高中PAGE1試題2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)全部+選擇性必修第二冊(cè)《數(shù)列》。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共40分）選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為2，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．22．已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．93．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．4 C． D．24．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的關(guān)系是（

）A． B． C． D．或5．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B． C．0 D．37．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．8．已知離心率為3的雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（

）A．13 B．21 C．29 D．319．已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．一定有最大值 D．一定有最小值10．如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第二部分（非選擇題共110分）填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是12．已知圓與圓有條公切線，則實(shí)數(shù)的取值是.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則；數(shù)列的通項(xiàng)公式.14．設(shè)為原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上．則的漸近線方程是；的最大值是．15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的有①．的最小值為2②．四面體的體積為③．有且僅有一條直線與垂直④．存在點(diǎn)，使為等邊三角形三、解答題：本題共5小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面；(2)求直線平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．17．（本小題14分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．18．（本小題13分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.19．（本小題14分）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形.再?gòu)臈l件①?條件②?條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.條件①：；條件②：；條件③：平面平面.注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計(jì)分.20．（本小題15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，橢圓上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.21．（本小題15分）設(shè)且，數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為、定義：若滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱(chēng)為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”；(1)若為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求；(2)若為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有；(3)設(shè)k、m為正整數(shù)且．若為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有滿足條件的k、m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．測(cè)試范圍：人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)全部+選擇性必修第二冊(cè)《數(shù)列》。5．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共40分）選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為2，則的值為（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】D【詳解】因?yàn)榻?jīng)過(guò)點(diǎn)的直線的斜率為2，所以，且，解得.故選：D.2．已知空間兩點(diǎn)，則兩點(diǎn)間的距離是（

）A．2 B．3 C．4 D．9【答案】B【詳解】由題意，故選：B．3．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則（

）A． B．4 C． D．2【答案】A【詳解】圓的圓心，半徑，圓心到直線的距離，則弦的長(zhǎng)故選：A4．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，則直線與平面的關(guān)系是（

）A． B． C． D．或【答案】D【詳解】因?yàn)?，所以，則或.故選：D5．“”是“直線與直線平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【詳解】當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線重合；當(dāng)直線與直線平行時(shí)，，解得或，而時(shí)，兩直線重合，當(dāng)時(shí)，直線為，直線為，兩直線平行，因此直線與直線平行時(shí)，，則，所以“”是“直線與直線平行”的既不充分也不必要條件.故選：D6．已知點(diǎn)與關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，則（

）A． B． C．0 D．3【答案】B【詳解】由題可知，線段的中點(diǎn)在直線上，即，所以，故選：B．7．如圖，空間四邊形中，，點(diǎn)在上，且滿足，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】由題意，又，.故選：B8．已知離心率為3的雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，則（

）A．13 B．21 C．29 D．31【答案】C【詳解】由題意解得，所以．故選：C．9．已知無(wú)窮等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是遞增數(shù)列 B．是遞減數(shù)列C．一定有最大值 D．一定有最小值【答案】D【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，則，對(duì)于AB，當(dāng)時(shí)，，則，數(shù)列不單調(diào)，AB錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，是遞增數(shù)列，無(wú)最大值，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，若為奇數(shù)，；若為偶數(shù)，，而，因此當(dāng)時(shí)，對(duì)任意整數(shù)，，D正確.10．如圖所示，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)分別在拋物線及圓的實(shí)線部分上運(yùn)動(dòng)，且AB總是平行于軸，則的周長(zhǎng)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】過(guò)點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，則的周長(zhǎng)為，由可得，故，故的周長(zhǎng)的取值范圍為，故選：D.第二部分（非選擇題共110分）填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11．準(zhǔn)線為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是【答案】【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線為，故，則拋物線方程為.所以拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：12．已知圓與圓有條公切線，則實(shí)數(shù)的取值是.【答案】【詳解】因?yàn)閳A與圓有條公切線，所以圓與圓外切，又圓的圓心為，半徑為，的圓心為，半徑為，所以，得到，又，所以，故答案為：.13．已知數(shù)列的前項(xiàng)和公式為，則；數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】；【詳解】在中，令中，得；當(dāng)時(shí)，，顯然不適合，因此數(shù)列的通項(xiàng)公式，故答案為：；14．設(shè)為原點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在的右支上．則的漸近線方程是；的最大值是．【答案】【詳解】由可得，，故，，則其漸近線方程為；設(shè)，則，，，由點(diǎn)在雙曲線上，故，即，故，由，故.故答案為：；.15．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)，分別在線段和上．給出下列四個(gè)結(jié)論：其中所有正確結(jié)論的有①．的最小值為2②．四面體的體積為③．有且僅有一條直線與垂直④．存在點(diǎn)，使為等邊三角形【答案】①②④【詳解】對(duì)于①：因?yàn)槭钦襟w，所以平面，平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以，，即是與的公垂線段，因?yàn)楣咕€段是異面直線上兩點(diǎn)間的最短距離，所以當(dāng)分別與重合時(shí)，最短為2，故①正確；對(duì)于②：因?yàn)槭钦襟w，所以平面平面，且平面，所以平面，可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到平面的距離不變，距離，由可知，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，到的距離不變，所以的面積不變，所以，所以②正確；對(duì)于③：當(dāng)分別與重合時(shí)，；當(dāng)為中點(diǎn)，與重合時(shí)，，所以③錯(cuò)誤；對(duì)于④：如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，，，因?yàn)闉榈冗吶切?，由，得，得，即，由，得，則，即，解得或，即或，故④正確；故選：①②④．

三、解答題：本題共5小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，．

(1)求證：平面；(2)求直線平面夾角的正弦值；(3)求點(diǎn)到平面的距離．【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以?分因?yàn)槠矫?，平面?分所以平面；4分（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，6分設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，7分令，則，則，8分

直線平面夾角的正弦值為；10分（3）由（2）知，平面的法向量為，11分點(diǎn)到平面的距離為14分17．（本小題14分）已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列．(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)椋?，成等差?shù)列，則，4分即，解得或（舍去），6分所以的通項(xiàng)公式為8分（2）由（1）可知：，10分則，13分所以14分18．（本小題13分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上.(1)求圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于，兩點(diǎn)，若，求直線的方程.【詳解】（1）直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，2分線段的中垂線方程為，即，4分聯(lián)立，解得，6分所以圓心，半徑，7分故圓的方程為；8分（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由，解得，9分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為，即，10分由，解得，故直線的方程為12分綜上，直線的方程為或13分19．（本小題14分）如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形.再?gòu)臈l件①?條件②?條件③中選擇兩個(gè)能解決下面問(wèn)題的條件作為已知.(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值；(3)設(shè)是的中點(diǎn)，棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，求線段的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.條件①：；條件②：；條件③：平面平面.注：如果選擇多種方案分別解答，那么按第一種方案解答計(jì)分.【詳解】（1）因所求問(wèn)題包括線面角大小，需要求出邊長(zhǎng)，故①必選，選②缺垂直條件，因?yàn)?，又四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，選①②無(wú)法證明平面；故只能選擇①③，理由如下：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，所以平面，2分又因?yàn)槠矫?，所以，，所以?分又因?yàn)?，所以，平面，?9分所以平面；5分由（1）知兩兩垂直，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，則，6分故，，設(shè)平面的方向量為，則，即，8分令，得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，9分故直線與平面所成角的正弦值為；10分假設(shè)存在設(shè)點(diǎn)，使得平面，則，因?yàn)槠矫?，所以，?1分所以，，13分解得，故，，所以存在點(diǎn)，為中點(diǎn)，使得平面，此時(shí)14分20．（本小題15分）已知橢圓的左頂點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，橢圓上不同于點(diǎn)的一點(diǎn)滿足.(1)求橢圓的方程；(2)過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）如圖所示：

根據(jù)題意，，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于點(diǎn)在橢圓上，所以，得，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為5分（2）解法一（非對(duì)稱(chēng)韋達(dá)）：由題意如圖所示：

設(shè)點(diǎn)，可設(shè)直線的方程為：，6分聯(lián)立，得，7分由根與系數(shù)的關(guān)系，，8分直線的方程：，①9分直線的方程：，②10分①②得，11分因?yàn)椋?2分所以，解得，14分因此，點(diǎn)在定直線上15分解法二（齊次化）：由題意如圖所示：

設(shè)不過(guò)點(diǎn)的直線的方程為：，6分由于直線過(guò)2,0，所以79分設(shè)，點(diǎn)8分橢圓的方程轉(zhuǎn)化為，，代入直線的方程得，，即，10分即，由根與系數(shù)的關(guān)系，，12分又由題意可得：，所以?xún)墒较喑茫海?3分即，解得，14分所以點(diǎn)在定直線上15分21．（本小題15分）設(shè)且，數(shù)列的各項(xiàng)均為整數(shù)，其前n項(xiàng)和為、定義：若滿足前r項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則稱(chēng)為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”；(1)若為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，求；(2)若為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，證明：對(duì)任意正整數(shù)n，都有；(3)設(shè)k、m為正整數(shù)且．若為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，是否存在k、m，使得?若存在，求出所有滿足條件的k、m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列為“3關(guān)聯(lián)數(shù)列”，所以前3項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第2項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，2分則而且，解得4分（2）因?yàn)閿?shù)列為“6關(guān)聯(lián)數(shù)列”，所以前6項(xiàng)依次成公差為1的等差數(shù)列，從第5項(xiàng)起往后依次成公比為2的等比數(shù)列，則而且，解得，根據(jù)等差，等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得：，5分所以數(shù)列前十項(xiàng)列舉為：，則數(shù)列前十項(xiàng)列舉為：所以數(shù)列前十項(xiàng)列舉為：通過(guò)上述列舉可猜想對(duì)任意正整數(shù)n，都有，7分證明：當(dāng)時(shí)，由數(shù)列列舉可得，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，所以，而，所以仍然滿足，綜上可得：對(duì)任意正整數(shù)n，都有；9分（3）由數(shù)列為“r關(guān)聯(lián)數(shù)列”，且，則有且，解得，所以數(shù)列通項(xiàng)公式為：，10分而當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，11分當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性計(jì)算可得：當(dāng)時(shí)，是一個(gè)遞增數(shù)列，所以要使得，，則有，即滿足，變形得：，12分當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；而當(dāng)時(shí)，，而當(dāng)時(shí)，，所以，不可能滿足，綜合上述使得的k、m為，，，15分2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷參考答案一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。12345678910DBADDBBCDD二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分．11． 12． 13．； 14．； 15．①②④三、解答題：本題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．16．（本小題14分）【詳解】（1）因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以?分因?yàn)槠矫?，平面?分所以平面；4分（2）因?yàn)槠矫?，平面，所以?分以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，6分設(shè)平面的法向量為m=x,y,z則，7分令，則，則，8分

直線平面夾角的正弦值為；10分（3）由（2）知，平面的法向量為，11分點(diǎn)到平面的距離為14分17．（本小題14分）【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，且，因?yàn)?，，成等差?shù)列，則，4分即，解得或（舍去），6分所以的通項(xiàng)公式為8分（2）由（1）可知：，10分則，13分所以14分18．（本小題13分）【詳解】（1）直線的斜率為，線段的中點(diǎn)為，2分線段的中垂線方程為，即，4分聯(lián)立，解得，6分所以圓心，半徑，7分故圓的方程為；8分（2）設(shè)圓心到直線的距離為，由，解得，9分當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，滿足條件；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，直線的方程為，即，10分由，解得，故直線的方程為12分綜上，直線的方程為或13分19．（本小題14分）【詳解】（1）因所求問(wèn)題包括線面角大小，需要求出邊長(zhǎng)，故①必選，選②缺垂直條件，因?yàn)?，又四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，，平面平面所以平面又平面所以，選①②無(wú)法證明平面；故只能選擇①③，理由如下：因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，所以，所以平面，2分又因?yàn)槠矫?，所以，，所以?分又因?yàn)?，所以，平面，?9分所以平面；5分由（1）知兩兩垂直，故以方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，方向?yàn)檩S，建立空間直角坐標(biāo)系，則，6分故，，設(shè)平面的方向量為，則，即，8分令，得，故，設(shè)直線與平面所成角為，則，9分故直線與平面所成角的正弦值為；10分假設(shè)存在設(shè)點(diǎn)，使得平面，則，因?yàn)槠矫?，所以，?