北大新世紀(jì)貴陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校2024-2025學(xué)年第二學(xué)期高一年級(jí)4月月考一、單選題（每小題5分）1.向量（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量加法的三角形法則計(jì)算.【詳解】根據(jù)平面向量加法的三角形法則，可得.故選：A.2.已知復(fù)數(shù)，則A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，進(jìn)而可求其模長(zhǎng).【詳解】∴故選：3.已知是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】.在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.4.已知向量,則的充要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】因?yàn)橄蛄?則，故其充要條件是選D5.在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，那么該三角形解的情況為（）A.無(wú)解 B.恰有一解 C.恰有兩解 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】由三角形內(nèi)角的性質(zhì)得，結(jié)合的大小關(guān)系，即可判斷三角形個(gè)數(shù).【詳解】中，則，而，，所以，顯然滿足的三角形恰有兩個(gè).故選：C6.在中，已知，，，則的面積S為()A. B. C. D.6【答案】A【解析】【分析】由已知的等式分解因式，求出b與c的關(guān)系，用c表示出b，然后根據(jù)余弦定理表示出，把a(bǔ)與的值代入即可得到b與c的關(guān)系式，將表示出的含c的式子代入即可得到關(guān)于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，從而求得c的值，即可求得的面積.【詳解】由，得(舍去).

又根據(jù)余弦定理得:，化簡(jiǎn)得:，

將代入可得，計(jì)算得出:或(舍去)，則，故.

由，且，可得，故的面積為.故選：A7.如圖，在中，，是上的一點(diǎn)，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】平面內(nèi)三點(diǎn)共線的充要條件為：存在實(shí)數(shù)，使，且.求得，從而可得結(jié)果.【詳解】由，可得，所以，又三點(diǎn)共線，由三點(diǎn)共線定理，可得：，，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量共線定理的應(yīng)用，意在考查靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解答問(wèn)題的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)向量為，且|z-i|=5，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)為（）A. B. C.(6.5) D.【答案】D【解析】【分析】首先根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義設(shè)出復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式，即可求解，再代入向量的投影公式，即可求解.【詳解】由題圖可知，，則，解得（舍去），所以，，則向量在向量上的投影向量為，所以其坐標(biāo)為．故選：D二、多選題（每小題6分）9.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】分析】在選項(xiàng)中，由余弦定理可得正確；在選項(xiàng)中，由正弦定理可得結(jié)論，正確；在選項(xiàng)中由余弦定理整理得，可得正確；在選項(xiàng)中，由余弦定理可得錯(cuò)誤，即可得解.【詳解】由在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，知：在選項(xiàng)中，由余弦定理得：，故正確；在選項(xiàng)中，由正弦定理得：，，故正確；在選項(xiàng)中，，由余弦定理得：，整理，得，故正確；在選項(xiàng)中，由余弦定理得：，故錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，利用正弦定理與余弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，意在考查學(xué)生對(duì)定理的掌握與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10.已知i為虛數(shù)單位,下列命題中正確的是A.若x,,則的充要條件是B.是純虛數(shù)C.若,則D.當(dāng)時(shí),復(fù)數(shù)是純虛數(shù)【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A：取,滿足方程，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：,恒成立，所以正確；選項(xiàng)C：取,,，所以錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：代入，驗(yàn)證結(jié)果是純虛數(shù)，所以正確.【詳解】取,,則,但不滿足,故A錯(cuò)誤；,恒成立,所以是純虛數(shù),故B正確；取,,則,但不成立,故C錯(cuò)誤;時(shí)，復(fù)數(shù)是純虛數(shù),故D正確.故選:BD【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)有關(guān)概念的辨析，特別要注意復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部都是實(shí)數(shù)，解題時(shí)要合理取特殊值，屬于中檔題.11.給出下列命題，其中正確的選項(xiàng)有A.非零向量、滿足，則與的夾角為B.若，則為等腰三角形C.若單位向量的、的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)，D.若，，，為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】ABC【解析】【分析】直接利用向量的線性運(yùn)算，向量的夾角的運(yùn)算，向量的模，向量的夾角運(yùn)算判斷、、、的結(jié)論．詳解】解：對(duì)于：非零向量、滿足，令：，，則，，由于，如圖所示：所以四邊形為菱形，且為等邊三角形；所以，，則與的夾角為，故正確．對(duì)于：由于，所以，所以為等腰三角形，故正確．對(duì)于：若單位向量的、的夾角為，則當(dāng)取最小值時(shí)，即，當(dāng)時(shí)，的最小值為，故正確；對(duì)于，，，由于為銳角，所以且與不同向，即則且，故不正確．故選：．三、填空題（每小題5分）12.______.【答案】【解析】【分析】直接按向量的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：13.若等邊三角形的邊長(zhǎng)為，平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則______.【答案】-2【解析】【詳解】試題分析：以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，可得，所以，所以，所以，所以，所以.考點(diǎn)：向量的坐標(biāo)運(yùn)算.14.已知正方形的邊長(zhǎng)為1，若，其中為實(shí)數(shù)，則______；設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】①.②.【解析】【分析】解法一：以為基底向量，根據(jù)向量的線性運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求的最小值；解法二：建系標(biāo)點(diǎn)，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求，即可得，設(shè)，求，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求的最小值.【詳解】解法一：因?yàn)?，即，則，可得，所以；由題意可知：，因?yàn)闉榫€段上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)，則，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，則，可得，又因?yàn)?，可知：?dāng)時(shí)，取到最小值；解法二：以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，可得，因?yàn)?，則，所以；因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，且為中點(diǎn)，則，可得，則，且，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為；故答案為：；.三、解答題15.計(jì)算:(1)；(2).【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】(1)(2)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.16.已知平面向量，，，且.（1）求；（2）若，，求及與的夾角的大小.【答案】（1）12（2），與的夾角的大小為【解析】【分析】（1）根據(jù)的坐標(biāo)運(yùn)算可得答案；（2）由坐標(biāo)計(jì)算出與，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及向量夾角公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】，，，，解得.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，，，，，，，.，，即與的夾角的大小為.17.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c且．（1）求B；（2）若，且的面積為，求b.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理求出，從而求出；（2）由三角形面積公式求出，結(jié)合，求出，由余弦定理求出答案.【小問(wèn)1詳解】，由正弦定理得，即，由余弦定理，得.因?yàn)?，所?【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以的面積為，得，由及正弦定理，得，所以.由余弦定理，得，所以.18.如圖，四邊形的三邊，對(duì)角線AC交BD于O．（1）若，求的值；（2）求的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過(guò)建系，求出的坐標(biāo)，代入等式列出方程組求解即得；（2）將理解為，利用兩向量夾角的坐標(biāo)公式即可求得.【小問(wèn)1詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸建立直角坐標(biāo)系，由題意，易得，,過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，則,故,則又，則故得，，解得，故．【小問(wèn)2詳解】由圖知，，即的余弦值為.19.在中，角的對(duì)邊分別為，已知向量與向