天津市靜海區(qū)第六中學(xué)2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．2．若，向量與向量的夾角為，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．3．在中，則（

）A． B．C． D．4．如圖，水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，已知，則四邊形的周長(zhǎng)為（

）A．20 B．12 C． D．5．某校高一年級(jí)15個(gè)班參加慶祝建黨100周年的合唱比賽，得分如下：85

87

88

89

89

90

91

9192

93

93

93

94

96

98，則這組數(shù)據(jù)的40%分位數(shù)，90%分位數(shù)分別為（

）A．90.5，96 B．91.5，96 C．92.5，95 D．90，966．已知m，n表示兩條不同的直線，，表示兩個(gè)不同的平面，則下列說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，，則D．若，，則7．如圖，正方體中，E，F(xiàn)分別是，DB的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成角的正切值為（

）

A． B． C． D．8．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，，則是（

）A．鈍角三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為，為邊的中點(diǎn)，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．復(fù)數(shù)滿足，則．11．已知向量，的夾角為，且，，則．12．已知平面內(nèi)三個(gè)向量，，，若，則k=.13．若的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊a，b，c滿足，且，則的值為.14．正四棱錐的底面積為3，外接球的表面積為，則正四棱錐的體積為.15．如圖，在平面四邊形中，，，，.若點(diǎn)為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），則的取值范圍為.三、解答題（本大題共4小題）16．當(dāng)實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別滿足下列條件？(1)復(fù)數(shù)實(shí)數(shù)；(2)復(fù)數(shù)純虛數(shù)；(3)復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上.17．已知，，且與的夾角為，求：(1)；(2)與的夾角；(3)若向量與平行，求實(shí)數(shù)的值.18．某校為了解全校高中學(xué)生五一假期參加實(shí)踐活動(dòng)的情況，抽查了100名學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們假期參加實(shí)踐活動(dòng)的時(shí)間，繪成的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這100名學(xué)生中參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在6～10小時(shí)的人數(shù)；(2)估計(jì)這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).19．已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，．(1)求的值；(2)若，（i）求a的值；（ii）求的值．

參考答案1．【答案】C【分析】化簡(jiǎn)，解方程組即得解.【詳解】是純虛數(shù)，則，解得.故選C.2．【答案】C【分析】根據(jù)投影向量定義計(jì)算即可.【詳解】由投影向量定義可知，在上的投影向量為.故選C.3．【答案】C【分析】根據(jù)點(diǎn)所在位置，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以為線段上靠近的三等分點(diǎn)，如下圖所示：

故．故選C．4．【答案】A【分析】根據(jù)斜二測(cè)法求得且，進(jìn)而求出，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則原四邊形中，又，故，且，所以四邊形的周長(zhǎng)為.故選A.5．【答案】A【分析】根據(jù)分位數(shù)及分位數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得；【詳解】因?yàn)橐粋€(gè)15個(gè)數(shù)據(jù)，所以，則分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)和第7個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為，，則分位數(shù)為從小到大排列的第個(gè)數(shù)據(jù)為，故選A.6．【答案】D【分析】由平行于同一平面的兩直線的位置關(guān)系判定A；由面面垂直、線面垂直判定線面關(guān)系判斷B；由兩平行平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系判斷C；由平面與平面垂直的判定定理判斷D．【詳解】若，，則或m與n相交或m與n異面，故A錯(cuò)誤；若，，則或，故B錯(cuò)誤；若，，，則或m與n異面，故C錯(cuò)誤；若，，由平面與平面垂直的判定可得，故D正確.故選D.7．【答案】B【分析】根據(jù)異面直線的夾角的求法和線面位置關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示，連接直線，因?yàn)榉謩e為直線和直線的中點(diǎn)，所以為的中位線，所以，則異面直線EF與所成角的正切值即為直線與所成角的正切值，因?yàn)?所以平面,平面,所以,所以為直角三角形，所以.故選B.8．【答案】B【分析】由和正弦定理可得，即，又得，即可判斷是等邊三角形.【詳解】由及正弦定理可得，得，故（舍去）或，即，又，所以，因，，得，故，故是等邊三角形，故選B.9．【答案】D【分析】取線段的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的取值范圍.【詳解】取線段的中點(diǎn)，連接，則，以點(diǎn)為原點(diǎn)，，所在的直線分別為，軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則，，設(shè)點(diǎn)，則，，，所以，，因?yàn)楹瘮?shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，，又因?yàn)?，，所以，，因此，的取值范圍?故選D.10．【答案】【分析】利用復(fù)數(shù)的模和除法運(yùn)算即可求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)滿足，所以，故答案為：.11．【答案】【分析】根據(jù)向量模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】.故答案為：.12．【答案】【分析】先表示出，再由平行向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)?，，，，，因?yàn)?，所以，所以，解得?故答案為：.13．【答案】【分析】利用余弦定理可得答案.【詳解】由，得，由余弦定理得，則，所以.故答案為：.14．【答案】或【分析】設(shè)底面中心為，連接，，，由四棱錐的外接球的表面積為，可得外接球半徑，利用球的截面性質(zhì)求出的值，再根據(jù)體積公式求解即可.【詳解】設(shè)正四棱錐的底面中心為，外接球球心為，顯然球心在直線上，由四棱錐的外接球的表面積為，得球半徑，由正方形面積為3，得.球心到面的距離為，正方形的外接圓半徑，于是，即，解得或，所以或，故答案為：或.

15．【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)條件找出，，且與的夾角為，與的夾角為，從而根據(jù)向量的加法法則和減法的定義寫出，然后表示為關(guān)于的二次函數(shù)，通過求二次函數(shù)的最小值即可解決問題.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，，在中，，，所以，在中，，，所以，所以，不妨設(shè)，則，且與的夾角為，與的夾角為，則，設(shè)，，所以時(shí)，.，則的范圍是.故答案為：.16．【答案】(1)或；(2)；(3)或.【解析】(1)由虛部為0，求解值；(2)由實(shí)部為0且虛部不為0，列式求解值；(3)由實(shí)部與虛部的和為0，列式求解值．【詳解】由題可知，復(fù)數(shù)，(1)當(dāng)為實(shí)數(shù)時(shí)，則虛部為0，由，解得：或；(2)當(dāng)純虛數(shù)時(shí)，實(shí)部為0且虛部不為0，由，解得：；(3)當(dāng)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于直線上時(shí)，則，即：實(shí)部與虛部的和為0，由，解得：或．17．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】(1)代入向量模的公式，即可求解；(2)代入向量夾角的余弦公式，即可求解；(3)代入向量共線定理，即可求解.【詳解】(1)，(2)，即，所以與的夾角為；(3)若向量與平行，則，，得或，所以的值為.18．【答案】(1)58；(2)眾數(shù)7，中位數(shù)2，平均數(shù)7.16.【解析】(1)求出參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在6～10小時(shí)的人所占的頻率,再求解人數(shù)即可.(2)根據(jù)最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)計(jì)算眾數(shù),利用中位數(shù)左右兩邊的頻率均為0.5以及平均數(shù)的算法求解即可.【詳解】(1)，即這100名學(xué)生中參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在6～10小時(shí)的人數(shù)為58.(2)由頻率分布直方圖可以看出，最高矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為7，故這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的眾數(shù)的估計(jì)值為7小時(shí).；，中位數(shù)t滿足.由，得，即這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的中位數(shù)的估計(jì)值為2小時(shí).由，解得.這100名學(xué)生參加實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)的估計(jì)值為（小時(shí)）.19．【答案】(1)；(2)（i）