選擇性必修第三冊第七章隨機(jī)變量及其分布第二講離散型隨機(jī)變量及其分布列問題情境：1.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有哪些？可以用一個(gè)變量表示嗎？若用一個(gè)變量表示擲出的點(diǎn)數(shù)，可以取哪些值？2.擲硬幣實(shí)驗(yàn)中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以一一列舉出來嗎？X取每個(gè)值的概率分別是多少？猜想：對于任何一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，總可以把它的每一個(gè)樣本點(diǎn)與一個(gè)實(shí)數(shù)對應(yīng)，即通過引入一個(gè)取值依賴于樣本點(diǎn)的變量X，來刻畫樣本點(diǎn)和實(shí)數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，實(shí)現(xiàn)樣本點(diǎn)的數(shù)量化.二、知識構(gòu)建知識點(diǎn)一隨機(jī)變量與離散型隨機(jī)變量1.隨機(jī)變量

（1）定義：一般地，對于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間中的每個(gè)樣本點(diǎn)，都有唯一的實(shí)數(shù)與之對應(yīng)，我們稱為隨機(jī)變量（randomvariable）．（2）表示：通常用大寫英文字母表示隨機(jī)變量，例如；用小寫英文字母表示隨機(jī)變量的取值，例如．2.離散型隨機(jī)變量

可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量.知識點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量的分布列1.離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，我們稱X取每一個(gè)值xi的概率為X的概率分布列，簡稱為分布列．2.可以用表格來表示X的分布列，如下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn還可以用圖形表示，如下圖直觀地表示了擲骰子試驗(yàn)中擲出的點(diǎn)數(shù)X的分布列，稱為X的概率分布圖．3.離散型隨機(jī)變量分布列具有的兩個(gè)性質(zhì)

①pi≥0，i=1，2，…，n；

②p1+p2+…+pn=1.4．離散型隨機(jī)變量的分布列的求解步驟(1)明取值：列出離散型隨機(jī)變量X的所有取值xi(i=1,2,…)；(2)求概率：要弄清楚隨機(jī)變量的概率類型，利用相關(guān)公式求出離散型隨機(jī)變量每個(gè)取值所對應(yīng)的概率值P(X=xi)=pi；(3)畫表格：列成表格形式，按規(guī)范要求形式寫出分布列；(4)做檢驗(yàn)：利用分布列的性質(zhì)檢驗(yàn)分布列是否正確（概率和為1）.知識點(diǎn)三兩點(diǎn)分布對于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用表示“成功”，表示“失敗”，定義如果，則，那么的分布列如表所示01我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0－1分布．三、類型歸納類型一：隨機(jī)變量的概念類型二：離散型隨機(jī)變量的判斷類型三：用隨機(jī)變量表示事件的結(jié)果類型四：求離散型隨機(jī)變量的分布列類型五：分布列的性質(zhì)及其應(yīng)用類型六：兩點(diǎn)分布類型應(yīng)用【例1】（2425高二·全國·課堂例題）袋中有3個(gè)白球，5個(gè)黑球，從中任取2個(gè)球，下列選項(xiàng)中可以用隨機(jī)變量表示的是（

）A．至少取到1個(gè)白球 B．至多取到1個(gè)白球C．取到白球的個(gè)數(shù) D．取到球的個(gè)數(shù)【答案】C【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的定義及隨機(jī)變量定義判斷即可.【詳解】選項(xiàng)A，B是隨機(jī)事件．選項(xiàng)D取到球的個(gè)數(shù)是定值2．選項(xiàng)C可能的取值為0，1，2，可以用隨機(jī)變量表示，故選：C．【跟蹤訓(xùn)練11】（2122高二上·全國·課后作業(yè)）拋擲質(zhì)地均勻的硬幣一次，下列能稱為隨機(jī)變量的是（

）A．出現(xiàn)正面向上的次數(shù)B．?dāng)S硬幣的次數(shù)C．出現(xiàn)正面向上的概率D．出現(xiàn)反面向上的概率【答案】A【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的定義進(jìn)行判斷.【詳解】A選項(xiàng)，正面向上的次數(shù)是隨機(jī)變量X，其取值是0，1，故A正確；B選項(xiàng)，擲硬幣的次數(shù)固定，為2次，不是隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；CD選項(xiàng)，出現(xiàn)正面向上和反面向上的概率均為，不是變量，CD錯(cuò)誤.故選：A【跟蹤訓(xùn)練12】（2122高二上·全國·課后作業(yè)）下列不是隨機(jī)變量的是（

）A．從編號為1～10號的小球中隨意取一個(gè)小球的編號B．從早晨7：00到中午12：00某人上班的時(shí)間C．A、B兩地相距akm，以vkm/h的速度從A到達(dá)B的時(shí)間D．某十字路口一天中經(jīng)過的轎車輛數(shù)【答案】C【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】利用隨機(jī)變量的定義直接判斷.【詳解】選項(xiàng)C中“時(shí)間”為確定的值，故不是隨機(jī)變量，其他選項(xiàng)中都是隨機(jī)變量.故選：C【跟蹤訓(xùn)練13】（2223高二上·全國·課后作業(yè)）給出下列四個(gè)命題：①15秒內(nèi)，通過某十字路口的汽車的數(shù)量是隨機(jī)變量；②在一段時(shí)間內(nèi)，某候車室內(nèi)候車的旅客人數(shù)是隨機(jī)變量；③一條河流每年的最大流量是隨機(jī)變量；④拋一枚硬幣三次，正面向上出現(xiàn)的次數(shù)是隨機(jī)變量.其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】利用隨機(jī)變量的定義直接判斷即可.【詳解】如果隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，可以用一個(gè)變量來表示，那么這個(gè)變量叫隨機(jī)變量。顯然，四個(gè)命題中的隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果都可以用一個(gè)變量來表示，即都是隨機(jī)變量，故四個(gè)命題都是真命題，即真命題的個(gè)數(shù)為.故選：D.【例2】（2425高二·全國·課堂例題）下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)是（

）①某足球隊(duì)在5次點(diǎn)球中進(jìn)球的次數(shù)；②投籃一次的結(jié)果；③某同學(xué)在至到校的時(shí)間；④從含有50件合格品、10件次品的產(chǎn)品中任取3件，其中合格品的件數(shù)．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)分【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的概念逐個(gè)判斷即可.【詳解】①中進(jìn)球的次數(shù)可能為0，1，2，3，4，5，可以一一列舉出來；②中投籃一次有兩種情況，若用1表示投中，0表示不中，則也可以一一列舉出來；④中所取3件產(chǎn)品的合格品數(shù)可能為0，1，2，3，共4種情況，可以一一列舉出來③中學(xué)生到校時(shí)間可以是12：00到12：30中的任意時(shí)刻，不能一一列舉出來，因此③不是離散型隨機(jī)變量，故只有①②④滿足．故選：C【跟蹤訓(xùn)練21】（2425高二·全國·課堂例題）下面給出三個(gè)隨機(jī)變量：①某地110報(bào)警臺1分鐘內(nèi)接到的求救的次數(shù)；②某森林樹木的高度在（單位：）這一范圍內(nèi)變化，測得某一樹木的高度；③某人射擊2次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)之和．其中離散型隨機(jī)變量有（

）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)分【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的定義可知①③中的隨機(jī)變量都是可以一一列舉出來的，故均勻離散型隨機(jī)變量，而②中的隨機(jī)變量可以取內(nèi)的任意值，無法一一列舉，故它不是離散型隨機(jī)變量．故選：C.【跟蹤訓(xùn)練22】（2324高二下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）下列敘述中，是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．某電子元件的壽命B．某人早晨在車站等出租車的時(shí)間C．高速公路上某收費(fèi)站在一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)D．測量某零件的長度產(chǎn)生的測量誤差【答案】C【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)分【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義進(jìn)行判斷，得到答案.【詳解】A選項(xiàng)，某電子元件的壽命可為任意值，不能一一列舉出來，不是離散型隨機(jī)變量，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，等出租車的時(shí)間是隨機(jī)變量，但無法一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，一小時(shí)內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，是離散型隨機(jī)變量，C正確；D選項(xiàng)，測量誤差不能一一列出，不是離散型隨機(jī)變量，D錯(cuò)誤．故選：C．【跟蹤訓(xùn)練23】（2223高二下·河南周口·期中）下面給出四個(gè)隨機(jī)變量：①一高速公路上某收費(fèi)站在十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)；②一個(gè)沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置；③某派出所一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)；④某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離．其中是離散型隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義判斷即可.【詳解】對于①，十分鐘內(nèi)經(jīng)過的車輛數(shù)可以一一列舉出來，①是離散型隨機(jī)變量；對于②，沿軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置不能一一列舉出來，②不是離散型隨機(jī)變量；對于③，一天內(nèi)接到的報(bào)警次數(shù)可以一一列舉出來，③是離散型隨機(jī)變量；對于④，某同學(xué)上學(xué)路上離開家的距離可為某一區(qū)間內(nèi)的任意值，不能一一列舉出來，④不是離散型隨機(jī)變量，所以給定的隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的有①③．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練24】（2324高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）下列隨機(jī)變量不是離散型隨機(jī)變量的是（

）A．連續(xù)不斷地射擊，首次擊中目標(biāo)所需要的射擊次數(shù)XB．南京長江大橋一天經(jīng)過的車輛數(shù)XC．某種水管的外徑與內(nèi)徑之差XD．連續(xù)拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和X【答案】C【知識點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)分【分析】根據(jù)離散型隨機(jī)變量的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】選項(xiàng)B、D中X的取值有限，且可以一一列舉出來，故B、D中的X均為離散型隨機(jī)變量．選項(xiàng)A中X的取值依次為1，2，3，…，雖然無限，但可一一列舉出來，故A中X為離散型隨機(jī)變量．而選項(xiàng)C中X的取值不能一一列舉出來，則C中的X不是離散型隨機(jī)變量．故選：C.【例3】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）袋中有大小相同的5個(gè)鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號碼.在有放回地抽取條件下依次取出2個(gè)球，設(shè)兩個(gè)球號碼之和為隨機(jī)變量，則的所有可能取值是（

）A．1，2，…，5 B．1，2，…，10C．2，3，…，10 D．1，2，…，6【答案】C【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的號碼，相加即可得的所有可能取值.【詳解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一個(gè)，由于是有放回抽取，第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一個(gè)，兩次的號碼和可能為2，3，4，5，6，7，8，9，10.故選：C【跟蹤訓(xùn)練31】（2122高二下·浙江紹興·期中）先后拋擲一個(gè)骰子兩次，記隨機(jī)變量ξ為兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，則ξ的取值集合是（

）A．｛1，2，3，4，5，6｝ B．{2，3，4，5，6，7}C．{2，4，6，8，10，12} D．{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}【答案】D【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)隨機(jī)變量ξ的確定其可能取值即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量ξ表示兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和，所以ξ的取值可能為：2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，故ξ的取值集合是{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}，故選：D.【跟蹤訓(xùn)練32】（2324高二下·江蘇常州·期中）在籃球比賽中，規(guī)定一次中距離投籃投中得2分，投不中得0分，則選手甲在三次中距離投籃中的總得分的所有可能取值的和是（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】找到總得分的所有可能取值，即可得解.【詳解】選手甲在三次中距離投籃中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中兩次，得4分，中三次，得6分，故總得分的所有可能取值為，所以總得分的所有可能取值的和為.故選：C【跟蹤訓(xùn)練33】（2021高二上·遼寧沈陽·期末）拋擲2枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．2枚都是4點(diǎn)B．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)C．2枚都是2點(diǎn)D．1枚是1點(diǎn)，另1枚是3點(diǎn)，或者2枚都是2點(diǎn)【答案】D【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】由隨機(jī)變量的意義可解.【詳解】A表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的其中一個(gè)結(jié)果，B，C中表示的是隨機(jī)試驗(yàn)中的部分結(jié)果，而D是代表隨機(jī)試驗(yàn)中的所有試驗(yàn)結(jié)果.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練34】（2122高二·全國·課后作業(yè)）同時(shí)拋擲兩枚均勻的骰子，設(shè)表示擲出的點(diǎn)數(shù)之和，則表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是（

）A．一枚擲出點(diǎn)，一枚擲出點(diǎn)B．兩枚都擲出點(diǎn)C．兩枚都擲出點(diǎn)D．一枚擲出點(diǎn)，一枚擲出點(diǎn)或兩枚都擲出點(diǎn)【答案】D【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)“表示擲出的點(diǎn)數(shù)之和”結(jié)合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，故表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果是：一枚擲出點(diǎn)，一枚擲出點(diǎn)或兩枚都擲出點(diǎn).故選：D.【跟蹤訓(xùn)練35】（2022高三·全國·專題練習(xí)）袋中有大小相同的5只鋼球，分別標(biāo)有1，2，3，4，5五個(gè)號碼，任意抽取2個(gè)球，設(shè)2個(gè)球號碼之和為X，則X的所有可能取值個(gè)數(shù)為（

）A．25 B．10C．7 D．6【答案】C【知識點(diǎn)】判斷隨機(jī)試驗(yàn)中的隨機(jī)變量【分析】根據(jù)題意列舉出X的所有可能取值.【詳解】X的可能取值為1＋2＝3，1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8，4＋5＝9.故選：C【例4】（2425高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）在拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子的隨機(jī)試驗(yàn)中，表示向上的點(diǎn)數(shù)，的取值有哪些？取每個(gè)值的概率分別是多少？【答案】答案見解析【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【詳解】的取值有1,2,3,4,5,6取每個(gè)值的概率列成表的形式如下123456【跟蹤訓(xùn)練4】某學(xué)校高二年級有200名學(xué)生，他們的體育綜合測試成績分5個(gè)等級，每個(gè)等級對應(yīng)的分?jǐn)?shù)和人數(shù)如表6所示.表6從這200名學(xué)生中任意選取1人，求所選同學(xué)分?jǐn)?shù)X的分布列，以及.【答案】X的分布列為：X12345P【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、利用概率的加法公式計(jì)算古典概型的概率【分析】X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其可能取值為1，2，3，4，5，根據(jù)題意得到概率，得到分布列.【詳解】X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其可能取值為1，2，3，4，5，“不及格”，“及格”，“中等”，“良”，“優(yōu)”.根據(jù)古典概型的知識，可得X的分布列，如表所示．解：X的分布列為總結(jié)：求離散型隨機(jī)變量的分布列首先要確定隨機(jī)變量的取值集合，再求出隨機(jī)變量取每個(gè)值時(shí)的概率.【例5】一批筆記本電腦共有10臺，其中A品牌3臺，B品牌7臺.如果從中隨機(jī)挑選2臺，求這2臺電腦中A品牌臺數(shù)的分布列.答案】見解析【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【分析】由條件確定隨機(jī)變量X的可能取值，再求取各值的概率，由此可得其分布列.【詳解】解：設(shè)挑選的2臺電腦中A品牌的臺數(shù)為X，則X的可能取值為0,1,2.X的分布列為用表格表示分布列，如表所示.【跟蹤訓(xùn)練51】（2122高二·全國·課后作業(yè)）在一個(gè)箱子里裝有編號為1，2，3，4，5的完全一樣的5個(gè)球，現(xiàn)從中同時(shí)取出2個(gè)球，設(shè)X表示取出球的最大編號，求X的分布列．【答案】答案見解析【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【分析】根據(jù)題意，求出的可能取值以及對應(yīng)的概率值，列出的分布列即可．【詳解】解：根據(jù)題意，的可能取值為2，3，4，5，則，，，；的分布列為：2345【跟蹤訓(xùn)練52】（2425高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）某班有學(xué)生45人，其中O型血的有10人，A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血的有15人.現(xiàn)從中抽取1人，其血型為隨機(jī)變量，求的分布列.【答案】分布列見解析【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【分析】根據(jù)古典概型的概率公式求解概率，即可列出分布列.【詳解】解

將四種血型分別編號為1，2，3，4，則的可能取值為1，2，3，4．，，，.故的分布列為1234【跟蹤訓(xùn)練53】北京冬奧會某個(gè)項(xiàng)目招募志愿者需進(jìn)行有關(guān)專業(yè)、禮儀及服務(wù)等方面知識的測試，測試合格者錄用為志愿者.現(xiàn)有備選題10道，規(guī)定每次測試都從備選題中隨機(jī)抽出3道題進(jìn)行測試，至少答對2道題者視為合格，若甲能答對其中的5道題，求：(1)甲測試合格的概率；(2)甲答對的試題數(shù)X的分布列.【解析】（1）設(shè)甲測試合格為事件A，則.（2）甲答對的試題數(shù)X可以為0，1，2，3，，，，，所以X的分布列為X0123P【例6】（2122高二·湖南·課后作業(yè)）將個(gè)質(zhì)地、大小一樣的球裝入袋中，球上依次編號.現(xiàn)從中任取個(gè)球，以表示取出球的最大號碼.(1)求的分布列；(2)求的概率.【答案】(1)分布列見解析(2)【知識點(diǎn)】由隨機(jī)變量的分布列求概率、寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【分析】（1）由已知判斷隨機(jī)變量的所有取值，并分別判斷其概率，可得分布列；（2）由（1）的分布列可得概率.【詳解】（1）由已知可得隨機(jī)變量的可能取值有：，，，，所以，，，，所以分布列為（2）由（1）得.【跟蹤訓(xùn)練61】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）在一次購物抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，假設(shè)某10張獎(jiǎng)券中有一等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券1張，可獲價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)獎(jiǎng)券3張，每張可獲價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng).某顧客從此10張獎(jiǎng)券中任抽2張，求：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X的分布列，并求出P5≤X≤25【解題思路】（1）應(yīng)用組合數(shù)及古典概型的概率、對立事件的概率求法求顧客中獎(jiǎng)的概率；（2）由已知有X的可能取值為0，10，20，50，60并求出對應(yīng)概率，即得分布列，進(jìn)而由P5≤X≤25【解答過程】（1）該顧客中獎(jiǎng)的概率P=1?C（2）X的可能取值為0，10，20，50，60.PX=0=C62PX=50=C故隨機(jī)變量X的分布列為X010205060P12121所以P5≤X≤25【跟蹤訓(xùn)練62】（2324高二下·山東棗莊·期中）在一個(gè)不透明的袋子里裝有3個(gè)黑球，2個(gè)紅球，1個(gè)白球，從中任意取出2個(gè)球，然后再放入1個(gè)紅球和1個(gè)白球．(1)求取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2的概率；(2)設(shè)取球放球結(jié)束后袋子里紅球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列．【答案】(1)(2)分布列見解析【知識點(diǎn)】計(jì)算古典概型問題的概率、寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列【分析】（1）根據(jù)取球的結(jié)果結(jié)合古典概型分析求解；（2）由隨機(jī)變量的可能取值，計(jì)算相應(yīng)的概率，進(jìn)而求分布列.【詳解】（1）設(shè)事件A為“取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2”，則取出的2個(gè)球沒有白球，得，所以取球放球結(jié)束后袋子里白球的個(gè)數(shù)為2的概率為．（2）依題意，隨機(jī)變量的取值為1，2，3，，，，所以的分布列為：123【跟蹤訓(xùn)練63】（2122高二下·廣東東莞·期中）一個(gè)袋中裝有5個(gè)形狀大小完全相同的小球，其中紅球有2個(gè)，白球有3個(gè)，從中任意取出3個(gè)球.(1)求取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球的概率；(2)若隨機(jī)變量X表示取得紅球的個(gè)數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】(1)(2)分布列見解析.【知識點(diǎn)】寫出簡單離散型隨機(jī)變量分布列、求超幾何分布的概率【分析】設(shè)出事件，利用超幾何分布求概率公式進(jìn)行求解；（2）寫出隨機(jī)變量X的可能取值及相應(yīng)的概率，求出分布列.【詳解】（1）設(shè)取出的3個(gè)球恰有一個(gè)紅球?yàn)槭录嗀，則（2）隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,，，，故X的分布列為：X012P【例7】（2324高二下·天津·階段練習(xí)）下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則常數(shù)a的值是（

）3456A． B． C． D．【答案】C【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可求的值.【詳解】由，解得，故選：C.【跟蹤訓(xùn)練71】（2324高二下·黑龍江綏化·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為51015則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】由分布列性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】由分布列的性質(zhì)，得，解得．故選:D.【跟蹤訓(xùn)練72】（2324高二下·陜西西安·期末）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，，則（

）A．3 B． C．2 D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題【分析】根據(jù)概率和為1列式求解即可.【詳解】根據(jù)題意，隨機(jī)變量的分布列為，，則有，解可得.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練73】（2324高二下·安徽安慶·期中）已知隨機(jī)變量ξ的分布如下：則實(shí)數(shù)a的值為.ξ123P【答案】或【知識點(diǎn)】由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】由求解.【詳解】解：由題可得，∴或，經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.故答案為：或.【跟蹤訓(xùn)練74】（2425高二下·山西臨汾·階段練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列為如圖，則常數(shù).01P【答案】【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題【分析】根據(jù)概率之和為1即可求解.【詳解】由題意可得，由可得，故或，結(jié)合，故，故答案為：【跟蹤訓(xùn)練75】（2425高二下·陜西西安·階段練習(xí)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為如下，則．【答案】/【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，且隨機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于，列出方程和不等式，解方程組即可．【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量取遍所有可能值時(shí)相應(yīng)的概率之和等于，所以，解得或，又因?yàn)殡S機(jī)變量的概率非負(fù)不大于，所以，，解得，綜上，故答案為：##．【例8】（2425高二下·全國·課前預(yù)習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求：(1)；(2)【答案】(1)(2)【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題、由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】（1）根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，即可求解.（2）根據(jù)即可求解.【詳解】（1）由題意知，，解得，.（2）.【跟蹤訓(xùn)練81】（2425高二上·遼寧遼陽·期末）下表是離散型隨機(jī)變量的概率分布，則（

）1234PA． B． C． D．【答案】B【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題、由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)可得，利用對立事件概率性質(zhì)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，解得，所以．故選：B.【跟蹤訓(xùn)練82】（2425高二下·江西·階段練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布規(guī)律為（），則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題【分析】利用分布列的性質(zhì)求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X的分布規(guī)律為（），所以，解得，所以.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練83】（2324高二下·浙江臺州·期中）已知隨機(jī)變量的分布列為，則（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點(diǎn)】由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】根據(jù)隨機(jī)變量的分布列結(jié)合互斥事件概率和公式計(jì)算即可.【詳解】.故選：D.【例9】（2425高二下·全國·課后作業(yè)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如下，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】利用隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)解題、由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)列方程計(jì)算即可.【詳解】由離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)可得，即，解得或，時(shí)，不合題意，..故選：A.【跟蹤訓(xùn)練9】（2425高二下·天津紅橋·階段練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（

）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【知識點(diǎn)】由隨機(jī)變量的分布列求概率【分析】根據(jù)求解即可.【詳解】.故選：A.【例10】一批產(chǎn)品中次品率為5%,隨機(jī)抽取1件,定義X=1,抽到次品&0,抽到正品追問：本題中離散型隨機(jī)變量的分布列有什么特殊性？預(yù)設(shè)：根據(jù)的定義，“抽到次品”，“抽到正品”，的分布列為，．表格表示的分布列如下表：010.950.05【跟蹤訓(xùn)練101】（2324高二下·福建龍巖·期中）若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，，則（

）A．0.5 B．0.57 C．0.67 D．0.77【答案】C【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)分布【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布的概念計(jì)算即可.【詳解】.故選：C【跟蹤訓(xùn)練102】（2425高二下·遼寧本溪·階段練習(xí)）已知離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)分布【分析】根據(jù)兩點(diǎn)分布可得，再結(jié)合已知即可得.【詳解】離散型隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則，又，所以.故選：A.【跟蹤訓(xùn)練103】（2425高二下·吉林長春·階段練習(xí)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，，則為（

）A．0.3 B．0.35 C．0.6 D．0.65【答案】B【知識點(diǎn)】兩點(diǎn)分布【分析】根據(jù)題意，得到，結(jié)合，列出方程，求得，進(jìn)而求得的值，即可求解.【詳解】由隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則，因?yàn)?，可得，解得，所?故選：B.素養(yǎng)提升1．甲、乙兩人下象棋，甲贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局.用表示甲的得分，則表示（

）A．甲贏三局 B．甲贏一局C．甲、乙平局三次 D．甲贏一局或甲、乙平局三次【答案】D【來源】訓(xùn)練十二離散型隨機(jī)變量【分析】根據(jù)題意，分兩種情況，即甲贏一局或甲、乙平局三次.【詳解】由于甲贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，故分成兩種情況，即或者，即甲贏一局或甲、乙平局三次.故選：D2．設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X0123P0.20.10.10.3若隨機(jī)變量，則等于（）A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7【答案】A【來源】4.2.2離散型隨機(jī)變量的分布列——隨堂檢測【分析】根據(jù)計(jì)算.【詳解】因?yàn)?，所?故選：A.3.化州市宏達(dá)廣場的惠客多超市準(zhǔn)備在2024年五一假期舉辦了一場有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，并且設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為．(1)求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；(2)若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．【答案】(1)(2)答案見解析【來源】廣東省茂名市化州市20232024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由題知甲、乙2位消費(fèi)者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的情況有（種），進(jìn)而根據(jù)古典概型與獨(dú)立事件的概率乘法公式求解即可；（2）依次求得離散型隨機(jī)變量的分布列取值對應(yīng)的概率，進(jìn)而求出隨機(jī)變量的分布列.【詳解】（1）設(shè)事件為“甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣”，由三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，故甲、乙2位消費(fèi)者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的情況有（種），因?yàn)槊课幌M(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為，所以，．（2）由題，的所有可能取值為0，1，2，3，由題知，4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，共有種情況，表示4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，所以；表示4個(gè)人挑選了3種獎(jiǎng)品，故有2個(gè)人選中同一種獎(jiǎng)品，所以；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了2種獎(jiǎng)品，從4種獎(jiǎng)品中選2種獎(jiǎng)品的方法有（種），對于被選中的2種獎(jiǎng)品，4個(gè)人不同的選擇方法有（種），所以有2種獎(jiǎng)品被選中的方法有（種），所以，；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了同一種獎(jiǎng)品，所以．所以的分布列為01234.一個(gè)袋中裝有2個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除了顏色以外完全相