專題01函數(shù)相關(guān)技巧

分式函數(shù)求值域——分子分母為同類型函數(shù)

(-)注意事項

1.求值域前先求定義域，如果給出區(qū)間則不用求定義域

2.幾個極限值

1八

一CC0oo+tz0C00

00

(-)模式

1.分子分母為一次函數(shù)

a7、4d,ad,

一(cx+d)------Fb--------Fh

'cx+d'cx+dccx+d

oy=常數(shù)+反比例函數(shù)o反比例單調(diào)函數(shù)o求值域帶端點值即可

2.分子分母為無常數(shù)項的二次函數(shù)

=ar+b_粵%-竺aoy=常數(shù)+反比例函數(shù)。反比例單調(diào)函數(shù)o求值域帶端點值

-cx'+d…2圍ct+d-

3.分子分母為指數(shù)函數(shù)

=止心_顰尊―=cn+bo常數(shù)+反比例函數(shù)。反比例單調(diào)函數(shù)。求值域帶端點值

x

-ca+d海囤'ct+d

二.奇偶性

1.常見函數(shù)的奇偶性(前提定義域關(guān)于原點對稱)

(1)y=ax+—奇函數(shù)

X

a奇數(shù)n奇函數(shù)

(2)y=xa

a偶數(shù)n偶函數(shù)

(3)y=a*-a-x奇函數(shù)y=a*+a-、偶函數(shù)

(4)y=log,上上或y=loga小奇函數(shù)

1+x1-x

⑸y=loga(Vl+x2±x)奇函數(shù)y=loga/1——奇函數(shù)

Vl+x2±x

2.有對稱軸函數(shù)解不等式或比較大小一一比較的是兩個自變量與對稱軸距離的遠(yuǎn)近

當(dāng)函數(shù)的對稱軸為x=a,則/(?)?(明)

⑴當(dāng)函數(shù)的先增后減時，區(qū)一川<,2—可

⑵當(dāng)函數(shù)的先減后增時，卜-a|>|x2-a|

3.奇偶性的運算

同性相加減的同性，異性相加減為非奇非偶

同性乘除為偶函數(shù)，異性乘除為奇函數(shù)

三.函數(shù)模型為/(x)=g(x)+A,其中g(shù)(x)為奇函數(shù)，所給區(qū)間要關(guān)于原點對稱

1./?+/,(-%)=2A

推導(dǎo)：/(x)+f(-x)=g(x)+k+g(-x)+Ar=g(x)-g(-x)+2k=2k

2./(x)mMx)加,=2A

推導(dǎo)：/Wmax+f^X)?,i?=g(x)max+k+g(X)加,,+K2M奇函數(shù)的最大值與最小值成相反數(shù))

3.如何找％--Ao)=%

推導(dǎo)：/(O)=g(O)+h%

技巧1分式函數(shù)求值域

2r—1

【例1】(1)(2020山西省太原市實驗中學(xué))已知函數(shù)/(x)=v，xe[3,5]的取值范圍

2

%_]

(2)(2020湖南省長沙市第一中學(xué))函數(shù)y=j_!_的值域為___________」

X+1

【解析】(1)/(3)=可F=；〃5)=與■=則其值域

DI1?,JI1乙?乙

1*229

(2)【常規(guī)法】分離常數(shù)由已知：y==i

x2+lx2+lx2+l

【技巧法】尸Vd0,則函數(shù)y=/G)=三|J(O)=-1,/(8)=1(取不到，開區(qū)間)，.—lAyvl

2x4-3

變式L(2019上海市普陀區(qū)曹楊第二中學(xué)函數(shù))y=------，X￡[0,2]的值域是______

x+2

「37~

【技巧法】/(0)=1,/(2)]故答案為：

2r+32x+4-l11"1137

【常規(guī)法…==F^=2-1,因為9。,2],故77r一,一,故2---

42x+2214

變式2.(2。2°廣東省東莞市北師大東莞石竹附屬學(xué)校)函數(shù)、=言的值域是.

【技巧法】岸聞則月e蔑anjgr取不到，開區(qū)間)，即尸恭—"

入2-423

【常規(guī)法】y=

2+x2~X2+2x~+2廠+2

-1144即函數(shù)"蒙的值域是㈠，1]

x2+2..2,0<—~~,則O<—2,1<—14-—~~1,

2

X2+22JT+2x+2

變式3.(2020陜西省西安市高新一中)函數(shù))=把史的值域為

'x+1

【技巧法】y=4x-近的定義域為(3,-1)U(-1,4W),則y*H-1)=4

X+1

【常規(guī)法】由題尸以—-=以+4-4-&=敘+4_4+的=4一廿亞.

x+lx+lX4-1X4-1X+1

因為y=L的值域為(YO,o)U(O,+00)，故y=—1―的值域為(-00,0)"0,+00),

XX~rI

故y=4+V^的值域為(_oo,0)<j(0,+oo),y=——走^e(-oo,4)u(4,+oo)

x+lX+1''7

技巧2口算奇偶性求參數(shù)

【例2](1)若函數(shù)/(%)=(sinx)ln(J/+〃+%)是偶函數(shù),則實數(shù)。=()

71

A.-1B.0C.1D.—

2

-T1

(2)已知/(用二a臺(儂十/?)是奇函數(shù)，且實數(shù)攵滿足/(2攵-1)<],則攵的取值范圍是()

A.(-oo,-l)B.(-l,+oo)C.(-oo,0)D.(0,+oo)

【解析】(1)【技巧法】因為函數(shù)為偶函數(shù)，正弦為奇函數(shù)，所以對數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)常見函數(shù)可知。=1

【常規(guī)法】因為/(x)=(sinr)ln(+a+x)是偶函數(shù),y=sinx是奇函數(shù)，

所以y=ln(Jx2+/+%)是奇函數(shù),所以\(五2+a-x)=_]n(J』+.+》),

所以ln(jx2+a-x)+ln(Jx2+a+x)=0,所以ln(/+a—兀2)=(),

所以Ina=0,所以a=l,選C.

n-V

(2)因為/(刈二臺全是定義域為R的奇函數(shù)，所以/(0)=0,可得。=1,

此時y(x)=-^=+=-1+^—,易知/(X)在R上為減函數(shù).

1+2'1+2*1+2'

又因為/(24一1)<；=/(-1),所以2左一1>一1,所以&〉().透D

變式1.(2020?沙坪壩?重慶南開中學(xué)高三月考(理))已知函數(shù)/(》)="+0-*+%2,則不等式

〃2x)<〃x—3)的解集為()

A.(-OO,-3)U(1,4W)B.(-1,2)C.(0,1)D(-3,1)

【技巧法】根據(jù)常見奇偶性函數(shù)可知/(x)為偶函數(shù)，根據(jù)對勾函數(shù)己知二次函數(shù)可知x>0函數(shù)為單調(diào)遞增,

則x<0函數(shù)為單調(diào)遞減，回<上一3|,即(2x)2<(x—3「解得一3(尤<1,選D.

【常規(guī)法】設(shè)g(x)=e'+e-x,〃(x)=x2,由g，(x)=之二L當(dāng)x<0時，g'(x)<0,

當(dāng)x>0時，g'(x)>o,則g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，M%)在(YO,0)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

所以/(X)=/+葭+f在(-W,。)上單調(diào)遞減，在(0,+8)上單調(diào)遞增，

又/(-%)=e~x+ex+x2=f(x),所以/(x)為偶函數(shù).由/(2x)</(X-3)可知,

|2x|<|x-3|,即(2x)2<(X-3)2,解得一3<X<],選D.

變式2.(2020?河北桃城?衡水中學(xué)高三其他(文))若函數(shù)/(x)=e'-er+x,則不等式

/(|幻+1)+/(2幻20的解集為()

A.［-l,+oo)B.(-oo,l］C.(0,1)D.(-1,0)

【技巧法】根據(jù)常見函數(shù)可知/(x)為奇函數(shù)求為單調(diào)遞增則/(|x|+l)+/(2x)20可化為

/(|x|+1)>-/(2x)=/(一2尤)所以原不等式等價于不等式|x|+1>-2x.

①"ixNO時，可化為x+12—2xnxN—,所以xNO；

3

②當(dāng)x<0時，可化為一x+lN-2x=xN-l,所以-14x<0.

綜上，原不等式的解集為［-1,+8).

【常規(guī)法】因為函數(shù)/(x)=e?v—/+x的定義域為R.

且滿足/(—x)=e'+x)=-/(x),所以/(x)為R上的奇函數(shù),

則/(|x|+l)+f(2力之0可化為/(Ix|+1)N-/(2x)=f(-2x),

因為尸(幻=/+6-*+1>0恒成立，所以/(x)為R上的增函數(shù).

所以原不等式等價于不等式Ix|+1N-2x.

Q)當(dāng)xNO時，可化為x+1之一2xnx2—,所以xNO：

3

②當(dāng)x<0時，可化為一x+12—2xx2—1,所以—14x<0.

綜上，原不等式的解集為［-1,+8).這4

變式3.(2020?河南羅山?高三月考(理))已知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于y軸對稱，且/(x)在(-8,0］上單

調(diào)遞減，則滿足了(3x+l)</［q)的實數(shù)x的取值范圍是()

11、

B.

26

【解析】由題意/(x)是偶函數(shù)，且在［0,+8)上單調(diào)遞增,

11

不等式fOx+1)</(；)可變?yōu)?(|3x+1|)</+<X<

2-6-

技巧3形如/0)=奇函數(shù)+常數(shù)

【例31(1)(2020婀南平頂山隔三月考(文))已知函數(shù)/(%)=V-3sinx+2,若/(m)=3，則/(-m)=

()

A.-3B.-1C.1D.2

(2)(2019秋?市中區(qū)校級月考)己知/(xQsinx-V+l,2幻，若f(x)的最大值為吸,f(x)的

最小值為N,則M+N等于()

A.0B.2C.4萬D.8/

2x2—xc

(3)(2020?五華?云南師大附中高三月考(文))已知函數(shù)/(x);cosx+xe—xe+2,則

cosx+2

…卜心上…+d”小蟲+小誓+???+/」］=()

12020J<2020j12020J(2020J(2020J(2020J

A.2019B.2020C.4038D.4040

【解析】(1)因為y=x3,y=sj/u是奇函數(shù)，/(m)+/(-m)=4

⑵函數(shù)g(x)為奇函數(shù)，.?.g(x),"“+g(x)“而=0,即/(x)g-l+/(x)加“-1=0,.?.f(x)g+/(x)而“=2

即M+N=2.選B

⑶&="0)=1

122019、201920181

所以一+/+/-+/-=2019x2=4038.選C

2020.20202020,2020；20202020

變式1.(2019秋?椒江區(qū)校級期中)已知函數(shù)f(x)=2+-2^x：的最大值為〃，最小值為相，則M+，〃的

e+e

值等于()

2e4e

A.2B.4C.2H--------D.4H------

\+e21+e2

9r

【解析】設(shè)=則g(x)是奇函數(shù)

e+e

，g(x)的最大值和最小值互為相反數(shù)，且f(x)的最大值為M,最小值為膽，.,.”+，〃=4

選B

變式2.⑵21嚀夏銀川二十四中高三月考)若〃%)=加+/m工+1,且/(5)=7,則/(一5)=()

A.-7B.-5C.5D.7

【解析】設(shè)g(x)=/(x)-l=<2?+8sinx,則g(-x)=-g(x),所以g(5)=/(5)-1=6,

則g(—5)=/(-5)-1=-6,所以/(—5)=d+1=-5.選B.

變式3.已知函數(shù)/(x)=In(x+Jf+1)+1,若實數(shù)a滿足/(p)=2,則/(“)等于()

A.1B.0C.-1D.-2

【解析】???函數(shù)/(X)=1〃(戶&+])+1,實數(shù)〃滿足/(-“)=2,

/(-a)=/〃(-a+Ja'+D+l=2'bzC-a+Ra1+1)=1，

/(a)=/〃(a+Ja?+1)=-/〃(-。+,/+1)+1=-1+1=0.選B.

變式4.已知函數(shù)/1x+g2cosx+xV-xV"+4m/11/2>/2019)

一嬴布一，則?外痢卜4病產(chǎn)叫前J)

A.2019B.2020C.4038D.4040

2cosx+x2ex-x2e~x+4,x2(eA-e-v)

—2+

【解析】/1+￡）cosx+2cosx+2

令〃(x)==宜二32,則〃(T)="(e=e，)fx),所以/z(x)為奇函數(shù),

cosx+2cosx+2

所以〃（X）關(guān)于坐標(biāo)原點對稱，則/（x）關(guān)于（g，2）成中心對稱,

則/(x)+/(j)=4,f(/M嬴!+.?.+/]疆|=?2OI9x[/(盛卜/(翳)=4038,選C

變式5.已知函數(shù)/(x)=In(+1一%)+sinx—2,則/(2020)+/(—202。)=()

A.2B.0C.-2D.-4

【解析】設(shè)g(x)=ln(V?7T—x)+sinx

則g(-1)+8(x)=In(JY+i+1)+m-xj+sin(-x)+sinx=In1=0

所以g(—x)=—g(x),即g(x)為奇函數(shù)，所以g(2020)+g(-2020)=0

所以/(2020)+/(-2020)=g(2020)+g(-2020)-4=-4.選D

鞏固1.(2019江蘇省鹽城市)函數(shù)/(x)=:的值域為______.

x+\

【技巧法】r=x2,/>。則/(/)=^^,/(0)=2018,./(00)=3故答案為(3,2018]

(、—3d+2018_3*2+1)+20152015

X+\X+1X+1

6(0,2015].-.3+e(3,2018]

A-+1X-+1

鞏固2.函數(shù)>=率二1的值域是

6+3

【技巧法】，=?。20)則^=1,二/(0)=-3，/3)=1,則值域為一g,l

\/x-l_Vx+3-4_j4

【常規(guī)法】由題知y

五+3Vx+3Vx+3

1i444「1

因為所以?+323，所以0<G+3?、，則0〈及+3'因止匕'=1-7+3金一§/

鞏固3.(2020黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附中)函數(shù)y=的值域為

2—sin9

【技巧法】令sin6?=r,則故y=六，/(—1)=—g,/(1)=1

2—13

【常規(guī)法】令sin6=f,WiJZe[-l,ll,故>='_=二1上"±2=—1+’_

L12-Z2-t2-t

2「2一

由于/￡,「?2—7￡[1,3],—~-G—,2

2r1-IsinJ「1-

Ay=-l+—e--A,即函數(shù)了二^^—^的值域為一1

2-tL3J2—sin，L3

鞏固4.(2020?江西省信豐中學(xué)高三月考(文))已知函數(shù)/(為=4￡+區(qū)3+5+8,且/(—2)=10,則

函數(shù)/(2)的值是

A.-2B.-6C.6D.8

【技巧法】〃T)+/(X)=16,令X=2,得/(一2)+〃2)=10+/(2)=16,解得〃2)=6,

【常規(guī)法】/(x)=ax'+bx3+cx+8,令8(1)=加+加+cx=/(x)-8,

其中^(-x)=-ax5-hx1-cx=-g(x),所以函數(shù)g。)為奇函數(shù)，

即g(-x)+g(x)=/(-x)-8+/(x)-8=0,

可得〃T)+/(X)=16,令X=2,得〃一2)+/(2)=10+〃2)=16,解得外2)=6

鞏固5.(2020?山西大同?高三月考(文))設(shè)函數(shù)/(x)=加+Asinx+cln(x+，宗+1)+3的最大值

為5,則/(x)的最小值為.

【技巧法】/(X)M+/Q0“,,,=6,則/(x)的最小值為1

【常規(guī)法】由題可知，/(x)=av3+Z>smx4-clnx++3,

，其定義域為R,

乂g(-x)=a(-X)，+Z>sin(-x)+cln(-x+J(-x)-+1)，

即g(-x)=-G?-&sinx+cln(-x+\jx2+1)>

由于g(-x)+g(x)=cln(x+Jx?+i)+c]n(-%+

=cln^x+\/x24-1^-X+A/-^2+1j=cln(x2+1—x2^=clnl=0,

即g(-x)+g(x)=0,所以g(x)是奇函數(shù),

而/(x)=g(x)+3,由題可知,函數(shù)/(X)的最大值為5,

則函數(shù)g(x)的最大值為:5-3=2,

由于g(x)是奇函數(shù),得g(x)的最小值為-2,所以/(X)的最小值為:-2+3=1..

sinx

鞏固6(202。?廣東霞山.湛江二十一中高三月考)已知函數(shù)/(力=亦+2的最大值為最小值為

tn,則M+〃z=

【技巧法】/(x),"“W(M””“=4

AqinvAsin(-x)-Asinx

【常規(guī)法】設(shè)g(")=寸’因為g(r)==-g(x),所以g(x)為奇函數(shù),

1+(―x)~1+%2

則gO)的最大值為M-2,最小值為團-2,

由奇函數(shù)對稱性知，兩者相加為0,即M-2+(2)=0,M+/?=4.

鞏固7.(2019?杏花嶺?山西實驗中學(xué)高三月考)已知函數(shù)/(x)=>+"+sm”,其中廣(可為函數(shù)f(x)

的導(dǎo)數(shù)，則/(2018)+/(—2018)+/'(2019)—/‘(一2019)=

x2+2x+l+sinx,2%+sinx

【解析】/--------5-----------=1+—5-------

x+1X+1JT+1

令g(X)=Y",則有/(%)=g(x)+1,八%)=gf(x)

因為g(x)的定義域是R，g(-x)=?2：2：；x=_g(x)

所以g(x)是奇函數(shù)，所以g'(x)是偶函數(shù)

所以g(2018)+g(—2018)=0,g〈2019)—g'(—2019)=0

所以f(2018)+f(-2018)+/'(2019)-八一2019)

=g(2018)+l+g(—2018)+l+g'(2019)-g'(—2019)=2透4

sinx+xcosx

鞏固8.(2019?山東任城濟寧一中高三月考)設(shè)函數(shù)/(x)=(aeA,aW0),若/(-2019)=2,

ax2

7(2019)=,

-、sinx+xcosxsin(-x)-xcos(-x)sinx+xcosx，/.

【解析】因為y(x)=--------；—.所以/(—x)=-----------------------------------------=~fM

ax'ax"ax~

因此函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，又/(一2019)=2,所以/(2019)=-/(—2019)=—2

4

鞏固9.(2019?湖南婁底?高三期末(文))已知函數(shù)/(x)=r—+V+sinx,其導(dǎo)函數(shù)為尸(X),則

e+1

/(2020)+/'(2020)+/(-2020)-r(一2020)的值為

4,44。*

【解析】函數(shù)/(x)=-^+x3+sinx=/(x)+/(-x)=——+-1￡_=4,

e*+lJ\J)/+1e,+l

“"=一^7+"+8"，/'(x)-/'(-x)=0,

/(2020)+/(2020)+/(-2020)-/(—2020)=4.

鞏固10.(2019秋?渝中區(qū)校級月考)已知/(幻="生，則/(X)在區(qū)間［-2,2］上的最大值最小值之和

x-+4

為.

【技巧法】/(0)=1,則最大值和最小值的和為2

【常規(guī)法】由/(x)=*+「=1令g(x)=-4^，

XT+4x+4xr+4

4x

可得g(—x)=-：1=-g(x)是奇函數(shù)，

V+4

可得g(x)區(qū)間［-2,2］上的最大值最小值之和為0.

那么/Xx)在區(qū)間［-2,2］上的最大值為l+g(x),皿,最小值為1+g(x)而“;

???/(x)在區(qū)間”2,2］上的最大值最小值之和為2..

鞏固11(2020秋?廣東月考)已知函數(shù)/(x)=(x2-2x)sin(x-l)+—、在［-1,3］上的最大值為〃，最小值

x-1

為"7,則M+m=()

【技巧法】所給區(qū)間不管原點對稱需要換元，令t=X-l,則tE［-2,2］

/⑺=(f2-l)si〃f+f,/(0)=l,則/(x)的最大和最小值為2依2

［常規(guī)法］由］(歷=［(x-l)2_l］sin(x_l)+］+-!-令x_］=r,xe［-l,3］上,可得fe［-2,2］:

x-\

那么/(X)轉(zhuǎn)化為gQ)="sinr+--sinr+1

由于〃⑺"皿+冷型是奇函數(shù)可得W),F-2,2］的最大值與最小值之和為0,

那么g⑴的最大值與最小值之和為2一

鞏固12.(2019秋?寧波期中)已知函數(shù)〃x)=(x+D(x-J)+2'-2'的最大值為加,最小值為〃?，則

%*-4

M+m=(

土二3,/、(x+1)(%—4)+2'—2Ax2—4—3x+2A—2x2X—2x—3x

廠一4廠-4X--4

令g(x)=土二二二四，則g(-x)=-g(x),即g(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，

X--4

：g(x)=T,

8(x)nm=M-l,g(x)min=m-\,且g(x)g+g(x)加“=O,

..M-1+m一1=0,

則M+機=2.

鞏固13.(2020?陜西西安?高三月考(理))已知P：?=±1,q：函數(shù)/(x)=ln(x+J^TF)為奇函

數(shù)，則P是q成立的().

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【技巧法】根據(jù)常見函數(shù)可知。=±1

【常規(guī)法】當(dāng)a=±l時，f(x)=ln(x+V?2+x2)=ln(x+Vl+x2).

2

即有/(-x)=ln(Vl+x-x)=In(-/1——)=-ln(Jl+尤2+x),

y/l+x2+x

故有/(一幻=一/(幻即f(x)為奇函數(shù)：p=>q

當(dāng)"x)=In(x+JZ不7)為奇函數(shù)時，有f(-x)=-f(x),

即ln(J〃2+1-x)=-Tn(Ja?+W+x)(。工°)，

/~~221>/々2+12_1

\ia~+x-x=—T=--------=------------力。=±1：q=P

???綜上，知：poq,選c

鞏固14.設(shè)函數(shù)/(幻=產(chǎn)+"*-一二，則使得/(2x)>/(x+l)成立的x的取值范圍是

%'+1

【解析】x)=e7+e*-白丁所以/(-x)=/(x),/(尤)為R上的偶函數(shù)

2x

又/'(x)="_"'+(》+2,當(dāng)x〉o時，/'(%)>0,故/(X)在[0,+8)上為增函數(shù)

g]/(2x)=/(|2x|),/(x+l)=/(|x+l|),由〃2x)>/(x+l)得到國>k+l]

故3f-2%-1>0，x<-g或x>l

鞏固15.已知函數(shù)言是奇函數(shù)，則/(a)的值等于.

【技巧法】可知二。=±1

1-2'1-21

當(dāng)。=1時，函數(shù)的解析式為：./?(%)=1/(")=/(1)=]_

1+2”1+213

-1-2X

當(dāng)a=-1時，函數(shù)的解析式為：/(%)3

-1+2*-1+2-'

綜上可得:/(。)的值等于或3

a-2~xa-T

【常規(guī)法】函數(shù)為奇函數(shù)，則：/(-x)=-/(x),即：=_人工恒成立

Q+2'Q+2'

a-2*—1-a+2X

整理可得:U~-=-,即"=i恒成立，；.a=±l

a-2'+1a+2x

1一，X1-21

當(dāng)。=1時,函數(shù)的解析式為：/(?)=/(1)=

1+213

_1—?■'-

當(dāng)a=—1時，函數(shù)的解析式為：/(%)=/(?)=/(-1)3

-1+2”-1+2-1

綜上可得：/(a)的值等于或3

鞏固16.若函數(shù)AM”-)為奇函數(shù)，貝9

【解析】由函數(shù)小)為奇函可得，八—)=/x)1_以+3)(-…)《x+3)(…)

-5x(4x-3)(x+a)=-5x(以+3)(x-a)/.(4a-3)x2=0/.4a-3=0即a--

4

2

【解析】技巧法：由常見函數(shù)可知a=0/(a—1)=/(-1)=一§

【常規(guī)法】由=得2"(2，+27)=2*+2：.?=。，—=1)=-g

Xx

鞏固18.已知函數(shù)/(%)=/2-°a-乙2~(aw/?)為偶函數(shù),則/⑴/(一彳1)=______

x2

【技巧法】由常見函數(shù)可知a=1所以一;]=羋

x

【常規(guī)法】由題意，函數(shù)~巴"J9~為偶函數(shù)，又由函數(shù)卜="為奇函數(shù)

所以函數(shù)g(x)=2'-ax2T為奇函數(shù)，則g(O)=l-a=O,得。=1

、T應(yīng)一也Z

所以/(力=￡^2‘得^二0所以一3

2

專題02平面向量

-：奔馳定理

1：奔馳定理內(nèi)容一三角形的面積比等于其所對應(yīng)的系數(shù)比

已知。是\ABC內(nèi)的一點，\BOC,/^AOC,^AOB的面積分別為梟，SB,，求證：

S.?赤+SB?麗+Sc?反=6（%.西+y.麻+z.M=6）,則S.：S〃：＞=x：y：z

zx￡jC_y

2.推導(dǎo)過程

證明方法一：如圖延長Q4與BC邊相交于點。則殷=］皿=彳典=卜廣衿，=土

DC3A4s、ACOD^ACD~^ACOD

一DCkBD-SR—S

OD=~~OB+—oc=——--OB+——-c-oc

BCBCSB+SCSB+SC

S

??OD=SBOD=Sepp_SBOD+SQW=S4OD=——^—OA

°A^BOA^COA^BOA+^COASB+SC

S>s>s.—?—?—?—

4

------—OA=、BOB+七OC：.SA.OA+SB.OB+SC.OC=0

S+sSs+ScSBSC

BC+

推論。是A4BC內(nèi)的一點，且X?E+y.彷+z?灰=6,則SABocfACQ/SMQB；%：》工

二.極化恒等式

1.內(nèi)容：同起點的數(shù)量積等于第三邊中線的平方減去第三邊一半的平方

LUIULH11?7UUH，|11皿［2)IIUII|2

2.推導(dǎo)過程：AB^\C=AD-BD=|AD|-|BD|

BC

D（中點）

三.三角形的四心

1.推論

(1)重心：中線的交點,

①。是的重心

A4BCo5AB：S^C()A：SMOB=1:1:1<=>Q4+QB+OC=6

②中線長度分成2：1

(2)內(nèi)心：角平分線的交點(內(nèi)切圓的圓心)，角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等

?>?—>

①。是的內(nèi)心坎

MBCoS*.：S^COA：S0B=a：b:cOa.OA+b.OB+c.OC=0

A

(3)外心：

①。是AABC的外心oSABOC：SACQA：SAAQB=sin2A:sin23:sin2c

=sin2A?Q4+sin2JB?QB+sin2C?OC'=6

22

。是外心，SA=^OBOC-sinZBOC=1sin2A；SB=1/?sin2B；Sc=1/?sin2C

A

②笳+SX）施=0

（4）垂心：高線的交點，高線與對應(yīng)邊垂直

①。是AABC的垂心：<=>：S^COA：S^OB=tanA:tanB:tanC

<=>tanA?OA+tanB?C>jB+tanC?C>C=0

CDCD

證明：如圖。為三角形的垂心tanA-——,tanB=——=>tanA:tanB=DB:AD

ADDB

SABOCSACOA=DB：AD..SABOC：SACOA=tanA:tanB

同理得SAC%:=tanB:tanC,SAI30C：S/XAOli=tanA:tanC

,,SMOC:*^ACQ4:^AAOB=A'B:tanC

②礪.礪=礪灰=礪.反

由礪?礪=礪灰，^OB(OA-OC)=0,即礪0=0,所以礪，畫.同理可證反_1_而，

OA1BC.

總結(jié)：一般的，設(shè)。是AA8C所在平面內(nèi)一點，且滿足X?辦+y?。豆+z-8=。,

（x,y,z^R,xyzx0,x+y+z#0）貝!j㈤：|y|：|z|=:Sc

技巧1奔馳定理

【例I】P是A4BC內(nèi)一點，滿足2⑸+3而+4無=0，則SAPBC：：S好相=（）

A.4:3:2B.2:3:4C.—:—:—D.—:—:一

432234

【技巧法】公共點P,三角形做，則“BC對應(yīng)的向量兩個點為公共點P和三角形定點A即麗

S.C:Sq%.分別對應(yīng)的是西、而無所以其面積比等于其對應(yīng)的向量的系數(shù)匕⑵3:4

【常規(guī)法】?.?尸是A48c內(nèi)一點，且滿足2西+3萬+4前=。

PA+-PB+2PC=O,延長P8到4，使得兩=/而，延長PC到G，使得因'=2定

連結(jié)PB］、PC；、B￡,則可+函+七=C

P是A44G的重心，設(shè)S,,qq=3S,則S八%=SA/,。=S/溫G=S

S&PBC==,S^PCA=/$,S4Mg=§$

技巧法注意事項

1.條件一般是3個同起點的向量相加減且等于零向量，若系數(shù)有正有負(fù)則公共點在三角形外，系數(shù)都為

正則公共點在三角形內(nèi)

2.三角形所對應(yīng)的向量的找法

（1）圖像法：三角形頂上的向量

（2）頂點法：公共點即起點，剩余3點構(gòu)成三角形的三個頂點，對應(yīng)的向量兩個點其中一個點為公共點,

另外一點則是三角形的頂點。

變式1.已知口ABC所在平面內(nèi)一點尸，滿足中+而+定=大而，則△ABP與口A3c的面積的比值

2

為（）

1111

A.-B.-C.-D.一

6432

【技巧法】?.?初+而+1=/而=’（而-西），所以2而+/而+定=0,即3用+而+2定=0

公共點為P,三角形/灰〕，則△口?2所對應(yīng)的向量定，其系數(shù)為2,口A3C為整個三角形，其所對應(yīng)

的系數(shù)為三個向量的系數(shù),6,所以面積比為:

【常規(guī)法】如圖所示，

一.-1.1.-3.1一-

?.?刀+麗+定=2麗=］（而一兩,所以1中+］而+前=0,即3蘇+麗+2正=0,所以

2（PA+無）+（麗+而）=0,設(shè)AB和AC的中點分別為D,E,則由2（序+卮）+（中+而）=0可得

2PE+聲方=0，即而=-2PE，即點P是口ABC的中位線DE上靠近點E的三等分點，所以

2211

SA8P=§S—5AAC=§SuA8C，選:C

—?2一1一

變