)用性，線性規(guī)劃問題常有以下幾種類型：（1）平面區(qū)域的確定問題；（2）區(qū)域面積問題；（3）最值問題；（4）逆向求參數(shù)問題．而逆向求參數(shù)問題，是線性規(guī)劃中的難點(diǎn)，其主要是依據(jù)目標(biāo)函數(shù)的最值或可行域的情況決定參數(shù)取值．若目標(biāo)函數(shù)中含有參數(shù)，則一般會(huì)知道最值，此時(shí)要結(jié)合可行域，確定目標(biāo)函數(shù)取得最值時(shí)所經(jīng)過的可行域內(nèi)的點(diǎn)（即最優(yōu)解），將點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)求得參數(shù)的值．10.北京某大學(xué)為第十八屆四中全會(huì)招募了30名志愿者（編號(hào)分別是1，2，…，30號(hào)），現(xiàn)從中任意選取6人按編號(hào)大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個(gè)編號(hào)較小的人在一組，三個(gè)編號(hào)較大的在另一組，那么確保6號(hào)、15號(hào)與24號(hào)同時(shí)入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（）A.25B.32C.60D.100【答案】C【解析】試題分析：號(hào)、號(hào)與號(hào)放在一組，則其余三個(gè)編號(hào)要么都比6小，要么都比24大，比6小時(shí)，有種選法，都比24大時(shí)，有種選法，合計(jì)30種選法，號(hào)、號(hào)與在選廳時(shí)有兩種選法，所以選取的種數(shù)共有種，故正確選項(xiàng)為C.考點(diǎn)：組合與排列的概念.11.已知在中，兩直角邊，，是內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，則（）A.B.C.3D.【答案】A【解析】分析：建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出B、C點(diǎn)坐標(biāo)，由于∠DAB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），由平面向量坐標(biāo)表示，可求出λ和μ．詳解：如圖以A為原點(diǎn)，以AB所在的直線為x軸，以AC所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），因?yàn)椤螪AB=60°，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，），=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ）?λ=m，μ=，則．故選A．點(diǎn)睛：本題主要考察平面向量的坐標(biāo)表示，根據(jù)條件建立平面直角坐標(biāo)系，分別寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，屬于中檔題．12.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋魧?duì)于分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，則稱為“三角形函數(shù)”.給出下列四個(gè)函數(shù)：①；②；③；④.其中為“三角形函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】分析：利用“三角形函數(shù)”的定義，分別判斷所給的四個(gè)函數(shù)，能求出結(jié)果找到答案．詳解：對(duì)于①，f（x）=lnx（e2≤x≤e3），對(duì)于?a，b，c∈[e2，e3]，f（a），f（b），f（c）∈[2，3]，∴f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故①是“三角形函數(shù)”；在②中，f（x）=4﹣cosx，對(duì)于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈[3，5]，∴f（a），f（b），f（c）分別為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故②是“三角形函數(shù)”；在③中，，對(duì)于?a，b，c∈（1，4），f（a），f（b），f（c）∈（1，2），∴f（a），f（b），f（c）為某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，故③是“三角形函數(shù)”；在④中，，是一個(gè)定義域內(nèi)的增函數(shù)，對(duì)于?a，b，c∈D，f（a），f（b），f（c）∈（0，1），∴f（a），f（b），f（c）不一定是某個(gè)三角形的邊長(zhǎng)，如：f(a)=0.1,f(b)=0.1f(c)=0.8最短兩邊之和小于第三邊，故④不是“三角形函數(shù)”．故選C．點(diǎn)睛：本題考查“三角形函數(shù)”的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．對(duì)于這種定義題，一定要首先全面理解新定義，再利用新定義分析解答數(shù)學(xué)問題.二、填空題（每題4分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.若滿足約束條件，則的最小值是______.【答案】【解析】根據(jù)約束條件，做出可行域，如下圖：從圖中可以看出直線在可行域內(nèi)移動(dòng)，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)，取最大值，為故答案為14.若的展開式中的系數(shù)是80，則實(shí)數(shù)的值是_______.【答案】2【解析】解：（ax1）5的展開式中x3的系數(shù)C53（ax）3?（1）2=10a3x3=80x3，則實(shí)數(shù)a的值是2，15.已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為一正方形，則該幾何體的表面積為_______.【答案】【解析】由三四圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐．∵正方體的棱長(zhǎng)為2，∴,∴，∴該幾何體的表面積為．答案：16.若函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，，其中使得的最大值為0，則稱函數(shù)是“柯西函數(shù)”.給出下列函數(shù)：①；②；③；④.其中是“柯西函數(shù)”的為_____.【答案】①④【解析】設(shè)，由向量的數(shù)量積的可得，當(dāng)且僅當(dāng)向量共線（三點(diǎn)共線）時(shí)等號(hào)成立．故的最大值為0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)成立．所以函數(shù)是“柯西函數(shù)”等價(jià)于函數(shù)的圖象上存在不同的兩點(diǎn)，使得三點(diǎn)共線．對(duì)于①，函數(shù)圖象上不存在滿足題意的點(diǎn)；對(duì)于②，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點(diǎn)；對(duì)于③，函數(shù)圖象上存在滿足題意的點(diǎn)；對(duì)于④，函數(shù)圖象不存在滿足題意的點(diǎn)．圖①圖②圖③圖④故函數(shù)①④是“柯西函數(shù)”．答案：①④點(diǎn)睛：（1）本題屬于新定義問題，讀懂題意是解題的關(guān)鍵，因此在解題時(shí)得到“柯西函數(shù)”即為圖象上存在兩點(diǎn)A,B，使得O,A,B三點(diǎn)共線是至關(guān)重要的，也是解題的突破口．（2）數(shù)形結(jié)合是解答本題的工具，借助于圖形可使得解答過程變得直觀形象．三、解答題（本大題共6題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，記數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.【答案】（1）（2）見解析【解析】分析：（1）利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)公式.（2）先求出，再裂項(xiàng)求和，再證明不等式.詳解：(1)當(dāng)時(shí)，有，解得，當(dāng)時(shí)，有，則整理得∴數(shù)列是以為公比，以為首項(xiàng)的等比數(shù)列∴.（2）由（1）有，則∴易知數(shù)列為遞增數(shù)列，∴，即.點(diǎn)睛：本題主要考查利用項(xiàng)和公式求數(shù)列的通項(xiàng)，考查裂項(xiàng)相消求和.項(xiàng)和公式是數(shù)列里非常重要的公式，主要用來求數(shù)列的通項(xiàng).對(duì)于分式型的數(shù)列通項(xiàng)，一般利用裂項(xiàng)相消求和.18.高二某班共有20名男生，在一次體檢中這20名男生被平均分成兩個(gè)小組，第一組和第二組男生的身高（單位：cm）的莖葉圖如下：（1）根據(jù)莖葉圖，分別寫出兩組學(xué)生身高的中位數(shù)；（2）從該班身高超過180cm的7名男生中隨機(jī)選出2名男生參加籃球隊(duì)集訓(xùn)，求這2名男生至少有1人來自第二組的概率；（3）在兩組身高位于（單位：cm）的男生中各隨機(jī)選出2人，設(shè)這4人中身高位于（單位：cm）的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）174，174.5（2）（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)寫出各自中位數(shù)即可；（2）利用組合數(shù)公式和對(duì)立事件的概率公式進(jìn)行求解；（3）寫出隨機(jī)變量的所有可能取值，求出每個(gè)變量的概率，列表得到其分布列，進(jìn)而利用期望公式進(jìn)行求解.試題解析：（1）第一組學(xué)生身高的中位數(shù)為，第二組學(xué)生身高的中位數(shù)為；（2）記“這2名男生至少有1人來自第二組”為事件，，∴這2名男生至少有1人來自第二組的概率為；（3）的可能取值為0，1，2，3，，，，∴的分布列為0123．19.菱形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)，將沿折到位置，.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】試題分析：(1)證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即利用線線垂直進(jìn)行論證，而線線垂直的尋找與論證往往需要利用平幾條件，如本題需利用勾股定理經(jīng)計(jì)算得出線垂直（2）一般可利用空間向量的數(shù)量積求二面角的大小，首先根據(jù)題意建立恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面的法向量，再根據(jù)向量數(shù)量積求出兩個(gè)法向量的夾角的余弦值，最后根據(jù)二面角與法向量夾角關(guān)系確定二面角的余弦值.試題解析：(1)由已知得，,又由得，故∥，因此，從而⊥.由得.由∥得.所以,.于是,故.又,而,所以平面.如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取.設(shè)是平面的法向量，則，即，可取于是，設(shè)二面角的大小為，.因此二面角的正弦值是.點(diǎn)睛：利用法向量求解空間線面角的關(guān)鍵在于“四破”：第一，破“建系關(guān)”，構(gòu)建恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；第二，破“求坐標(biāo)關(guān)”，準(zhǔn)確求解相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；第三，破“求法向量關(guān)”，求出平面的法向量；第四，破“應(yīng)用公式關(guān)”.20.設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于，拋物線的焦點(diǎn)，以為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)為；自引直線交拋物線于兩個(gè)不同的點(diǎn)，設(shè).（1）求拋物線的方程橢圓的方程；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】分析：（1）根據(jù)已知分別列方程組求標(biāo)準(zhǔn)方程中的待定系數(shù)即可.(2)先利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算出，再求函數(shù)的值域，即得的取值范圍.詳解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由題意得，解得∴橢圓的方程為∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，∴拋物線的方程是(2)由題意得直線的斜率存在，設(shè)其方程為，由消去整理得（*）∵直線與拋物線交于兩點(diǎn)，∴，設(shè)，則①，②，∵，∴∴，③由①②③消去得.∴，即，將代入上式得，，∵在上單調(diào)遞減，∴，即，∴，∴，即的取值范圍為.點(diǎn)睛：本題的難點(diǎn)一是計(jì)算，其中的計(jì)算量比較大，字母參數(shù)比較多.難點(diǎn)二是求出后，利用什么方法求函數(shù)的值域，這里可以換元，設(shè)，再利用二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析函數(shù)的值域也可以.21.已知函數(shù).（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，設(shè)為函數(shù)圖象上不同的兩點(diǎn)，且滿足，設(shè)線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，證明：.【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】分析：（1）先求導(dǎo)，再對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）利用分析法證明.詳解：(1),①時(shí)，定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；②時(shí)，定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增