高中PAGE1試題2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+選擇性必修第二冊第4章（空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線）。4．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．過點(1，0)和點(0，1)的傾斜角為（

）A．45° B．60° C．135° D．150°2．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，，記是的前9項和，則（

）A．， B．，C．， D．，3．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點.設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．4．在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線5．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為根據(jù)上述材料，解決下面問題：直線是兩個平面與的交線，則（

）是的一個方向向量．A． B． C． D．6．設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．7．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則（

）A．60 B．32 C．15 D．208．如圖，正方體的棱長為1，中心為，，，則四面體的體積為（

）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，則下列關(guān)于雙曲線的說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．虛軸長為2 C．焦距為 D．離心率為10．已知數(shù)列滿足，則（）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的最小項為4 D．的前項和為11．在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．13．在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為．14．已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，，，則橢圓的離心率為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）ΔABC三個頂點的坐標(biāo)分別是.(1)求ΔABC外接圓的方程；(2)若圓與直線交于兩點，求的弦長.16．（15分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．17．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求和：.18．（17分）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面.

(1)若，求證：平面平面PCD；(2)若AD=DC，PB中點為，試問在棱CD上是否存在點，使，若存在，指出點位置，若不存在說明理由；(3)若與平面PBC成角大小，求DC邊長.19．（17分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點、，，的長半軸與的實半軸之差為，離心率之比為.(1)求這兩條曲線的方程；(2)求曲線以點為中點的弦所在直線的方程；(3)若為兩條曲線的交點，求的余弦值.2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。寫在本試卷上無效?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．測試范圍：人教A版2019選擇性必修第一冊+選擇性必修第二冊第4章（空間向量與立體幾何+直線與圓+圓錐曲線）。4．難度系數(shù)：0.65。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．過點(1，0)和點(0，1)的傾斜角為（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【解析】過點和點的直線的斜率，設(shè)傾斜角為，則，因為，所以.故選：C2．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，，記是的前9項和，則（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】設(shè)該等差數(shù)列的公差為d，則，則，.故選：D3．如圖，在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點.設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在直三棱柱中，，分別為棱AB，的中點，.故選：D4．在平面內(nèi)，A，B是兩個定點，C是動點，若，則點C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線【答案】A【解析】設(shè)，以AB中點為坐標(biāo)原點建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則：，設(shè)，可得：，從而：，結(jié)合題意可得：，整理可得：，即點C的軌跡是以AB中點為圓心，為半徑的圓.故選：A.5．閱讀下面材料：在空間直角坐標(biāo)系中，過點且一個法向量為的平面的方程為，過點且方向向量為的直線的方程為根據(jù)上述材料，解決下面問題：直線是兩個平面與的交線，則（

）是的一個方向向量．A． B． C． D．【答案】A【解析】同理可得平面與的一個法向量為和，設(shè)直線的一個方向向量為，則，不妨取，則，故選：A.6．設(shè)F為拋物線的焦點，點A在C上，點，若，則（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由題意得，，則，即點到準(zhǔn)線的距離為2，所以點的橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)點在軸上方，代入得，，所以.故選：B7．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列滿足：，則（

）A．60 B．32 C．15 D．20【答案】A【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為.由，可得，因，解得.則.故選：A.8．如圖，正方體的棱長為1，中心為，，，則四面體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DD1所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，,則||=，||=，，∴．．．設(shè)平面OEB的一個法向量為，由取，得又,∴F到平面OEB的距離,∴四面體OEBF的體積.故選：D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．已知雙曲線的實軸長是虛軸長的3倍，則下列關(guān)于雙曲線的說法正確的是（

）A．實軸長為6 B．虛軸長為2 C．焦距為 D．離心率為【答案】AB【解析】由雙曲線方程可知，且，由題意，，代入解得：，故實軸長為，虛軸長為，故A項，B項都正確；焦距，故C項錯誤；離心率為，故D項錯誤.故選：AB.10．已知數(shù)列滿足，則（）A． B．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列的最小項為4 D．的前項和為【答案】ABD【解析】由，因此是以為首項，公比為的等比數(shù)列，因此有.A：因為，所以A正確；B：因為，所以數(shù)列是等差數(shù)列，因此B正確；C：，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)時取等號，因為是正整數(shù)，所以上述不等式等號不成立，即，所以C錯誤，D：因為，所以的前項和為，所以D正確；故選：ABD11．在正三棱柱中，，點滿足，其中，，則（

）A．當(dāng)時，的周長為定值B．當(dāng)時，三棱錐的體積為定值C．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得D．當(dāng)時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】易知，點在矩形內(nèi)部（含邊界）．對于A，當(dāng)時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當(dāng)時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，則有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當(dāng)時，，取，中點分別為，，則，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，，，，則，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當(dāng)時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設(shè)，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．故選：BD．第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.記為等差數(shù)列的前n項和．若，則公差_______．【答案】2【解析】由可得，化簡得，即，解得.故答案為：2.13．在正三棱柱中，，，則異面直線與所成角的大小為．【答案】【解析】分別取的中點，連接，由正三柱性質(zhì)可知，以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由，可得，所以，又，且；所以.故答案為：14．已知橢圓的左焦點為，過原點的直線與橢圓交于，兩點，，，則橢圓的離心率為.【答案】【解析】設(shè)是橢圓的右焦點，連接，，由對稱性可知：，，則四邊形為平行四邊形，則，即，且，因為，則AF2=2在中，由余弦定理可得，即，解得，所以橢圓的離心率為.

故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）ΔABC三個頂點的坐標(biāo)分別是.(1)求ΔABC外接圓的方程；(2)若圓與直線交于兩點，求的弦長.【解析】（1）設(shè)，（1分）……（3分）……（5分）所以ΔABC外接圓的方程為.……（6分）（2）圓心到直線的距離……（10分）所以，……（12分）得.……（13分）16．（15分）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【解析】（1）當(dāng)時，則，，可得，，……（2分）即切點坐標(biāo)為，切線斜率，……（4分）所以切線方程為，即.……（5分）（2）解法一：因為的定義域為，且，……（6分）若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；……（7分）若，令，解得；令，解得；……（8分）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，……（9分）則有極小值，無極大值，……（10分）由題意可得：，即，……（11分）構(gòu)建，則，……（12分）可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，……（13分）不等式等價于，解得，……（14分）所以a的取值范圍為；……（15分）17．（15分）已知數(shù)列的前項和為，且.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求和：.【解析】（1）時，，有，……（3分）又時，，有，……（5分）所以數(shù)列是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列．……（6分）（2）由（1）得數(shù)列的通項公式，……（7分）設(shè)則①②……（10分）①②得：……（14分）.……（15分）18．（17分）如圖，四棱錐P-ABCD中，平面.

(1)若，求證：平面平面PCD；(2)若AD=DC，PB中點為，試問在棱CD上是否存在點，使，若存在，指出點位置，若不存在說明理由；(3)若與平面PBC成角大小，求DC邊長.【解析】（1）因為平面平面ABCD，所以，……（1分）又，所以……（3分）又平面PAD所以平面PAD，……（4分）又平面PCD，所以平面平面PCD.……（5分）（2）因為平面，所以AP，AB，AC兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，則，則……（7分）設(shè)，，……（8分）假設(shè)存在滿足，因為等價于，……（9分）解得，（1分）所以不存在……（10分）（3）因為，所以，

，設(shè)，其中，又，，設(shè)平面PBC法向量，依題意，即令則，所以，……（12分）因為PD與平面PBC成角大小，所以或，……（13分）即……（15分）又，此方程組無解……（16分）綜上可得.……（17分）19．（17分）已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓與雙曲線有共同的焦點、，，的長半軸與的實半軸之差為，離心率之比為.(1)求這兩條曲線的方程；(2)求曲線以點為中點的弦所在直線的方程；(3)若為兩條曲線的交點，求的余弦值.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，雙曲線方程為，.則，解得，，……（2分）則，，……（3分）因此，橢圓方程為，.……（4分）雙曲線方程為.……（5分）（2）曲線以點為中點的弦的兩端點分別為、，則，，……（6分）若軸，則線段的中點在軸上，不合乎題意，……（7分）因為，這兩個等式作差可得，……（8分）所以，，可得，……（9分）所以，直線的方程為，即，……（10分）檢驗：聯(lián)立可得，則，合乎題意，……（11分）因此，曲線以點為中點的弦所在直線的方程為.……（12分）（3）不妨設(shè)、分別為兩曲線的左、右焦點，是兩曲線在第一象限的交點，設(shè)，，由橢圓和雙曲線的定義可得，解得，……（15分）所以，.……（17分）2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末模擬卷參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678CDDAABAD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011ABABDBD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．213．14．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，（1分）……（3分）……（5分）所以ΔABC外接圓的方程為.……（6分）（2）圓心到直線的距離……（10分）所以，……（12分）得.……（13分）16．（15分）【答案】(1);(2)【解析】（1）當(dāng)時，則，，可得，，……（2分）即切點坐標(biāo)為，切線斜率，……（4分）所以切線方程為，即.……（5分）（2）解法一：因為的定義域為，且，……（6分）若，則對任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無極值，不合題意；……（7分）若，令，解得；令，解得；……（8分）可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，……（9分）則有極小值，無極大值，……（10分）由題意可得：，即，……（11分）構(gòu)建，則，……（12分）可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，……（13分）不等式等價于，解得，……（14分）所以a的取值范圍為；……（15分）17．（15分）【答案】(1)證明見解析；(2)【解析】（1）時，，有，……（3分）又時，，有，……（5分）所以數(shù)列是以1為首項，公比為2的等比數(shù)列．