*（1）及（2）齊次線性微分方程。方程（1）叫做二階線性微分方程。方程（2）叫做對應(yīng)于(1)的定理1（3）也是（2）的解，其中、是任意常數(shù)。如果函數(shù)與是方程（2）的兩個解，則

二階線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)

*所謂與線性無關(guān)是指：一般的，設(shè)是定義在區(qū)間I上的n個函數(shù)，成立，有恒等式則稱這n個函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則稱線性無關(guān)。使得當(dāng)x∈I時如果存在n個不全為零的常數(shù)，定理2則（3）就是方程（2）的通解。若與是方程（2）的兩個線性無關(guān)的特解，說明：（1）齊次方程的解符合疊加原理;（2）疊加解（3）不一定是方程（2）的通解。相互獨立，即與無法合并時，只有當(dāng)與（3）才是（2）的通解。*

n階線性微分方程的n個線性無關(guān)的特解，（4）就是方程（5）的通解。是n階齊次線性微分方程若推廣：則（5）例1解方程解與是方程的兩個特解，并且這兩個解線性無關(guān)，容易驗證:所以方程的通解為：*一階線性微分方程其通解為改寫為是該方程的一個特解；是對應(yīng)齊次方程的通解。是二階非齊次線性微分方程（1）的通解。定理3設(shè)

y*(x)是二階非齊次線性微分方程（1）的一個特解，Y(x)是與（1）對應(yīng)的齊次方程（2）的通解，那末y=Y(x)+y*(x)分析:*例2解方程解是對應(yīng)齊次方程的通解。由例1知：所以所給方程的通解為：容易驗證是所給方程的一個特解；定理4而及的特解設(shè)非齊次線性方程（1）右端是幾個函數(shù)之和，如分別為及則就是原方程的特解。*三、二階常系數(shù)齊次線性微分方程

二階常系數(shù)齊次線性微分方程（1）其中p、q為常數(shù)。指數(shù)函數(shù)（適當(dāng)?shù)剡x取

r）最有可能是方程（1）的一個解。（2）把代入方程（1），整理得只要r

滿足方程（2），就是（1）的一個特解。（1）的特征方程:（2）的根稱為特征根.*由此得（1）的通解為：可化為（i）當(dāng)特征方程有兩個不相等的實根：

（ii）當(dāng)特征方程有兩個相等的實根：

r1=r2=r可得方程（1）的一個特解：y1=erx可得方程（1）的兩個不相關(guān)的特解：及，還需求出另一解y2，并且要求不是常數(shù)。設(shè)即00將和代入微分方程（1），得*由r是特征方程的根，得選取u=x，從而微分方程（1）通解為即可得方程（1）的兩個復(fù)數(shù)形式的解得方程（1）的另一特解為：特征方程有一對共軛復(fù)根（iii）*由定理1：于是得實數(shù)函數(shù)形式的通解為二階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解如下表所示兩個不相等的實根兩個相等的實根一對共軛復(fù)根特征方程的兩個根微分方程的通解為方程（1）的一個特解。也是方程（1）的一個特解。*例1求下列微分方程的通解解（1）所給微分方程的特征方程為特征根為：因此所求通解為（2）特征方程為所求通解為（3）特征方程為所求通解為*n階常系數(shù)齊次線性微分方程（3）其中為常數(shù)。設(shè)則將y及其各階導(dǎo)數(shù)代入方程（3）中得（4）（3）的特征方程:若r是（4）的根，函數(shù)就是（3）的一個特解。n次代數(shù)方程有n個根,特征方程中的每一個根對應(yīng)著通解中的一項,且每一項中都含有一個任意常數(shù).*與特征方程的根對應(yīng)的微分方程的解為單實根一對單復(fù)根特征方程的根微分方程通解中的對應(yīng)項給出一項給出兩項k重實根給出k

項一對k重復(fù)根給出2k

項n階常系數(shù)齊次線性微分方程的通解為其中齊次方程n個線性無關(guān)的解.*例2求下列方程的通解解特征根為所求通解為（1）所給微分方程的特征方程為（2）特征方程為特征根為因此所求通解為*

四、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程二階常系數(shù)非齊次線性微分方程一般式是其中p、q是常數(shù)。(一)型是x的一個m次多項式：其中為常數(shù)，對f(x)的下面兩種最常見形式，采用待定系數(shù)法來求出y*。由定理3，只要求出(1)的一個特解y*及(1)對應(yīng)的齊次方程的通解Y，即可求得(1)的通解:*可能是方程(1)的特解(其中Q(x)是某個多項式).要使(3)成立，Q(x)應(yīng)是一個m次多項式，推測：代入方程(1)并消去為了確定Q(x)，將得討論：（i）如果即λ不是特征根。不妨設(shè)代入(3)式，比較兩端同次冪的系數(shù)即可確定進(jìn)而得(1)的特解00*（ii）如果且即λ是特征方程的單根。同樣可以定出的系數(shù)令（iii）如果且，即λ是特征方程的重根。要使(3)成立，應(yīng)是一個m次多項式,令要使(3)式成立，仍是比較(3)式兩端的系數(shù)來確定的系數(shù)。應(yīng)是m次多項式.*注：若λ是特征方程的s

重根，k=s.上述結(jié)論可推廣到n階常系數(shù)非齊次線性微分方程，但k是特征方程含根λ的重復(fù)次數(shù)，即若λ不是特征方程的根，k=0；2λ是特征方程的重根k=0λ不是特征根1λ是特征方程的單根其中總之，當(dāng)時，方程(1)具有形如的特解，其中是與同次(m次)的多項式，*代入所給方程，得所以于是得原方程的一個特解為所求通解為于是齊次方程的通解為：所以特征根為：又λ=0不是特征根，故原方程特解設(shè)為：例1

求下列方程的通解（1）對應(yīng)齊次方程的特征方程為解*于是齊次方程的通解為由于λ=2是特征方程的單根，對應(yīng)齊次方程的特征方程為；代入所給方程，得所以于是得原方程的一個特解為所求通解為故原方程特解設(shè)為：*例2

求解解于是齊次方程的通解為由于λ=0不是特征方程的根，對應(yīng)齊次方程的特征方程為代入方程，得所以于是得原方程的一個特解為所求通解為故原方程特解設(shè)為：把代入上式，得所以原方程滿足初始條件的特解為*(二)型由歐拉公式：變?yōu)椋喊?由第一種情形及定理4的結(jié)論，對于此種類型，特解可設(shè)為：改寫為如下形式：

m=max{l,n}。其中與都是m

次多項式，其中都是m次多項式，0λ±iω不是特征根k=1λ±iω是特征根m=max{l,n}，且*代入所給方程，得所求通解為解對應(yīng)齊次方程的特征方程為于是齊次方程的通解為由于所以于是得原方程的一個特解為故原方程特解設(shè)為：λ±iω=±2i不是特征方程的根，取例3

求方程的通解。*代入所給方程，得所求通解為解齊次方程的特征方程為于是齊次方程的通解為由于故原方程特解設(shè)為：λ±iω=1±2i

是特征方程的根，取