2024—2025學(xué)年度高一年級3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置．2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．3.非選擇題的作答：用簽字筆直接寫在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)．寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效．4.考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知某扇形的面積為，圓心角為，則該扇形的半徑為（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】利用扇形的面積公式結(jié)合給定條件求解半徑即可.【詳解】設(shè)該扇形的半徑為，因?yàn)槟成刃蔚拿娣e為，圓心角為，所以，解得，故C正確.故選：C2.設(shè)命題，函數(shù)為奇函數(shù)，則：A.，函數(shù)為偶函數(shù)B.，函數(shù)為偶函數(shù)C.，函數(shù)不為奇函數(shù)D.，函數(shù)不為奇函數(shù)【答案】D【解析】【分析】利用的定義求解即可.【詳解】若命題，函數(shù)為奇函數(shù)，則為，函數(shù)不為奇函數(shù)，故D正確.故選：D3.已知向量，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的模長公式求出模長，數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出數(shù)量積，再利用夾角公式并結(jié)合夾角的范圍求解夾角即可.【詳解】因?yàn)?，所以，由向量模長公式得，，由向量夾角公式得，因?yàn)?，所以，故A正確.故選：A4.已知銳角滿足．則（）A. B.4 C. D.2【答案】B【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式對給定條件化簡，再結(jié)合換元法求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)槭卿J角，所以，令，則，解得或，當(dāng)時，不符合題意，故舍去，當(dāng)時，符合題意，故B正確.故選：B5.已知函數(shù)的值域?yàn)椋?，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)建立方程得到，再結(jié)合得到，最后再求解目標(biāo)式的值即可.【詳解】因?yàn)椋?，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，所以，此時，因?yàn)椋?，解得，則，故C正確.故選：C6.記的內(nèi)角的對邊分別為．已知，則為（）A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和余弦定理化簡給定條件，最后利用勾股定理逆定理求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，得到，即，則，即，由勾股定理逆定理得為直角三角形，故B正確.故選：B7.已知某種計(jì)算機(jī)程序處理數(shù)據(jù)量為的數(shù)據(jù)時，處理時間為（單位：），其中均為常數(shù)．當(dāng)時，；當(dāng)時，，則約為（）（附：）A.3 B.3.5 C.4 D.4.5【答案】C【解析】【分析】利用給定數(shù)據(jù)代入公式得到，再代入到中結(jié)合參考數(shù)據(jù)求出結(jié)果即可.【詳解】由題意得當(dāng)時，，將其代入公式得到，而當(dāng)時，，將其代入公式得到，兩個式子作比得，化簡得，因?yàn)椋?，解得，則代入可得，因?yàn)椋?，故C正確.故選：C8.已知平面向量滿足，，若，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先證明，再給出的例子，即可得到的最小值為.【詳解】①由于，故所以.這就得到，故.②另一方面，對，，，原條件全部滿足，此時.綜合①②兩方面，可知的最小值為．故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設(shè)計(jì)一款平面游戲，玩家可以控制角色以或的方向運(yùn)動，角色會沿該方向自發(fā)前進(jìn)．角色活動區(qū)域在一塊正方形區(qū)域內(nèi)，將角色視為一點(diǎn)，每當(dāng)角色觸碰到正方形區(qū)域邊緣時便會沿反方向按原路返回，已知角色可以運(yùn)動到正方形區(qū)域內(nèi)的任一位置，若修改玩家控制角色時的運(yùn)動方向，則修改后角色依然可以運(yùn)動到正方形區(qū)域內(nèi)的任一位置的方向有（）A.和的方向 B.和的方向C.和的方向 D.和的方向【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)題意，符合條件的兩個方向相反即可，再結(jié)合共線向量的基本定理判斷即可.【詳解】根據(jù)題意，符合條件的兩個方向相反即可，對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋屎偷姆较蛳喾?，A滿足條件；對于B選項(xiàng)，設(shè)與共線，則存在，使得，可得，則、共線，矛盾，故與不一定共線，B不滿足條件；對于C選項(xiàng)，設(shè)和共線，則存在，使得，所以，，則、共線，矛盾，故和不一定共線，C不滿足條件；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，和的方向相反，D滿足條件.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.的定義域?yàn)?B.為奇函數(shù)C.在內(nèi)單調(diào)遞減 D.【答案】AD【解析】【分析】令分母不為解出定義域判斷A，利用函數(shù)奇偶性的定義判斷B，舉反例判斷C，利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷D即可.【詳解】對于A，令，解得，則的定義域?yàn)?，故A正確，對于B，因?yàn)?，所以，得到為偶函?shù)，故B錯誤，對于C，因，，所以，則在內(nèi)不可能單調(diào)遞減，故C錯誤，對于D，因?yàn)?，所以，，則，故D正確.故選：AD11.記的內(nèi)角、、的對邊分別為、、．已知，則（）A.B.CD.若、、均為正整數(shù)，則周長的最小值為【答案】BC【解析】【分析】求出角的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷A選項(xiàng)；利用正弦定理化簡得出，求出的范圍，可判斷B選項(xiàng)；由，可得出，再利用余弦定理可判斷C選項(xiàng)；分析得出，對的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合確定的取值，列出關(guān)于、的方程組，解出、的值，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對于A選項(xiàng)，在中，由，解得，所以，，A錯；對于B選項(xiàng)，，則，故，B對；對于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，，所以，，由余弦定理可得，故，C對；對于D選項(xiàng)，由C選項(xiàng)可知，，可得，所以，，因?yàn)?，則，可得，因?yàn)?、、均為正整?shù)，且，即，則，①當(dāng)時，則，此時，整數(shù)不存在；②當(dāng)時，則，所以，整數(shù)，則，可得，由，解得，，此時，；③當(dāng)時，則，則整數(shù)，則，可得，由，解得，不合乎題意；④當(dāng)時，則，則或，若，則，可得，由，解得，，此時，；若，則，可得，由，解得，不合乎題意；⑤當(dāng)時，，則或，若，則，可得，由，解得，不合乎題意；若，則，可得，由，解得，不合乎題意；⑥當(dāng)時，由，則，，此時，，即，此時，.綜上所述，若、、均為正整數(shù)，則周長的最小值為，D錯.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知冪函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則___________．【答案】##【解析】【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)建立方程求解參數(shù)，再結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性取舍即可.【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以，解得或，當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，不符合題意，當(dāng)時，，由冪函數(shù)性質(zhì)得在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意.故答案為：13.已知平面向量，，且，則的最小值為_______．【答案】##【解析】【分析】由平面向量垂直的坐標(biāo)表示可得出，即可得出，考查，結(jié)合基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?，，且，則，即，所以，，若取最小值，必有，此時，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故當(dāng)時，，故的最小值為.故答案為：.14.在檢測文本相似度時常以杰卡德距離作為衡量工具．稱為集合內(nèi)元素的個數(shù)，定義為集合之間的杰卡德距離．現(xiàn)有兩個文本集合，若，則的最小值為___________．【答案】##0.5【解析】【分析】分析題干可知當(dāng)最大且最小時，取得最小值，由此可算得答案.【詳解】由題意可知當(dāng)最大且最小時，最小，因?yàn)?，所以最大為，此時，且此時最小為，此時，若，則且，此時，故的最小值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知為一組基底向量，其中．（1）探究三點(diǎn)是否共線，若共線，給出證明；若不共線，說明理由；（2）若與共線，求的值．【答案】（1）共線，理由見解析（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量的加法法則求出，再得到其與成倍數(shù)關(guān)系即可.（2）利用給定條件結(jié)合不共線建立方程組，求解參數(shù)即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以由平面向量的加法法則得，因，所以，即，故三點(diǎn)共線.【小問2詳解】若與共線，則，得到，而為一組基底向量，則不共線，得到，解得或.16.記的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，已知.（1）求；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解；（2）利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算可得.【小問1詳解】在中，由正弦定理及，得，又在中，，∴，∴，∵，∴.【小問2詳解】在中，由余弦定理可知，又∵，∴，解得或（舍去），故面積為.17.已知函數(shù)．（1）用定義法證明在上的單調(diào)性；（2）若函數(shù)，且在區(qū)間上的最小值為，求．【答案】（1）證明見詳解；（2）或．【解析】【分析】（1）任取且，然后利用作差法比較的大小即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）由已知，對的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷函數(shù)的最小值，得到關(guān)于的方程，解出即可.【小問1詳解】在上單調(diào)遞減，證明如下：任取且，所以，，，則，所以，即，所以在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)取得最小值，即，解得；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，由（1）可知在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)取得最小值，即，解得；綜上所述，在區(qū)間上的最小值為，則的取值為或．18.如圖，已知半徑為2扇形的圓心角為，為的中點(diǎn)，是上一動點(diǎn)．（1）求的取值范圍；（2）當(dāng)為的中點(diǎn)時，用表示；（3）若，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，則可得，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求解即可.（2）由圖可得，再根據(jù)投影向量確定，再代入角度求解即可.（3）結(jié)合題意將用三角函數(shù)表示，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可.【小問1詳解】如圖，設(shè)，連接，而，因?yàn)椋?，所以的取值范圍為．【小?詳解】因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，由平面向量加法法則得，則在方向上的投影向量為，在方向上的投影向量為，得到，故，將代入，得．【小問3詳解】因?yàn)?，，所以，又由?）知，故，則，因?yàn)椋援?dāng)且僅當(dāng)時，取得最大值1，故的最大值為．19.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，設(shè)，若對于任意的，均有，則稱是等和積函數(shù)．（1）若是等和積函數(shù)；（i）證明：；（ii）證明：；（2）若是等和積函數(shù)，證明：函數(shù)在上至少有1350個零點(diǎn)．【答案】（1）（i）證明見詳解；（ii）證明見詳解；（2）證明見詳解.【解析】【分析】（1）（i）由是等和積函數(shù)，得，即可判斷；（ii）由（i）代換可得，兩式相減，化簡可證；（2）利用，求出的周期為3，然后利用不等式的性質(zhì)求出在上至少有一個解，結(jié)合