蘇大附中2024—2025學(xué)年第二學(xué)期檢測高一年級數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘總分150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.（）A. B. C. D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦的和角公式即可求解.【詳解】，故選：A2.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，，則C.長度不相等而方向相反的兩個向量是平行向量D.單位向量都相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的相關(guān)性質(zhì)逐項分析.【詳解】對于A，若，只能說明兩個向量的模長相等，但是方向不確定，所以A錯誤；對于B，如果，結(jié)論B不正確；對于C，根據(jù)平行向量的定義，C正確；對于D，單位向量長度相等，但是方向不確定，所以D錯誤；故選：C.3.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，且的一個周期為4，則的解析式可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意分別考查函數(shù)的最小正周期和函數(shù)在處的函數(shù)值，排除不合題意的選項即可確定滿足題意的函數(shù)解析式.【詳解】AB選項中，CD選項中，排除選項CD，對于A選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一個對稱中心，排除選項A，對于B選項，當(dāng)時，函數(shù)值，故是函數(shù)的一條對稱軸，故選：B.4.若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，再將圖象向右平移個長度單位，則所得到的曲線的解析式為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律結(jié)合題意求解即可.【詳解】將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，得，再將圖象向右平移個長度單位，得.故選：A5.已知，則有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】將化到同一個單調(diào)區(qū)間上的同名函數(shù)比大小，再將與比大小.【詳解】，，因為在為增函數(shù)，所以，又，所以，故選：C6.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】借助圖象可得，求得周期，進(jìn)而求出，再由定點結(jié)合范圍求出，即可得出解析式．【詳解】由題中圖象可得，，故，則，又圖象過點，所以，即，解得，又，即，故.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題運用兩角和的正切公式轉(zhuǎn)化，再結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系化簡式子，結(jié)合已知條件判斷式子特征以簡化等式，最后通過對常見三角恒等式的變形運用，建立與的聯(lián)系從而得出結(jié)果即可.【詳解】由兩角和的正切公式得，由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系得，，故，因為，所以，因為，所以，故，則得到，解得，故，而，則，解得，故C正確故選：C8.已知函數(shù)(，)，若函數(shù)的最小正周期且在處取得最大值2，則的最小值為（）A.5 B.7 C.11 D.13【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)式最大值2結(jié)合函數(shù)的特點求出a值，再把函數(shù)式化成，由取最大值的條件結(jié)合周期范圍得解.【詳解】，所以的最大值為，即，又，所以，所以.又在處取得最大值2，所以，即，即，又函數(shù)的最小正周期，所以，又，所以，所以的最小值為13.故選：D【點睛】涉及解決類型函數(shù)的問題，運用輔助角公共化成是關(guān)鍵.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.計算下列各式，結(jié)果為的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】由兩角和與差的正弦，正切公式，二倍角的余弦公式對選項一一判斷即可得出答案.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，因為，可得，所以，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤.故選：AC.10.筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，因其經(jīng)濟(jì)又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中使用（圖1），明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖2）.若一半徑為2米的筒車水輪圓心O距離水面1米（圖3），已知水輪按逆時針轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖3中點）開始計時，經(jīng)過t分鐘后點P距離水面的高度為h米，下列結(jié)論正確的有（）A.h關(guān)于t的函數(shù)解析式為B.點P第一次到達(dá)最高點需用時5秒C.P再次接觸水面需用時10秒D.當(dāng)點P運動2.5秒時，距水面的高度為1.5米【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)模型的定義與性質(zhì)，求出A、B和T、ω、φ，寫出函數(shù)解析式，再判斷選項中的命題是否正確．【詳解】函數(shù)中，所以，時，，解得，因為，所以，所以，A正確；令得，則，解得，所以x的最小值為5，即點P第一次到達(dá)最高點需用時5秒，B正確；由題意知，點P再次接觸水面需用時（秒），C正確；當(dāng)時，，點P距水面的高度為2米，D錯誤．故選：ABC11.已知函數(shù)，則（）A.是一個最小正周期為的周期函數(shù)B.是一個偶函數(shù)C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.的最小值為，最大值為【答案】BC【解析】【分析】利用函數(shù)周期性的定義可判斷A選項；利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷B選項；利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C選項；求得，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的最大值和最小值，可判斷D選項.【詳解】對于A選項，，所以，函數(shù)為周期函數(shù)，且該函數(shù)的最小正周期不是，A錯；對于B選項，對任意的，。所以，函數(shù)為偶函數(shù)，B對；對于C選項，當(dāng)時，，，令，則，因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞減，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，C對；對于D選項，，因為，令，，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，，又因為，，所以，，因此，的最小值為，最大值為，D錯.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知奇函數(shù)的一個周期為2，當(dāng)時，，則___________.【答案】【解析】【分析】依題意根據(jù)函數(shù)奇偶性與周期性計算可得；【詳解】解：根據(jù)題意得，故答案為：13.已知滿足，則值為________．【答案】##【解析】【分析】由結(jié)合可得，再根據(jù)代入求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)的最小正周期為在上的圖象與直線交于點A，B，與直線交于點C，D，且，則______，______.【答案】①.1②.【解析】【分析】先確定函數(shù)的解析式，再數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)圖象的性質(zhì)列式求值即可.【詳解】因為.又函數(shù)最小正周期為，且，所以.所以.當(dāng)時，，所以.做函數(shù)，的草圖如下：函數(shù)圖象關(guān)于直線對稱.設(shè)，則，.，所以，，解得或（舍去）.所以.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知函數(shù)．求最小正周期、定義域；若，求x的取值范圍．【答案】（1）最小正周期為，定義域為（2），【解析】【分析】利用正切函數(shù)的周期性、定義域，得出結(jié)論．不等式即，再利用正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，求得x的取值范圍．【詳解】解：對于函數(shù)，它的最小正周期為，由，求得，可得它的定義域為．，即，故，求得，故x的取值范圍為，．【點睛】本題主要考查正切函數(shù)的周期性、定義域，正切函數(shù)的圖象性質(zhì)，屬于中檔題．16.已知函數(shù)的最大值為1.（1）求常數(shù)m的值；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得出，，然后根據(jù)二倍角公式得出的值，根據(jù)兩角差的余弦公式，即可得出答案.【小問1詳解】，當(dāng)，即時，，所以.【小問2詳解】由（1）知，.由得，，所以.又，所以，所以，所以，，所以.17.函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖象先向右平移個單位，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有兩個不等實根，求實數(shù)的取值范圍，并求的值．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)計算即可；（2）先根據(jù)三角函數(shù)的圖像變換得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、對稱性可判定的取值范圍與的值.【小問1詳解】由圖可知，，∵，∴，∴，又，∴，，∴，由可得，∴；【小問2詳解】將向右平移個單位得到，再將所有點的橫坐標(biāo)縮短為原來的，得到，令，則，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，∴；由對稱性可知，∴，∴，∴．18.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）當(dāng)時，求的最大值和最小值，并求出對應(yīng)的x的取值；（3）當(dāng)時，關(guān)于x的不等式有解，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2），的最小值，，的最大值2，（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)積化和差以及二倍角，輔助角公式化簡，即可利用整體法求解，（2）利用整體法即可求解，（3）代入化簡可得有解，利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值即可求解.【小問1詳解】令,解得，故單調(diào)遞增區(qū)間為【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，此時，取最小值，當(dāng)時，此時，取最大值，【小問3詳解】由可得，故，由于，所以，故，令，則在單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，故，故，19.已知函數(shù)，給定，定義的“－關(guān)聯(lián)跟蹤函數(shù)”為．（1）求的取值范圍；（2）已知當(dāng)時，恒成立．若對于任意的都有，求的取值集合；（3）若，證明：軸為函數(shù)圖象的對稱軸．【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）利用輔助角公式對變形，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其范圍；（2）由，化簡得，再由當(dāng)時，恒成立，可得，從而可求出的取值集合；（3）由，得或，然后分別化簡，再判斷的奇偶性可得結(jié)論.小問1詳解】，其中，故的取值范圍為．【小問2詳解】由題意可得，