考點一：判斷函數(shù)的奇偶性1．函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果?x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關(guān)于原點對稱2.判斷函數(shù)的奇偶性的必要條件(1)定義域關(guān)于原點對稱，否則即為非奇非偶函數(shù)．(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關(guān)系，在判斷奇偶性的運算中，可以轉(zhuǎn)化為判斷奇偶性的等價等量關(guān)系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立．◆典例分析◆例1(多選)下列命題中正確的是()A．奇函數(shù)的圖象一定過坐標(biāo)原點B．函數(shù)y＝xsinx是偶函數(shù)C．函數(shù)y＝|x＋1|－|x－1|是奇函數(shù)D．函數(shù)y＝eq\f(x2－x,x－1)是奇函數(shù)例2已知函數(shù)f(x)對任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，則函數(shù)f(x)＋2為________函數(shù)．(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)例3判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝eq\r(x2－1)＋eq\r(1－x2)；(3)f(x)＝eq\f(x,x－1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,－x＋1，x<0.))◆對點練習(xí)運用◆1.已知函數(shù)f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，則下列結(jié)論正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)2.下列函數(shù)中不具有奇偶性的是()A．f(x)＝x＋sinxB．f(x)＝(x－1)eq\r(\f(x＋1,x－1))C．f(x)＝ln(eq\r(x2＋1)－x)D．f(x)＝2x＋eq\f(1,2x)3.下列函數(shù)中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又單調(diào)遞增的是()A．f(x)＝x－sinxB．f(x)＝x2cosxC．f(x)＝x＋x3D．f(x)＝ln(2－x)－ln(x＋2)4.(多選)下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增的是()A．y＝2x3＋4x B．y＝x＋sin(－x)C．y＝log2|x| D．y＝2x－2－x5.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，則“f(x)是偶函數(shù)”是“|f(x)|是偶函數(shù)”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件6.判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1).考點二利用奇偶性求參數(shù)值或范圍1.利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值，求解的關(guān)鍵在于借助奇偶性轉(zhuǎn)化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式，利用方程思想求參數(shù)的值．2.利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象，結(jié)合幾何直觀求解相關(guān)問題．◆典例分析◆例1若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,2)))為偶函數(shù)，則a＝________.例2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x3＋1，x>0，,ax3＋b，x<0))為偶函數(shù)，則2a＋b等于()A．3B.eq\f(3,2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(3,2)◆對點練習(xí)運用◆1.已知函數(shù)f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函數(shù)，則a＝________.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x，x>0，,0，x＝0，,x2＋mx，x<0))是奇函數(shù)．(1)求實數(shù)m的值；(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍．3.若f(x)＝lneq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,1－x)))＋b是奇函數(shù)，則a＝______，b＝______.4.若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________.5.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋x，x≤0，,ax2＋bx，x>0))為奇函數(shù)，則a＋b＝________.6.(多選)已知函數(shù)f(x)是定義在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，0)時，f(x)＝x－1，若f(a)·f(－a)＝4，則實數(shù)a的值可以為()A.－3 B.－1C.1 D.3考點三利用奇偶性求解析式或求值1.利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè).(2)要利用已知區(qū)間的解析式進行代入.(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x).注意：若函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f(0)＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f(0)＝0.◆典例分析◆例1已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f(x)＝2x＋x－1，則當(dāng)x<0時，f(x)等于()A．2－x－x－1 B．2－x＋x＋1C．－2－x－x－1 D．－2－x＋x＋1例2已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時，f(x)＝ex＋x＋m，則f(－1)等于()A．eB．－eC．e＋1D．－e－1例3(1)函數(shù)f(x)為R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x<0時，f(x)＝x(x－1)，則當(dāng)x>0時，f(x)＝________.(2)f(x)為R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，則f(x)＝________.◆對點練習(xí)運用◆1.已知函數(shù)f(x)＝sinx＋x3＋eq\f(1,x)＋3，若f(a)＝1，則f(－a)等于()A．1B．3C．4D．52.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(x3＋x＋12,x2＋1)在區(qū)間[－3,3]上的最大值為M，最小值為N，則M＋N的值為________．3.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時，f(x)＝－x2－x，求函數(shù)f(x)的解析式.4.已知f(x)是R上的偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f(x)＝x2＋x－1，當(dāng)x∈(－∞，0)時，求f(x)的解析式.考點四利用奇偶性比大小、解不等式1.比較大小的方法(1)自變量在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；(2)自變量不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.2.利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式，把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反，脫去“f”，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系，列出不等式(組)，同時不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.◆典例分析◆例1(1)若對于任意實數(shù)x總有f(－x)＝f(x)，且f(x)在區(qū)間(－∞，－1]上是增函數(shù)，則()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)<f(2) B.f(2)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(－1)C.f(2)<f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2))) D.f(－1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))<f(2)(2)設(shè)偶函數(shù)f(x)的定義域為R，當(dāng)x∈[0，＋∞)時，f(x)是增函數(shù)，則f(－2)，f(π)，f(－3)的大小關(guān)系是________.例2(多選)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，當(dāng)x>0時，f(x)>0，且滿足f(2)＝1，則下列說法正確的是()A．f(x)為奇函數(shù)B．f(－2)＝－1C．不等式f(2x)－f(x－3)>－2的解集為(－5，＋∞)D．f(－2024)＋f(－2023)＋…＋f(0)＋…＋f(2023)＋f(2024)＝2023例3(1)函數(shù)f(x)在(－∞，＋∞)上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù).若f(1)＝－1，則滿足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范圍是()A.[－2，2] B.[－1，1]C.[0，4] D.[1，3](2)已知偶函數(shù)f(x)和奇函數(shù)g(x)的定義域都是(－4，4)，且在(－4，0]上的圖象如圖所示，則關(guān)于x的不等式f(x)·g(x)<0的解集是________.◆對點練習(xí)運用◆1.已知函數(shù)f(x)＝x2＋log2|x|，a＝f(2－0.2)，b＝f(lgπ)，c＝f(log0.26)，則a，b，c的大小關(guān)系正確的是()A．a(chǎn)<b<c B．b<c<aC．b<a<c D．c<b<a2.若函數(shù)f(x)＝ex－e－x，則不等式f(lnx)＋f(lnx－1)>0的解集是________．3.已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足：對任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜0，且f(2)＝0，則不等式xf(x)＜0的解集為()A.(－∞，－2)∪(0，2) B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)C.(－2，0)∪(2，＋∞) D.(－2，0)∪(0，2)4.已知定義在R上的函數(shù)y＝f(x)滿足：①對于任意的x∈R，都有f(x＋1)＝eq\f(1,fx)；②函數(shù)y＝f(x)是偶函數(shù)；③當(dāng)x∈(0,1]時，f(x)＝x＋ex，則f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(21,4)))，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(22,3)))從小到大的排列是________．5.已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x