遵義市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期第一次月考高一數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試卷、答題卡規(guī)定的地方填涂自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名.2.考生作答時(shí)，將答案寫在答題卡上.請(qǐng)按照題號(hào)在各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在草稿紙、試卷上答題無效.3.選擇題答案使用2B鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇題答案使用0.5毫米的黑色簽字筆書寫，字體工整，字跡清楚.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)交集的概念直接計(jì)算即可.【詳解】由集合，，得，故選：C.2.與終邊相同的角是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)可得正確的選項(xiàng).【詳解】由.故選:A.3.已知點(diǎn)是角終邊上的一點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角函數(shù)的定義即可求解.【詳解】根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得.故選：A.4.已知一組數(shù)，，，的平均數(shù)是3，方差為4，則數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)和方差分別是（

）A.7，8 B.7，16 C.6，8 D.6，16【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)與方差的基本公式以及性質(zhì)求解即可.【詳解】由題意，，.所以，，，的平均數(shù)，方差.故選：B.5.若是非零向量，則“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】結(jié)合，設(shè)，，根據(jù)充分性和必要性兩個(gè)角度分別判斷即得.【詳解】如圖作，設(shè)，，由向量加法的平行四邊形法則知：由可得是菱形，因菱形的對(duì)角線不一定相等，故不一定成立，即充分性不成立；又由可得是矩形，因矩形的一組鄰邊不一定相等，故也不一定成立，即必要性不成立.故“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.6.函數(shù)的圖象為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇偶性、特殊值即單調(diào)性可以排除錯(cuò)誤答案.【詳解】的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，故排除A；因?yàn)椋逝懦鼶；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，故排除B，故選：C.7.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量在20～80mg之間為酒后駕車，80mg及以上為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了2.4mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量會(huì)以每小時(shí)20%的速度減少，若他想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時(shí)數(shù)約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】B【解析】【分析】由題意，應(yīng)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求的范圍，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，想要在不違法的情況下駕駛汽車，則酒精含量小于，令小時(shí)后，，則小時(shí)，所以想要在不違法的情況下駕駛汽車，則至少需經(jīng)過的小時(shí)數(shù)約為11小時(shí).故選：B8.如圖，在中，，過點(diǎn)的直線分別交直線，于不同的兩點(diǎn)，.設(shè)，，其中，則的最小值為（

）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線求得的等量關(guān)系式，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，又，，所以，因?yàn)椋?，三點(diǎn)共線，所以，由圖可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有錯(cuò)選的得0分.9.下列命題中錯(cuò)誤的有（

）A，則 B.若，則C.若，則存在實(shí)數(shù)，使得 D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)向量相等的概念判斷A；舉反例判斷B；根據(jù)向量共線的含義判斷C；根據(jù)向量加減法的三角形法則，判斷D.【詳解】對(duì)于A，的充要條件是且方向相同，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若，當(dāng)時(shí)，不一定共線，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則存在實(shí)數(shù)，使得，C正確；對(duì)于D，根據(jù)向量加減法的三角形法則和平行四邊形法則，可知，D正確，故選：AB10.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察向上的面的點(diǎn)數(shù)，“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”記為事件A，“點(diǎn)數(shù)小于5”記為事件B，“點(diǎn)數(shù)小于2”記為事件C．下列說法正確的是（）A.A與C互斥 B.B與C對(duì)立 C.A與B相互獨(dú)立 D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)互斥事件、對(duì)立事件的概念可得選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；根據(jù)可得選項(xiàng)C正確；計(jì)算可得選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【詳解】樣本空間為，事件，事件，事件，A.∵，∴與互斥，A正確.B.∵，∴與不對(duì)立，B錯(cuò)誤.C.∵，∴，∵，∴，與相互獨(dú)立，C正確.D.∵，∴，∵，∴，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，已知正方形邊長(zhǎng)為，動(dòng)點(diǎn)從中點(diǎn)出發(fā)，以每秒一個(gè)單位的速度在正方形的邊上沿著的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，，則下列說法正確的是（

）A. B.C.有個(gè)零點(diǎn) D.偶函數(shù)【答案】ACD【解析】【分析】利用坐標(biāo)法來求向量積，并對(duì)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)分五類討論，即可得五個(gè)分段函數(shù)解析式，從而可判斷各選項(xiàng).【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，可知，設(shè)，可知所以即，當(dāng)時(shí)，，所以，即，故A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，所以綜上可得,故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；當(dāng)時(shí)，由（舍去）或（舍去）；當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；當(dāng)時(shí)，由或（舍去）；綜上可得的零點(diǎn)有個(gè)，故C正確；由于定義域?yàn)椋P(guān)于直線對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，由所以，則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，則，則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；當(dāng)時(shí)，，則，則此時(shí)關(guān)于直線對(duì)稱；故為是偶函數(shù)，故D正確；故選：ACD．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：主要是運(yùn)算分類討論思想來求的五個(gè)分段解析式，然后再利用解析式可進(jìn)行各選項(xiàng)判斷.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，則為_______（填數(shù)字）.【答案】【解析】【分析】將向量變形，代入計(jì)算即可.【詳解】∵，，，故答案為：．13.已知是第四象限角，且，那么的值為______【答案】【解析】【分析】由平方關(guān)系求得正弦，再由商的關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙藿?，所以，由，可得：，所以，所以，故答案為?4.已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為______.【答案】7【解析】【分析】由可得或，作出圖形，結(jié)合圖形即可求解.【詳解】由題意，令，解得或，作出的圖象，如圖，由圖可知，直線與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，直線與圖象有4個(gè)交點(diǎn)，所以原方程有7個(gè)解，即函數(shù)有7個(gè)零點(diǎn).故答案為：7四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，已知，，．（1）求證：，，三點(diǎn)共線；（2）若，且，求實(shí)數(shù)的值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)向量的線性運(yùn)算，求得，再判斷與的關(guān)系，即可證明.（2）根據(jù)向量平行的結(jié)論，求參數(shù)的值.【小問1詳解】由已知，得．因，所以.又與有公共點(diǎn)，所以，，三點(diǎn)共線．【小問2詳解】由（1），知，若，且，可設(shè)（），所以，即．又，是兩個(gè)不共線的向量，所以，解得．16.（1）已知，求的值；（2）已知，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）弦化切求解即可；（2）同角三角平方關(guān)系即可求解.【詳解】（1），（2）因?yàn)椋?，，所?7.某企業(yè)以“慶祝春節(jié)，迎接新年”為主題的職工歌手大賽決賽如期舉行，滿分100分，共有100人參賽，將參賽歌手的成績(jī)分成如下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）根據(jù)頻率分布直方圖，求的值及參賽歌手的平均成績(jī)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求參賽歌手成績(jī)的分位數(shù)；（3）從參賽成績(jī)?cè)诤偷母枋种?，采用分層隨機(jī)抽樣方法抽取6名歌手，再?gòu)某槿〉倪@6名歌手中隨機(jī)抽取2名歌手，求這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率.【答案】（1），（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率的性質(zhì)求，再根據(jù)平均數(shù)運(yùn)算求解；（2）分位數(shù)表示頻率分布直方圖中從第一組開始往后累加的矩形面積之和為0.4,運(yùn)算即可求解.（3）先根據(jù)分層抽樣求參賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)，再結(jié)合古典概型運(yùn)算求解.【小問1詳解】第一至第五組對(duì)應(yīng)的頻率分別為；；；；，所以，解得，所以參賽歌手的平均成績(jī)?yōu)榉?【小問2詳解】由，，得參賽歌手成績(jī)的分位數(shù)為分.【小問3詳解】由，得這6人中參賽成績(jī)?cè)诘娜藬?shù)為人，分別記為，，，；在的人數(shù)為人，分別記為，.在這6個(gè)人中抽取2個(gè)人，共，，，，，，，，，，，，，，，15個(gè)基本事件，這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人，共，，，，，，，，8個(gè)基本事件，故這2名歌手比賽成績(jī)?cè)诤蛢?nèi)各1人的概率為.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若的值域?yàn)?，求a的取值范圍；（3）是否存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減？若存在，寫出一個(gè)符合題意的值；若不存在，說明理由.【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間時(shí)；（2）（3）不存在，理由見解析；【解析】【分析】（1）由得到或，再結(jié)合二次函數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解；（2）由，兩類情況討論即可；（3）由在上單調(diào)遞減，在恒成立，分別求解的范圍，即可判斷.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，由，可得：或，易知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，又單調(diào)遞增，所以的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間時(shí)；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，顯然滿足值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，要使得的值域?yàn)椋铦M足：a>016?12a≥0，解得：，綜上可知：若的值域?yàn)?，a的取值范圍是；【小問3詳解】不存在，理由如下：若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，需滿足：在上單調(diào)遞減，且在恒成立，若在上單調(diào)遞減，滿足，當(dāng)時(shí)，需滿足，即，當(dāng)時(shí)，需滿足，恒成立，綜上可得：在上單調(diào)遞減a的取值范圍是，若在恒成立，即，令，易知在對(duì)稱軸處取到最大值，所以，顯然在上單調(diào)遞減與在恒成立，不能同時(shí)成立，所以不存在實(shí)數(shù)使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.19.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)任意兩個(gè)向量.作：，，當(dāng)不共線時(shí)，記以為鄰邊的平行四邊形的面積為；當(dāng)共線時(shí)，規(guī)定.（1）已知，求；（2）若向量，求證：；（3）記，且滿足，求的最大值.【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）利用新定義計(jì)算即得.（2）由新定義證得，，即可證明.（3）設(shè)，并表示出，由新定義和三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算可得，結(jié)合正弦函數(shù)的性