十一、行船問題【含義】行船問題也就是與航行有關(guān)的問題。解答這類問題要弄清船速與水速，船速是船只本身航行的速度，也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只順?biāo)叫械乃俣仁谴倥c水速之和；船只逆水航行的速度是船速與水速之差?！緮?shù)量關(guān)系】（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝船速（順?biāo)俣龋嫠俣龋?＝水速順?biāo)伲酱佟?－逆水速＝逆水速＋水速×2逆水速＝船速×2－順?biāo)伲巾標(biāo)伲佟?【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一只船順?biāo)?20千米需要用8小時，水流速度為每小時15千米，這只船逆水行這段路程需用幾小時？解：由條件知，順?biāo)?船速+水速=320÷8，而水速為每小時15千米，所以，船速為每小時320÷8-15=25（千米）；船的逆水速為25-15=10（千米）；船逆水行這段路程的時間為320÷10=32（小時）答：這只船逆水行這段路程需要用32小時。例2、甲船逆水行360千米需18小時，返回原地需10小時；乙船逆水行同樣一段距離需15小時，返回原地需多少時間？解：由題意得甲船速+水速=360÷10=36（千米）甲船速—水速=360÷18=20（千米）可見（36-20）相當(dāng)于水速的2倍所以，水速為每小時（36—20）÷2=8（千米）又因為，乙船速—水速=360÷15所以乙船速為360÷15+8=32（千米）乙船順?biāo)贋?2+8=40（千米）所以，乙船順?biāo)叫?60千米需要360÷40=9（小時）答：乙船返回原地需要9小時。例3：一架飛機飛行在兩個城市之間，飛機的速度是每小時576千米，風(fēng)速為每小時24千米，飛機逆風(fēng)飛行3小時到達，順風(fēng)飛回需要幾個小時？解：這道題可按流水問題來解答。兩城市相距多少千米？（576-24）×3=1656（千米）順風(fēng)飛回需要幾個小時？1656÷（576+24）=2.76（小時）列成綜合算式{（576—24）×3}÷（576+24）=2.76（小時）答：飛機順風(fēng)飛回需要2.76小時。十二、列車問題【含義】這是與列車行駛有關(guān)的一些問題，解答時要注意列車車身的長度?！緮?shù)量關(guān)系】火車過橋：過橋時間＝（車長＋橋長）÷車速火車追及：追及時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速－乙車速）火車相遇：相遇時間＝（甲車長＋乙車長＋距離）÷（甲車速＋乙車速）【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一座大橋長2400米，一列火車以每分鐘900的速度通過大橋，從車頭開上橋到車尾離開橋共需3分鐘。這列火車長多少米？解：火車3分鐘所行的路程，就是橋長與火車車身長度的和?；疖?分鐘行多少千米？900×3=2700（米）這列火車長多少米？2700—2400=300（米）列成綜合算式900×3—2400=300（米）答：這列火車長300米。例2、一列長200米的火車以每秒8米的速度通過一座大橋，用了2分5秒鐘時間，求大橋的長度是多少米？解：火車過橋所用的時間是2分5秒=125秒，所走的路程是（8×25）米，這段路程就是（200米+橋長），所以，橋長為：8×125—200=800（米）答：大橋的長度是800米。例3、一列長225米的慢車以每秒17米的速度行駛，一列長140米的快車以每秒22米的速度在后面追趕，求快車從追上到追過慢車需要多長時間？解：從追上到追過，快車比慢車要多行（225+140）米，而快車比慢車每秒多行（22—17）米，因此所求的時間為，（225+140）÷（22—17）=73（妙）答：需要73秒。三、時鐘問題【含義】就是研究鐘面上時針與分針關(guān)系的問題，如兩針重合、兩針垂直、兩針成一線、兩針夾角為60度等。時鐘問題可與追及問題相類比。【數(shù)量關(guān)系】分針的速度是時針的12倍，二者的速度差為11/12。通常按追及問題來對待，也可以按差倍問題來計算?！窘忸}思路和方法】變通為“追及問題”后可以直接利用公式。例1、從時針指向4點開始，再經(jīng)過多少分鐘時針正好和分針重合？解：鐘面的一周分為60格，分針每分鐘走一格，每小時走60格；時針每小時走5格，每分鐘走=格。每分鐘分針比時針多走（1—）=格。4點整，時針在前，分針在后，兩針相距20格。所以分針追上時針的時間為20÷（1—）≈22（分）答：再經(jīng)過22分鐘時針正好與分針重合。例2、四點和五點之間，時針和分針在什么時候成直角？解：鐘面上有60格，它的是15格，因而兩針成直角的時候相差15格（包括分針在時針的前或后15格兩種情況）。四點整的時候，分針在時針后（5×4）格，如果分針在時針后與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4—15）格，如果分針在時針前與它成直角，那么分針就要比時針多走（5×4+15）格。據(jù)1分鐘分針比時針多走（1—）格就求出二針成直角的時間。（5×4—15）÷（1—）≈6（分）（5×4+15）÷（1—）≈38（分）答：4點06分及4點38分是兩針成直角。例3、六點與七點之間什么時候時針與分針重合？解：6點整的時候，分針在時針后(5×6)格，分針要與時針重合，就得追上時針。這實際上是一個追及問題。（5×6）÷（1—）≈33（分）答：6點33分的時候分針與時針重合。四、盈虧問題【含義】根據(jù)一定的人數(shù)，分配一定的物品，在兩次分配中，一次有余（盈），一次不足（虧），或兩次都有余，或兩次都不足，求人數(shù)或物品數(shù)，這類應(yīng)用題叫做盈虧問題?！緮?shù)量關(guān)系】一般地說，在兩次分配中，如果一次盈，一次虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（盈＋虧）÷分配差如果兩次都盈或都虧，則有：參加分配總?cè)藬?shù)＝（大盈－小盈）÷分配差參加分配總?cè)藬?shù)＝（大虧－小虧）÷分配差【解題思路和方法】大多數(shù)情況可以直接利用數(shù)量關(guān)系的公式。例1、給幼兒園小朋友分蘋果，若每人分3個就余11個；若每人分4個就少1個。問有多少小朋友？有多少個蘋果？解：按照“參加分配的總?cè)藬?shù)=（盈+虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系有小朋友多少人？（11+1）÷（4—3）=12（人）有多少個蘋果？3×12+11=47（個）答：有小朋友12人，有47個蘋果。例2、修一條公路，如果每天修260米，修完全長就得延長8天；如果每天修300米，修完全場仍得延長4天。這條路全長多少米？解：題中原定完成任務(wù)的天數(shù)，就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)=（大虧—小虧）÷分配差”的數(shù)量關(guān)系，可以得知原定完成任務(wù)的天數(shù)（260×8—300×4）÷（300-260）=22（天）這條路全長為300×（22+4）=7800（米）答：這條路全長7800米。例3：學(xué)校組織春游，如果每輛車做40人，就余下30人；如果每輛車做45人，就剛好坐完。問有多少車？有多少人？解：本題中的車輛數(shù)就相當(dāng)于“參加分配的總?cè)藬?shù)”，于是就有有多少車？（30-0）÷（45-40）=6（輛）有多少人？40×6+30=270（人）答：有6輛車，270人。十五、工程問題【含義】工程問題主要研究工作量、工作效率和工作時間三者之間的關(guān)系。這類問題在已知條件中，常常不給出工作量的具體數(shù)量，只提出“一項工程”、“一塊土地”、“一條水渠”、“一件工作”等，在解題時，常常用單位“1”表示工作總量。【數(shù)量關(guān)系】解答工程問題的關(guān)鍵是把工作總量看作“1”，這樣，工作效率就是工作時間的倒數(shù)（它表示單位時間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾），進而就可以根據(jù)工作量、工作效率、工作時間三者之間的關(guān)系列出算式。工作量＝工作效率×工作時間工作時間＝工作量÷工作效率工作時間＝總工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）【解題思路和方法】變通后可以利用上述數(shù)量關(guān)系的公式。例1、一項工程，甲隊單獨做需要10天完成，乙隊單獨做需要15天完成，現(xiàn)在兩隊合作，需要幾天完成？解：題中的“一項工程”是工作總量，由于沒有給出這項工程的具體數(shù)量，因此，吧此項工程看做單位“1”。由于甲隊獨做許10天完成，那么每天完成工程的；乙隊單獨許15天完成，每天完成這項工程的；兩隊合作，每天可以完成這項工程的（+）。由此可以列出算式：1÷（+）=1÷=6（天）答：兩隊合作需要6天完成。例2、一批零件甲獨做6小時完成，乙獨做8小時完成?，F(xiàn)在兩人合作，完成任務(wù)時甲比乙多做24個，求這批零件共有多少個？解：設(shè)總工作量為1，則甲每小時完成，乙每小時完成，甲比乙每小時多完成（），二人合做時每小時完成（）。因為二人合作需要【1÷（）】小時，在這個時間內(nèi)，甲比乙多做24個零件，所以每小時甲比乙多做多少零件？24÷【1÷（）】=7（個）這批零件共有多少個？7÷（）=168（個）答：這批零件共有168個。解2：上面這道題還可以用另一種方法計算。兩人合做，完成任務(wù)時甲乙的工作量之比為：=4:3由此可知，甲比乙多完成總工作量的=所以，這批零件共有24÷=168（個）例3、一件工作，甲獨做12小時完成，乙獨做10小時完成，丙獨做15小時完成?，F(xiàn)在甲先做2小時，余下的由乙丙二人合做，還需幾小時才能完成？解：必須先求出各人每小時的工作效率。如果能把效率用整數(shù)表示，就會給計算帶來方便，因此，我們社總工作量為12、10和15的某一公倍數(shù)，例如最小公倍數(shù)是60，則甲、乙、丙三人的工作效率分別是60÷12=5、60÷10=6、60÷15=4；因此余下的工作由乙、丙合作還需（60-5×2）÷（6+4）=5（小時）答：還需5小時才能做完。十六、正反比例問題【含義】兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比的比值一定（即商一定），那么這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。正比例應(yīng)用題是正比例意義和解比例等知識的綜合運用。兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。反比例應(yīng)用題是反比例的意義和解比例等知識的綜合運用?！緮?shù)量關(guān)系】判斷正比例或反比例關(guān)系是解這類應(yīng)用題的關(guān)鍵。許多典型應(yīng)用題都可以轉(zhuǎn)化為正反比例問題去解決，而且比較簡捷?！窘忸}思路和方法】解決這類問題的重要方法是：把分率（倍數(shù)）轉(zhuǎn)化為比，應(yīng)用比和比例的性質(zhì)去解應(yīng)用題。正反比例問題與前面講過的倍比問題基本類似。例1、修一條公路，已修的是未修的，再修300米后，已修的變成未修的，求這條公路總長是多少？解：由條件已知，公路總長不變。原已修長度：總長度=1：（1+3）=1：4=3：12現(xiàn)已修長度：總長度=1：（1+2）=1:3=4:12比較以上兩式可知，把總長度當(dāng)做12份，則300米相當(dāng)于（4-3）份，從而知公路總長為300÷（4-3）×12=3600（米）答：這條路總長3600米。例2、張晗做4道應(yīng)用題用了28分鐘，照這樣計算，91分鐘可以做幾道應(yīng)用題？解：做題效率一定，做題數(shù)量與做題時間成正比例關(guān)系設(shè)91分鐘可以做X應(yīng)用題，則有28:4=91：X28X=94×4X=376÷28=13（道）答：91分鐘可以做13道應(yīng)用題。例3、孫亮看《十萬個為什么》這本書，每天看24頁，15天看完，如果每天看36頁，幾天可以看完？解：書的頁數(shù)一定，每天看的頁數(shù)與需要的天數(shù)成反比例關(guān)系設(shè)X天可以看完，就有24：36=x：1536X=24×15x=360÷36=10答：10天就可以看完。十七、按比例分配問題【含義】所謂按比例分配，就是把一個數(shù)按照一定的比分成若干份。這類題的已知條件一般有兩種形式：一是用比或連比的形式反映各部分占總數(shù)量的份數(shù)，另一種是直接給出份數(shù)?！緮?shù)量關(guān)系】從條件看，已知總量和幾個部分量的比；從問題看，求幾個部分量各是多少。總份數(shù)＝比的前后項之和【解題思路和方法】先把各部分量的比轉(zhuǎn)化為各占總量的幾分之幾，把比的前后項相加求出總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾（以總份數(shù)作分母，比的前后項分別作分子），再按照求一個數(shù)的幾分之幾是多少的計算方法，分別求出各部分量的值。例1、學(xué)校把植樹560課的任務(wù)按人數(shù)分配給五年級三個班，已知一班有47人，二班有48人，三班有45人，三個班各植樹多少棵？解：總份數(shù)為47+48+45=140一班植樹560×=188（棵）二班植樹560×=192（棵）三班植樹560×=180（棵）答：一、二、三班分別植樹188棵、192棵、180棵。例2、用60厘米長的鐵絲圍成一個三角形，三角形三條邊的比是3:4:5.三條邊的長各是多少？解：3+4+5=1260×=15（厘米）60×=20（厘米）60×=25（厘米）答：三角形三條邊的長分別是15厘米，20厘米，25厘米。例3、從前有個牧民，臨死前留下遺言，要把17只羊分給三個兒子，大兒子份總數(shù)的，二兒子份總數(shù)的，三兒子分總數(shù)，并規(guī)定不許把羊宰割分，求三個兒子各分多少只羊？解：如果用總數(shù)乘以分率的方法解答，顯然得不到符合題意的整數(shù)解。如果用按比例分配的方法解答，則很容易得到=9：6：29+6+2=1717×=917×=617×=2答：大兒子分得9只羊，二兒子分得6只羊，三兒子分得2只羊。十八、百分?jǐn)?shù)問題【含義】百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)。百分?jǐn)?shù)是一種特殊的分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)常常可以通分、約分，而百分?jǐn)?shù)則無需；分?jǐn)?shù)既可以表示“率”，也可以表示“量”，而百分?jǐn)?shù)只能表示“率”；分?jǐn)?shù)的分子、分母必須是自然數(shù)，而百分?jǐn)?shù)的分子可以是小數(shù)；百分?jǐn)?shù)有一個專門的記號“%”。在實際中和常用到“百分點”這個概念，一個百分點就是1%，兩個百分點就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”、“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝比較量÷標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量÷百分?jǐn)?shù)【解題思路和方法】一般有三種基本類型：（1）求一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾；（2）已知一個數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個數(shù)的百分之幾是多少，求這個數(shù)。例1、創(chuàng)庫里有一批化肥，用去720千克，剩下6480千克，用去的與剩下的各占原重量的百分之幾？解：（1）用去的占720÷（720+6480）=10％（2）剩下的占6480÷（720+6480）=90％答：用去了10％，剩下的90％。例2、紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，男職工人數(shù)比女職工少百分之幾？解：本題中女職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，男職工比女職工少的人數(shù)是比較量所以（525-420）÷525=0.2=20％或者1-420÷525=0.2=20％答：男職工人數(shù)比女職工少20％。例3、紅旗化工廠有男職工420人，女職工525人，女職工比男職工人數(shù)多百分之幾？解：本題中男職工人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)量，女職工比男職工多的人數(shù)是比較量因此（525-420）÷420=0.22=25％或者525÷420-1=0.25=25％答：女職工人數(shù)比男職工多25％。十九、“牛吃草”問題【含義】“牛吃草”問題是大科學(xué)家牛頓提出的問題，也叫“牛頓問題”。這類問題的特點在于要考慮草邊吃邊長這個因素?！緮?shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長量×天數(shù)【解題思路和方法】解這類題的關(guān)鍵是求出草每天的生長量。例1、一塊草地，10頭牛20天可以把草吃完，15頭牛10天可以把草吃完。問多少頭牛5天可以把草吃完？解：草是均勻生長的，所以，草總量=原有草量+草每天生長量×天數(shù)。求“多少頭牛5天可以把草吃完”，就是說5天內(nèi)的草總量要5天吃完的話，得有多少頭牛？設(shè)每頭牛每天吃草量為1，按一下步驟來解答：求草每天的生長量因為，一方面20天內(nèi)的草總量就是10頭牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另一方面，20天內(nèi)的草總量又等于原有的草量加上20天內(nèi)的生長量，所以1×10×20=原有草量+20天內(nèi)的生長量同理1×15×10=原有草量+10天內(nèi)生長量；由此可知（20-10）天內(nèi)草的生長量為1×10×20-1×15×10=50因此，草每天的生長量為50÷（20-10）=5求原有草量原有草量=10天內(nèi)總草量-10天內(nèi)生長量=1×15×10-5×10=100求5天內(nèi)草總量5天內(nèi)草總量=原有草量+5天內(nèi)生長量=100+5×5=125求多少頭牛5天吃完草因為每頭牛每天吃草量為1，所以每頭牛5天吃草量為5。因此5天吃完草需要牛的頭數(shù)125÷5=25（頭）答：需要5頭牛5天可以吃完草。例2、一只船有一漏洞，水以均勻速度進入船內(nèi)，發(fā)現(xiàn)漏洞時已經(jīng)進了一些水。如果有12個人淘水，三小時可以淘完；如果只有5人淘水，需要10小時才能淘完。求17人幾小時淘完？解：這是一道變相的”牛吃草”問題。與上題不同的是，最后一問給出了人數(shù)（相當(dāng)于“牛數(shù)”），求時間，設(shè)每人每小時淘水量為1，按以下步驟計算：求每小時的進水量因為，3小時內(nèi)的總水量=1×12×3=原有水量+3小時進水量10小時內(nèi)的總水量=1×5×10=原有水量+10小時進水量所以，（10-3）小時內(nèi)的進水量為1×5×10-1×12×3=14因此，每小時的進水量為14÷（10-3）=2求淘水前原有水量原有水量=1×12×3-3小時進水量=36-2×3=30求17人幾小時淘完17人每小時的淘水量為17，因為每小時漏進水為2，所以實際上船中每小時減少的水量為（17-2），所以17人淘完水的時間是30÷（17-2）=2答：17人2小時可以淘完水。二十、雞兔同籠問題【含義】這是古典的算術(shù)問題。已知籠子里雞、兔共有多少只和多少只腳，求雞、兔各有多少只的問題，叫做第一雞兔同籠問題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差，求雞、兔各是多少的問題叫做第二雞兔同籠問題。【數(shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實際腳數(shù)－2×雞兔總數(shù)）÷（4－2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)－實際腳數(shù)）÷（4－2）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（2×雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）÷（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4×雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）÷（