搞定二次函數(shù)壓軸100題

1.假設二次函數(shù)丫=%/+d％+C]的圖象記為C],其頂點為4二

次函數(shù)丫=02%2+員工+。2的圖象記為。2,其頂點為B,且滿足

點力在。2上，點8在C1上，那么稱這兩個二次函數(shù)互為“伴侶二

次函數(shù)〃.

(1)一個二次函數(shù)的“伴侶二次函數(shù)”有個；

(2)①求二次函數(shù)y=%2+3%+2與％軸的交點；

②求以上述交點為頂點的二次函數(shù)y=/+3%+2的“伴侶二次

函數(shù)".

(3)試探究與a2滿足的數(shù)量關系.

2.二次函數(shù)y=/+2b%+ctb,c為常數(shù)).

(1)當b=Lc=—3時，求二次函數(shù)在—24%工2上的最小值;

[2)當c=3時，求二次函數(shù)在4上的最小值；

[3)當c二4爐時，假設在自變量》的值滿足2b4%W2b+3的

情況下，與其對應的函數(shù)值y的最小值為21,求此時二次函數(shù)

的解析式.

3.如圖，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為(2,0),直線y=%+l與二次函

數(shù)的圖象交于/、B兩點,其中點/在y軸上.

y

[1)二次函數(shù)的解析式為y=；

[2)證明點不在(1〕中所求的二次函數(shù)的圖象上；

〔3〕假設C為線段力B的中點，過。點作軸于E點，CE與二次

函數(shù)的圖象交于。點.

①y軸上存在點K,使以K、4、D、C為頂點的四邊形是平

行四邊形，那么K點的坐標是；

②二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使得?假設存在，求出P點

坐標；假設不存在，請說明理由.

4.二次函數(shù)y=%2+p%+q的頂點M是直線y=和直線y=

x+m的交點.

(1)假設直線y=%+巾過點0(0,-3),求M點的坐標及二次函

數(shù)y=/+p%+q的解析式；

[2)試證明無論租取任何值，二次函數(shù)y=/+p%+q的圖象與

直線y=x+m總有兩個不同的交點；

[3）在（1〕的條件下，假設二次函數(shù)丫=/+p%+q的圖象與y

軸交于點C,與％的右交點為4試在直線y=-1%上求異于

M的點P,使P在△CM4的外接圓上.

5.二次函數(shù)y=-x2+bx+c+1.

（1）當b=l時，求這個二次函數(shù)的對稱軸方程；

[2）假設c=—；Z）2—2b,問：b為何值時，二次函數(shù)的圖象與工

4

軸相切；

[3）假設c=0,二次函數(shù)的圖象與％軸交于點4（%i，0）,8（%2,0），

且與y軸的正半軸交于點M,以48為直徑的半圓恰

好經(jīng)過點M,二次函數(shù)的對稱軸/與％軸、直線BM、直線4M

分別相交于點O,E,尸且滿足當=；,求二次函數(shù)的表達式.

EF3

6.如圖，二次函數(shù)y=—%2+"+c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點

4(3,1),點C(0,4),頂點為M,過點4作力8〃％軸，交y軸于點

D,交該二次函數(shù)圖象于點8,連接8C.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

[2)假設將該二次函數(shù)圖象向下平移小fm>0)個單位，使平移

后得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△4BC的內(nèi)部〔不包括^

的邊界)，求相的取值范圍；

〔3〕點P是直線4c上的動點，假設以點P,點C,點M構(gòu)成的

三角形與△BCO相似，請直接寫出所有點P的坐標(直接寫出

結(jié)果，不必寫解答過程).

7.二次函數(shù)y=-x2+bx+c的圖象經(jīng)過點P(O,1)與Q(2,-3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

〔2〕假設點a是第一象限內(nèi)該二次函數(shù)圖象上一點，過點a作％

軸的平行線交二次函數(shù)圖象于點8,分別過點8、/作》軸的

垂線，垂足分別為。、D,且所得四邊形ZBCO恰為正方形.

①求正方形的ABCD的面積；

②聯(lián)結(jié)24、PD,P0交于點E,求證：APADs>PEA.

8.如圖，在直角坐標系中，。為坐標原點，二次函數(shù)y=/+巾》+

2的圖象與％軸的正半軸交于點4與y軸的正半軸交于點8,且

OA-.OB=1:2.設此二次函數(shù)圖象的頂點為0.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

[2)將△。/8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點B落到點C的位

置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點

C.請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

(3)設(2)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為當，頂點

為名.點P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足的面

積是△PODi面積的2倍，求點P的坐標.

9.如圖，二次函數(shù)y=-X2+"+c（b,c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點

4（3,1）,點C（0,4）,頂點為點M,過點4作48〃》軸，交y軸于

點0,交該二次函數(shù)圖象于點B,連接BC.

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點M的坐標；

〔2）假設將該二次函數(shù)圖象向下平移M（巾>0）個單位，使平移后

得到的二次函數(shù)圖象的頂點落在△ABC的內(nèi)部（不包括△48C

的邊界），求小的取值范圍；

[3）點P是直線AC上的動點，假設點P,點C,點M所構(gòu)成的

三角形與ABCO相似，請直接寫出所有點P的坐標（直接寫出

結(jié)果，不必寫解答過程〕.

10.二次函數(shù)y=mx2+nx+p圖象的頂點橫坐標是2,與％軸交于

4（%1，0）,B（%2,0），%1<0<%2，與y軸交于點c，。為坐標原點,

tanz.CAO—tanz.CFO=1.

(1〕求證：n+4m=0；

(2〕求ni,n的值；

(3)當p>0且二次函數(shù)圖象與直線y=%+3僅有一個交點時,

求二次函數(shù)的最大值.

11.如圖，直線y=5%+5交%軸于點4,交y軸于點C,過4,C

兩點的二次函數(shù)y=ax2+4%+c的圖象交%軸于另一點B.

⑴求二次函數(shù)的解析式;

⑵連接BC,點N是線段BC上的動點，作NO_Lx軸交二次函

數(shù)的圖象于點D,求線段NO長度的最大值;

(3)假設點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點

M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點，在％軸，y軸上分別找點E

E,使四邊形”EFM的周長最小，求出點尸，E的坐標.

12.二次函數(shù)y=(t+I)/+2(t+2)%+支當％=0和％=2時，函

數(shù)值相等.

(1)求二次函數(shù)的表達式.

(2)假設一次函數(shù)y="+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點

>1(—3,771),求7?1和k的值.

(3)設二次函數(shù)的圖象與％軸交于點8,C1點8在點。的左

側(cè))，將二次函數(shù)的圖象在點8,C間的局部［含點8和點C)

向左平移n(n>0)個單位長度后得到的圖象記為G,同時將2

中得到的直線y=—+6向上平移九個單位長度.請結(jié)合圖象

答復：當平移后的直線與圖象G有公共點時，九的取值范圍是

多少？

13.二次函數(shù)y=M—2ax—2a—6(a為常數(shù),aW0).

(1)求證：該二次函數(shù)的圖象與％軸有兩個交點；

(2)設該二次函數(shù)的圖象與％軸交于點4(-2,0)和點B,與y軸

交于點C,線段BC的垂直平分線，與％軸交于點D.

①求點0的坐標；

②設點P是拋物線上的一個動點，點Q是直線I上的一個動

點.以點8,D,P,Q為頂點的四邊形是否可能為平行四邊形?

假設能，直接寫出點Q的坐標.

14.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aW0)的圖象經(jīng)過4(一1,0),

8(4,0),C(0,2)三點.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點。是該二次函數(shù)圖象上的一點，且滿足4084=乙乙4。(。

是坐標原點)，求點。的坐標；

13)點P是該二次函數(shù)圖象上位于一象限上的一動點，連接P4

分別交BC,y軸于點E,假設△PEB,△CEE的面積分別

為工，S2,求Si—Sz的最大值.

15.二次函數(shù)y=(t—4)x2—(2t—5)x+4在％=0與％=5的函數(shù)

值相等.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)假設二次函數(shù)的圖象與％軸交于4B兩點(/在B左側(cè))，

與y軸交于點C,一次函數(shù)y=/c%+b經(jīng)過B,C兩點，求一

次函數(shù)的表達式；

(3)在〔2〕的條件下，過動點。(0,M)作直線/〃比軸，其中

m>-2.將二次函數(shù)圖象在直線I下方的局部沿直線I向上翻

折，其余局部保持不變，得到一個新圖象M.假設直線y=

依+b與新圖象M恰有兩個公共點，請直接寫出小的取值范

圍.

16.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點P(0,，4(5,0),

8(1,0).

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)點C在該二次函數(shù)的圖象上，當△48C的面積為12時，求

點C坐標；

(3)在(2)的條件下，求△ABC外接圓圓心點。的坐標.

17.如圖，直線y=5%+5交%軸于點4,交y軸于點C,過4,C

兩點的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交%軸于另一點B.

m求二次函數(shù)的表達式；

(2)連接BC,點N是線段BC上的動點，作NO1》軸交二次函

數(shù)的圖象于點D,求線段NO長度的最大值；

(3)假設點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點

M(4,m)是該二次函數(shù)圖象上一點，在九軸、y軸上分別找點

F,E,使四邊形的周長最小，求出點尸，E的坐標.

18.如圖1,一次函數(shù)y=k%+k與二次函數(shù)y=/cd+々％(憶＞o)交

于4,B兩點,二次函數(shù)圖象的頂點為P.

(1)寫出三條與系數(shù)k無關的一次函數(shù)與二次函數(shù)共有的結(jié)論.

(2)當/c為何值時，A/OP為等邊三角形？

(3〕假設一次函數(shù)y=kx+k的圖象與二次函數(shù)y=kx24-2kx

的圖象交于點C,D,與y軸交于點巴如圖2,某數(shù)學學習小

組探究k=l時得出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論的序號

有.

①4尸二8F；②點。是BF的黃金分割點；③蕓=卓；?△

CFO與△49。的面積相等.

(4)在［3)中，假設去掉/c=l,以上正確的結(jié)論還成立嗎?假設

成立，請選擇兩個加以說明.

19.如圖，頂點為P(4,—4)的二次函數(shù)圖象經(jīng)過原點(0,0),點4在該

圖象上，。4交其對稱軸/于點M,點M,N關于點P對稱，連接

AN,ON.

(1)求該二次函數(shù)的關系式.

(2)假設點4的坐標是(6,—3),求△4N。的面積.

(3)當點Z在對稱軸I右側(cè)的二次函數(shù)圖象上運動時，請解答以

下問題：

①證明：乙ANM=￡ONM；

②△AN。能否為直角三角形?如果能，請求出所有符合條件的點

力的坐標，如果不能，請說明理由.

20.對于二次函數(shù)y=%2—3%+2和一次函數(shù)y=—2x+4,把y=

t(x2-3%+2)+(1-t)(-2x+4)稱為這兩個函數(shù)的“再生二次函

數(shù)〃，其中1是不為零的實數(shù)，其圖象記作拋物線E,現(xiàn)有點

4(2,0)和拋物線E上的點8(-1,九)，請完成以下任務：

叫

o-T

⑴【嘗試】

(1)當t=2時，拋物線y=t(x2-3%4-2)+(1—t)(-2x4-

4)的頂點坐標為；

12)判斷點4是否在拋物線E上；

13〕求九的值.

12)【發(fā)現(xiàn)】

通過［2)和(3)的演算可知，對于t取任何不為零的實數(shù)，拋

物線E總過定點，坐標為.

(3)【應用】

(1)二次函數(shù)y=-3%2+5%+2是二次函數(shù)y=/一3%+2

和一次函數(shù)y=-2%+4的一個“再生二次函數(shù)”嗎？如果是，

求出t的值；如果不是，說明理由；

12〕以28為邊作矩形ZBCD,使得其中一個頂點落在y軸上；

假設拋物線E經(jīng)過4B,C,0其中的三點，求出所有符合條

件的「的值.

m

21.關于％的二次函數(shù)y=——mx+與y=%2—mx—

這兩個二次函數(shù)圖象中的一條與%軸交于Z、8兩個不同的點.

(1)試判斷哪個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過4、8兩點(寫出判斷過

程)；

(2)假設力點坐標為(一1,0),求點B的坐標；

(3)在(2)的條件下，設點C是拋物線上的一點，且△ABC的

面積為10,直接寫出點。的坐標.

22.二次函數(shù)y=%2+"+cfb,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過點4(1,0)

與點C(0,—3),其頂點為P.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)假設Q為對稱軸上的一點，且QC平分乙PQ。，求Q點坐標;

(3)當小工工式in+1時，y的取值范圍是一4Wy42m,求m

的值.

23.如圖，在直角坐標系中，。為原點.點4在％軸的正半軸上，點

8在y軸的正半軸上，tanz_048=2.二次函數(shù)y=產(chǎn)+7n%+2

的圖象經(jīng)過點A,B,頂點為。.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)將△。/8繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點B落到點C的位

置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或向下平移后經(jīng)過點

C.請直接寫出點C的坐標和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

(3)設12)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點為名，頂

點為A.點P在平移后的二次函數(shù)圖象上，且滿足aPB/的

面積是△PDD1面積的2倍，求點P的坐標.

24.在平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=k%+b的圖象與％軸、y軸

分別相交于4(一3,0),8(0,-3)兩點，二次函數(shù)y=/+巾％+九

的圖象經(jīng)過點4

(1〕求一次函數(shù)y=kx+b的解析式;

(2)假設二次函數(shù)丫=/+巾》+九圖象的頂點在直線/8上，求

m,n的值；

(3)當一3W%40時，二次函數(shù)y=/+巾％+九的最小值為

-4,求TH,九的值.

25.二次函數(shù)y=Q+I)%2+2(t+2)%+1?在％=0和％=2時的函

數(shù)值相等.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)假設一次函數(shù)y=依+6的圖象與二次函數(shù)的圖象都經(jīng)過點

4(—3,771),求?71和k的值；

(3)設二次函數(shù)的圖象與％軸交于點8,C(點B在點。的左

側(cè))，將二次函數(shù)的圖象在點8,。間的局部［含點8和點C)

向左平移九(九＞0)個單位后得到的圖象記為G,同時將［2)

中得到的直線y=/c%+6向上平移幾個單位.請結(jié)合圖象答復:

當平移后的直線與圖象G有公共點時，九的取值范圍.

26.如圖，在平面直角坐標系中，點4,。的坐標分別為(-1,0),

(0,一遮)，點8在％軸上.某二次函數(shù)的圖象經(jīng)過4B,C三點,

且它的對稱軸為直線％=1,點P為直線下方的二次函數(shù)圖象

上的一個動點(點P與8,C不重合)，過點P作y軸的平行線

交BC于點F.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)假設設點P的橫坐標為小，用含小的代數(shù)式表示線段PF的

長；

(3)求△PBC面積的最大值，并求此時點P的坐標.

27.如圖，二次函數(shù)丫=a/+b%+c的圖象經(jīng)過4(一1,0),8(3,0),

N(2,3)三點，且與y軸交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式，并寫出頂點M及點。的坐標;

12)假設直線y=依+d經(jīng)過C,M兩點,且與％軸交于點

D.試證明四邊形CD4V是平行四邊形；

(3)點P是這個二次函數(shù)的對稱軸上一動點，請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖?/p>

這樣的點P,使以點P為圓心的圓經(jīng)過力，B兩點，并且與直

線相切?如果存在，請求出點P的坐標；如果不存在，請說

明理由.

28.如圖，在平面直角坐標系％Oy中，二次函數(shù)y=-/+巾％+九的

圖象經(jīng)過點4(3,0),8(ni,7n+l),且與y軸相交于點C.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式并寫出其圖象頂點。的坐標；

(2)求4C4O的正弦值；

(3)設點P在線段OC的延長線上，且乙P40=4C/O,求點P

的坐標.

29.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=一；％2+/?%+。的圖象

與坐標軸交于4、B、C三點，其中點4的坐標為(0,8),點8的

坐標為(-4,0).

(1)求該二次函數(shù)的表達式及點C的坐標；

12)點。的坐標為(0,4),點尸為該二次函數(shù)在第一象限內(nèi)圖象上

的動點，連接CD、CF,以、CF為鄰邊作平行四邊形

CDEF,設平行四邊形CDEF的面積為S.

(1)求S的最大值；

(2)在點尸的運動過程中，當點E落在該二次函數(shù)圖象上時，請

直接寫出此時S的值.

2

30.二次函數(shù)yr=%—2%—3及一次函數(shù)y2=x+m.

(1)求該二次函數(shù)圖象的頂點坐標以及它與%軸的交點坐標；

(2)將該二次函數(shù)圖象在%軸下方的局部沿%軸翻折到%軸上方,

圖象的其余局部不變，得到一個新圖象.請你在圖中畫出這個

新圖象，并求出新圖象與直線丫2=%+小有三個不同公共點時

m的值；

(3)當0工工工2時，函數(shù)丫=丫1+丫2+(小一2)%+3的圖象與

》軸有兩個不同的公共點，求租的取值范圍.

31.如圖，二次函數(shù)y=ax2-4x+c的圖象與坐標軸交于點71(-1,0)

和點8(0,—5).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;

(2)該函數(shù)圖象的對稱軸上存在一點P,使得△2BP的周長最

小.請求出點P的坐標.

32.如圖,二次函數(shù)丫=a/+b%+c的圖象經(jīng)過點4(—1,0),8(4,0),

0(—2,—3),直線8C與y軸交于點O,E為二次函數(shù)圖象上任一

點.

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)假設點E在直線BC的上方，過點E分別作和y軸的垂

線，交直線于不同的兩點F,G(尸在G的左側(cè))，求4

EFG的周長的最大值；

(3〕是否存在點E,使得△E08是以BO為直角邊的直角三角形,

如果存在，求點E的坐標；如果不存在，請說明理由.

33.平面直角坐標系％Oy〔如圖)，一次函數(shù)y=|%+3的圖象與y

軸交于點4,點M在正比例函數(shù)y=的圖象上，且M。二

MA.二次函數(shù)y=/+人工+c的圖象經(jīng)過點4、M.

(1〕求線段4M的長；

(2)求這個二次函數(shù)的解析式；

(3)如果點8在y軸上，且位于點4下方，點C在上述二次函數(shù)

的圖象上，點。在一次函數(shù)y=2%+3的圖象上，且四邊形

ABCD是菱形，求點C的坐標.

34.如圖，二次函數(shù)y=以/——3??12)(其中口，山為常數(shù)，且

a>0,m>0)的圖象與不軸分別交于點4,B(點4位于點8

左側(cè))，與y軸交于點C(0,-3),點O在二次函數(shù)圖象上，且

CD//AB,連接4D；過點4作射線4E交二次函數(shù)于點E,使4B

平分A.DAE.

7Bx

(1)當a=l時，求點。的坐標；

(2)證明：無論a,小取何值，點E在同一直線上運動；

(3)設該二次函數(shù)圖象頂點為尸，試探究：在％軸上是否存在點

P,使以PF,AD,4E為邊構(gòu)成的三角形是以/E為斜邊的直

角三角形?如果存在，請用含小的代數(shù)式表示點P的橫坐標；

如果不存在，請說明理由.

35.:二次函數(shù)y=%2-772%++1（7H為常數(shù)）.

(1)假設這個二次函數(shù)的圖象與％軸只有一個公共點4且4點

在％軸的正半軸上.

①求m的值；

②四邊形40BC是正方形，且點B在y軸的負半軸上，現(xiàn)將這

個二次函數(shù)的圖象平移，使平移后的函數(shù)圖象恰好經(jīng)過B,C

兩點，求平移后的圖象對應的函數(shù)解析式；

(2)當04工42時，求函數(shù)y=--Hi%+三??1+1的最小值

〔用含m的代數(shù)式表示〕.

36.如圖，在平面直角坐標系％。y中，將二次函數(shù)y=%2—1的圖象

M沿％軸翻折，把所得到的圖象向右平移2個單位長度后再向上

平移8個單位長度，得到二次函數(shù)圖象N.

(1)求N的函數(shù)表達式;

(2)設點P(7H,7l)是以點C(l,4)為圓心、1為半徑的圓上一動點,

二次函數(shù)的圖象M與％軸相交于兩點4,B,求P/2+P82的

最大值；

(3)假設一個點的橫坐標與縱坐標均為整數(shù)，那么該點稱為整

點.求M與N所圍成封閉圖形內(nèi)〔包括邊界)整點的個數(shù).

37.二次函數(shù)y=1x2+bx+c的圖象經(jīng)過點4(一3,6),并與%軸交于

點8(-1,0)和點C,與y軸交于點E,頂點為P,對稱軸與％軸

交于點D.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)連接CP,△OCP是什么特殊形狀的三角形?并加以說明；

(3)點Q是第一象限的拋物線上一點，且滿足乙QEO=48EO,

求出點Q的坐標.

38.如圖,二次函數(shù)丫=取2+法+￡：的圖象經(jīng)過點4(_1,0),8(4,0),

C(—2,-3),直線8。與y軸交于點O,E為二次函數(shù)上任一點.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式；

(2)假設點E在直線BC的上方，過E分別作和y軸的垂線,

交直線BC于不同的兩點F，G(F在G的左側(cè))，求

周長的最大值；

(3)是否存在點E,使得AEOB是以BO為直角邊的直角三角形,

如果存在，求點E的坐標；如果不存在，請說明理由.

39.關于x的二次函數(shù)y=%2+(/c2-3/c-4)%+2k的圖象與x軸從

左到右分別交于48兩點，且這兩點關于原點對稱.

(1)求/:的值；

(2)在［1)的條件下，假設反比例函數(shù)丫=竺的圖象與二次函數(shù)

X

丫=%2+伏2-3々一4)%+2/c的圖象從左到右交于Q,R,S三

點，且點Q的坐標為(一1,一1),點/?(%/?,yR)，S(%s，Xs)中的縱

坐標力?，力分別是一元二次方程J7?+my-1=0的解，求四

邊形AQBS的面積S四邊形AQ8S；

(3)在(1〕，(2)的條件下，在％軸下方是否存在二次函數(shù)

y=%2+(女2—3左一4)%+2/C圖象上的點P使得S&PAB=

2sMAB，假設存在，求出點P的坐標；假設不存在，請說明理

由.

40.如圖是二次函數(shù)y=(%+m)2+/c的圖象，其頂點坐標為

(1)求出圖象與軸的交點力，8的坐標；

(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使S"AB=JSAMAB，假

設存在，求出P點的坐標；假設不存在，請說明理由；

(3)將二次函數(shù)的圖象在軸下方的局部沿軸翻折，圖象的其余局

部保持不變，

得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象答復：當直線y=

x+b(b<l)與此圖象有兩個公共點時，的取值范圍.

41.以下圖是二次函數(shù)y=(%+巾)2+/c的圖象，其頂點坐標為

⑴求出圖象與％軸的交點/,B的坐標.

⑵在二次函數(shù)的圖象上是否存在點P,使S“AB=假設

4

存在，求出P點的坐標；假設不存在，請說明理由.

(3)將二次函數(shù)的圖象在x軸下方的局部沿工軸翻折，圖象的其

余局部保持不變，得到一個新的圖象，請你結(jié)合這個新的圖象

答復：當直線y=%+力(力＜1)與此圖象有兩個公共點時，b

的取值范圍.

42.二次函數(shù)丫=。％2+b%+c的圖象經(jīng)過4(1,0),B(3,0),C(0,—3).

(1)求此二次函數(shù)的解析式以及頂點。的坐標;

[2)如圖①，過此二次函數(shù)拋物線圖象上一動點P(M,TI)(O＜小＜

3)作y軸平行線，交直線BC于點E,是否存在一點P,使線

段PE的長最大?假設存在，求出PE長的最大值；假設不存在,

說明理由.

(3)如圖②，過點4作y軸的平行線交直線于點F,連接04

DB,四邊形0AFC沿射線C8方向運動，速度為每秒1個單位

長度，運動時間為t秒，當點C與點尸重合時立即停止運動，

求運動過程中四邊形0AFC與四邊形ADBF重疊局部面積S的

最大值.

43.二次函數(shù)的頂點在原點0,經(jīng)過點4(1彳)，點?(0,1)在y軸上,

直線y=-1與y軸交于點H.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)點P是(1)中圖象上的點，過點P作％軸的垂線與直線丁二

一1交于點M,求證：FM平分N0FP；

(3)當△尸PM是等邊三角形時，求P點的坐標.

44.如圖，二次函數(shù)圖象的頂點坐標為0(1,1),直線y=/c%+m的圖

象與該二次函數(shù)的圖象交于4,C兩點，且4(0,2),直線與％軸

的交點為8,滿足sin乙48。=9,點P是線段力C上一動點，且

不與4,C兩點重合，。6〃丫軸交拋物線于點6.

(1)求k,租和這個二次函數(shù)的解析式；

(2)點E是直線BC與拋物線對稱軸的交點，當APGEsAAOB

時，求點P的坐標；

(3)假設PG=芻時，另外一點尸在拋物線上，當S-S=SMCG

16

時，求點F的坐標.

45.如圖，△48C是以BC為底邊的等腰三角形，點4C分別是一次

函數(shù)y=—g%+3的圖象與y軸、％軸的交點，點B在二次函數(shù)

y=：%2+b%+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一點。，使

8

四邊形48co能構(gòu)成平行四邊形.

(1)試求b,c的值，并寫出該二次函數(shù)的解析式；

(2)動點P從/到0,同時動點Q從C到/都以每秒1個單位的

速度運動，問：

①當P運動到何處時，△ZPQ是直角三角形？

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最小？此時四邊形

PDCQ的面積是多少？

46.如圖，二次函數(shù)y=必+px+q(p<0)的圖象與％軸交于B

兩點，與y軸交于點C(0,—l),△ABC的面積為:.

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

(2)過y軸上的一點M(O,m)作y軸的垂線，假設該垂線與△

/BC的外接圓有公共點，求小的取值范圍；

(3)在該二次函數(shù)的圖象上是否存在點0,使四邊形4C8。為直

角梯形?假設存在，求出點。的坐標；假設不存在，請說明理由.

47.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過點4(2,4)與8(6,0).

(1)求a,b的值；

(2)點。是該二次函數(shù)圖象上兒B兩點之間的一動點，橫坐標

為％(2<%<6).寫出四邊形0/C8的面積S關于點C的橫坐

標％的函數(shù)表達式，并求S的最大值.

48.如圖，三角形力BC是以8C為底邊的等腰三角形，點4,C分別

是一次函數(shù)y=—：%+3的圖象與y軸、》軸的交點，點8在二

次函數(shù)y=+以+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一

點D使四邊形ABCD能構(gòu)成平行四邊形.

(1)試求b,c的值，并寫出該二次函數(shù)表達式；

〔2)動點P從4到0,同時動點Q從C到Z都以每秒1個單位的

速度運動，問：

①當P運動到何處時，有PQ14C?

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最?。看藭r四邊形

PDCQ的面積是多少？

49.如圖，二次函數(shù)y=：%2+b%+c的圖象經(jīng)過點血3,6),并與工

軸交于點5(1,0)和點C.

(1)求二次函數(shù)的解析式及點C的坐標；

[2)假設0為線段4C上一點，且以0,0,。為頂點的三角形與

△ABC相似，求點。的坐標；

(3)設直線y=l為直線/,將該二次函數(shù)的圖象在直線，下方的

局部沿直線/翻折到直線I上方，圖象的其余局部不變，得到一

個新圖象.是否存在與新圖象恰有三個不同公共點且平行于4C

的直線?假設存在，請求出所有符合條件的直線的解析式；假設

不存在，請說明理由.

50.二次函數(shù)y=ax2-2ax+c(a<0)的最大值為4,且拋物線過點

6,—點P(t,0)是無軸上的動點，拋物線與y軸的交點為C,

頂點為D.

(1)求該二次函數(shù)的解析式及頂點D的坐標；

(2)求|PC-PO|的最大值及對應的點P的坐標；

(3)設Q(0,2t)是y軸上的動點，假設線段PQ與函數(shù)y=a|

%|2-2a|%|+c的圖象只有一個公共點，求t的取值.

51.如圖，二次函數(shù)丫=。、2+旅+4的圖象與％軸交于點8(—2,0),

點C(8,0),與y軸交于點A.

(1)求二次函數(shù)y=ax2+bx+4的表達式；

12)連接AC,AB,假設點N在線段BC上運動(不與點8,。重

合)，過點N作NM〃/C,交48于點M,當A/MN面積最

大時，求N點的坐標；

(3〕連接。M,在〔2〕的結(jié)論下，求0M與4C的數(shù)量關系.

52.如圖，三角形ZBC是以為底邊的等腰三角形，點4,C分別

是一次函數(shù)y=-1%+3的圖象與y軸，》軸的交點，點8在二

次函數(shù)y=；/+b%+c的圖象上，且該二次函數(shù)圖象上存在一

點D使四邊形ABCD為平行四邊形.

(1)試求b,c的值，并寫出該二次函數(shù)表達式;

(2)動點P從/到0,同時動點Q從C到4都以每秒1個單位的

速度運動，問：

①當P運動到何處時，有PQ14C?

②當P運動到何處時，四邊形PDCQ的面積最?。看藭r四邊形

PDCQ的面積是多少？

53.關于%的二次函數(shù)y=/+(女2一3左一4)x+2k的圖象與％軸分

別交于4B兩點1點4在點8左側(cè))，且這兩點關于原點對稱.

(1)求k的值.

(2)在［1)的條件下，假設反比例函數(shù)y=9的圖象與二次函數(shù)

y=%2+(/c2-3/c-4)x+2k的圖象從左到右分別交于Q,R,

S三點，且點Q的坐標為(―1,—1),點S(%s，ys)的

縱坐標力?,分別是一元二次方程y?+my-1=0的解，求

四邊形4QBS的面積.

(3)在(1)(2)的條件下，在九軸下方的二次函數(shù)y=/+

(/c2-3k-4)x+2k的圖象上是否存在點P,使得S&PAB=

2sNAB?假設存在，求出點P坐標；假設不存在，請說明理由?

54.如圖，二次函數(shù)y=ax2-6ax+4a+3的圖象與y軸交于點A,

點8是％軸上一點，其坐標為(1,0),連接tan乙48。=2.

（1〕那么點4的坐標為a=；

12）過點4作48的垂線與該二次函數(shù)的圖象交于另一點C,求

點C的坐標；

13）連接BC,過點Z作直線I交線段于點P,設點8,點C

到Z的距離分別為d2,求四+四的最大值.

55.二次函數(shù)y=a/+人工+4的圖象與％軸交于兩點4,B,與y軸

交于點C,且4（一1,0），8（4,0）.

（1）求此二次函數(shù)的表達式.

（2）如圖1,拋物線的對稱軸根與不軸交于點E,CD1m,垂足

為點。，點尸（—，0），動點N在線段OE上運動，連接CF,

CN,FN,假設以點C,D,N為頂點的三角形與△尸EN相似,

求點N的坐標.

(3)如圖2,點M在拋物線上，且點M的橫坐標是1,點P為拋

物線上一動點，假設乙PM/=45。，求點P的坐標.

56.在平面直角坐標系中，。為坐標原點，一次函數(shù)了=。％+5的圖

象與二次函數(shù)y=a/+的圖象交于點A,B.其中a,b均為

非零實數(shù).

(1)當a=b=1時，求48的長；

(2)當a>0時，請用含a,b的代數(shù)式表示△ZOB的面積；

(3)當點A的橫坐標小于點B的橫坐標時，過點8作％軸的垂線,

垂足為夕.假設二次函數(shù)丫=a/+6%的圖象的頂點在反比例

函數(shù)y=2的圖象上，請用含a的代數(shù)式表示△88%的面積.

X

57.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)丫=。/+匕％+。的圖象

經(jīng)過點4(3,0),F(-l,0),C(0,—3),頂點為D.

(1)求這個二次函數(shù)的解析式及頂點坐標；

(2)在y軸上找一點P(點P與點C不重合)，使得乙4Po二

90°,求點P坐標；

(3)在(2〕的條件下，將△4P0沿直線40翻折，得到△4QD,

求點Q坐標.

58.：二次函數(shù)y=ax2+bx+6(tzW0)的圖象與x軸交于/、8兩

點(點A在點B的左側(cè))，點4、點8的橫坐標是方程一一

4%-12=0的兩個根.

(1)求出該二次函數(shù)的表達式及頂點坐標;

(2)如圖，連接/C、BC,點P是線段。8上一個動點(點P不

與點。、8重合)，過點P作PQ〃力C交8C于點Q,當△

CPQ的面積最大時，求點P的坐標.

59.如圖，二次函數(shù)y=—x2+"+c的圖象與％軸交于點8(—3,0),

與y軸交于點C(0,-3).

c

(1)求直線BC及二次函數(shù)的解析式;

(2)設拋物線的頂點為0,與工軸的另一個交點為4?點P在拋

物線的對稱軸上，且乙4Po=乙4CB,求點P的坐標；

(3)連接CD,求乙。C4與乙。C。兩角和的度數(shù).

60.如圖，一小球從斜坡。點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)

y=—%2+4%刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y=刻畫.

(1)請用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點P的坐標；

(2)小球的落點是4,求點力的坐標；

(3)連接拋物線的最高點P與點。，4得△P04.求△P0Z的面

積；

(4)在。4上方的拋物線上存在一點M1M與P不重合〕，△

M04的面積等于△P04的面積，請直接寫出點M的坐標.

61.：如圖，二次函數(shù)丫=a/+4的圖象與％軸交于點力和點B(點

4在點B的左側(cè))，與y軸交于點C,且cos44O=j.

y

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)假設以點。為圓心的圓與直線4?相切于點0,求點。的坐

標；

13)在［2)的條件下，拋物線上是否存在點P使得以P,A,D,

。為頂點的四邊形是直角梯形?假設存在，請求出點P坐標；假

設不存在，請說明理由.

62.如圖，在平面直角坐標系％Oy中，以點為圓心，以逐

為半徑作圓，與％軸交于4、B兩點，與y軸交于C、0兩點，

二次函數(shù)y=a/+b%+c(aW0)的圖象經(jīng)過點4、B、C,頂

點為E.

(1〕求此二次函數(shù)的表達式；

12)設408C=a,乙CBE=0,求sin(a-0)的值;

(3〕坐標軸上是否存在點P,使得以P、4、。為頂點的三角形

與ABCE相似.假設存在，請直接寫出點P的坐標；假設不存

在，請說明理由.

63.二次函數(shù)y=x2—2(/c+l)x+Ze?一2k—3與％軸有兩個交點.

ZV

6

5

4

3

2

234X

-lr

-2r

-3r

-4r

m求的取值范圍；

(2)當/c取最小的整數(shù)時，求二次函數(shù)的解析式.

(3)將(2)中求得的拋物線在％軸下方的局部沿工軸翻折到％軸

上方，圖象的其余局部不變，得到一個新圖象.請你畫出這個

新圖象，并求出新圖象與直線y=%+m有三個不同公共點時

m的值.

64.如圖，二次函數(shù)y=-%2+bx+c的圖象交％軸于點4(一4,0)和

點、B,交y軸于點C(0,4).

(1)求這個二次函數(shù)的表達式；

(2)在拋物線的對稱軸上是否存在一點P,使得IP4-PCI的值

最大?假設存在，求出P點坐標；假設不存在，請說明理由.

13)在平面直角坐標系內(nèi)，是否存在點Q,使4,B,C,Q四點

構(gòu)成平行四邊形?假設存在，直接寫出點Q的坐標；假設不存在,

說明理由.

65.關于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點C(0,l),

且與％軸交于不同的兩點a、B,點/的坐標是(1,0).

(1)求C的值；

[2)求a的取值范圍；

(3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=l交于C、O兩點，設4、8、

C、。四點構(gòu)成的四邊形的對角線相交于點P,記APCO的面

積為S「△P4B的面積為52，當0<a<l時，求證：S[—S2

為常數(shù)，并求出該常數(shù).

66.二次函數(shù)丫=a/+b%—3a經(jīng)過點4(—1,0),C(0,3),與％軸交

于另一點8,拋物線的頂點為D.

(1)求此二次函數(shù)解析式；

(2)連接OC,BC,DB,求證：△8C0是直角三角形；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P,使得△POC是以

CD為底的等腰三角形?假設存在，求出符合條件的點P的坐標;

假設不存在，請說明理由.

67.二次函數(shù)y=ax2-6ax+c(a>0)的圖象過點C(0,4),設拋物線

的頂點為0.

(1)假設拋物線經(jīng)過點(1,-6),求二次函數(shù)的解析式；

(2)假設a=1時，試判斷拋物線與工軸交點的個數(shù)；

(3)如下圖4,8是OP上兩點，AB=8,AP=5.且拋物線過

點/(%,為)，8(%2，為)，并有4。=8。.設OP上一動點E

(不與48重合)，且乙4E8為銳角，假設時，

16

請判斷乙4EB與乙的大小關系，并說明理由.

E

68.如圖，在平面直角坐標系中，二次函數(shù)y=%2+b%+c的圖象與

%軸交于點A,B兩點，B點的坐標為(3,0),與y軸交于點

C(0,—3),點P是直線BC下方拋物線上的動點.

(1)求出二次函數(shù)的解析式;

(2)連接P。，PC,并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POPC,

那么是否存在點P,使得四邊形POPC為菱形?假設存在，求出

點P的坐標，假設不存在，請說明理由；

(3)當點P運動到什么位置時，四邊形/BPC的面積最大?求出此

時P的坐標和四邊形4BPC的最大面積.

69.二次函數(shù)圖象的頂點坐標為4(2,0),且與y軸交于點(0,1),B點、

坐標為(2,2).點C為拋物線上一動點，以。為圓心，為半徑

的圓交不軸于M、N兩點在N的左側(cè)).

(1)求此二次函數(shù)的表達式;

(2)當點C在拋物線上運動時，弦MN的長度是否發(fā)生變化?假設

變化，說明理由；假設不發(fā)生變化，求出弦MN的長；

(3)當與△48N相似時，求出M點的坐標.

70.在直角坐標系％Oy中，設點4(0,。，點QQ,b)(3b均為非零常

數(shù)).平移二次函數(shù)y=-52的圖象，得到的拋物線F滿足兩個

條件：①頂點為Q;②與％軸相交于B,。兩點(IOB|<|

0C|).連接48.

二

OlB

(1)是否存在這樣的拋物線F,使得|。4|2=|OB|-|0C|?請你作

出判斷，并說明理由；

(2)如果ZQ〃BC,且tan乙48。=會求拋物線/對應的二次函

數(shù)的解析式.

71.如圖，半徑為1的與九軸交于48兩點，0M為。01的

切線，切點