杭州學軍中學海創(chuàng)園學校2023學年第二學期期中考試高二數(shù)學試卷命題人：蔡蓉蓉審卷人：范文亮一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先計算補集，再計算交集；【詳解】,故選:B.2.已知為虛數(shù)單位，若，則（）A. B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】由復數(shù)的運算及共軛復數(shù)的定義即可求出結果.【詳解】因為，所以，.故選：B.3.已知是兩條不同的直線，為兩個不同的平面，則下面四個命題中，正確的命題是（）A.若，則 B.若，則C若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】由空間中直線與平面、平面與平面的位置關系逐一進行分析即可．【詳解】解：對于A：若，則或或與相交，故A錯誤；對于B：要得到，則需要與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，只有得不到，故B錯誤；對于C：若，則或與相交，故C錯誤；對于D：若，由面面垂直的判定定理可得，故D正確；故選：D4.根據(jù)分類變量x與y的觀察數(shù)據(jù)，計算得到，依據(jù)下表給出的獨立性檢驗中的小概率值和相應的臨界值，作出下列判斷，正確的是（）0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828

A.有95%的把握認為變量x與y獨立B.有95%的把握認為變量x與y不獨立C.變量x與y獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%D.變量x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合獨立性檢驗的定義即可求解.【詳解】因為，所以變量x與y不獨立，這個結論犯錯誤的概率不超過10%.故選：D.5.已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則的解析式可能是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性、定義域結合三角函數(shù)的性質(zhì)判定即可.【詳解】觀察圖象可知函數(shù)為偶函數(shù)，對于A，，為奇函數(shù)，排除；對于B，，為奇函數(shù)，排除；同理，C、D選項為偶函數(shù)，而對于C項，其定義域為，不是R，舍去，故D正確.故選：D6.已知數(shù)列是遞增數(shù)列，且，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用一次函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結合數(shù)列的增減性得到關于的不等式組，解之即可得解.【詳解】因為數(shù)列遞增數(shù)列，且，所以，解得，則的取值范圍是．故選：D．7.若圓與圓外切，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由題意外切條件等價于，進一步求圓弧上一點到定點的距離的范圍即可求解.【詳解】兩圓的方程分別為和，故外切條件等價于和之間的距離為，即.記，，則點在軌跡上，所求的即為的取值范圍.由于，故，且，同時，上面的上界和下界分別在和時取到.而是在一個連續(xù)的圓弧上，故上的值都可以取到，所以取值范圍是.故選：D.【點睛】關鍵點點睛：關鍵是將原問題轉(zhuǎn)換為求圓弧上的點到定點的距離，由此即可順利得解.8.“布朗運動”是指微小顆粒永不停息的無規(guī)則隨機運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由兩個倉組成，某粒子作布朗運動時，每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉或者容器外，一旦粒子到達容器外就會被外部捕獲裝置所捕獲，此時試驗結束．已知該粒子初始位置在1號倉，則試驗結束時該粒子是從1號倉到達容器外的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設從號倉出發(fā)最終從1號倉出的概率為，再根據(jù)題意列出的關系求解即可.【詳解】設從號倉出發(fā)最終從1號倉出概率為，所以，解得.故選：C二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目的要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有錯選的得0分．9.已知橢圓：的兩個焦點分別為，，是C上任意一點，則（）A.的離心率為 B.的周長為12C.的最小值為3 D.的最大值為16【答案】BD【解析】【分析】首先分析題意，利用橢圓性質(zhì)進行逐個求解，直接求出離心率判斷A，利益橢圓的定義求出焦點三角形周長判斷B，舉反例判斷C，利用基本不等式求最大值判斷D即可.【詳解】由橢圓得則所以，故A錯誤;易知的周長為故B正確；當在橢圓長軸的一個端點時，取得最小值，最小值為，故C錯誤；由基本不等式得，當且僅當時取等，則取得最大值16，故D正確.故選：BD.10.已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，且，則下列結論正確的是（）A. B.C.角B的最大值為 D.的外接圓面積的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】應用余弦定理計算判斷A選項，再結合余弦定理及正弦定理化簡弦化切得出B選項，根據(jù)兩角和差正切結合基本不等式判斷C選項，根據(jù)正弦定理求外接圓的半徑范圍即可求出外接圓面積最值判斷D選項.【詳解】若，且，由余弦定理可得，故A正確；依題意，所以,又因為，可得,左右同時乘，可得，B選項正確；因為cosC=所以，當且僅當取等號，所以，C選項錯誤；因為，所以,的外接圓直徑，外接圓面積，當時，外接圓面積的最小值為，故D正確．故選：ABD.11.在邊長為2的正方體中，動點滿足，且，下列說法正確的是（）A.當時，的最小值為B.當時，異面直線與所成角的余弦值為C.當，且時，則的軌跡長度為D.當時，與平面所成角的正弦值的最大值為【答案】AD【解析】【分析】對于A，確定M的位置，利用側(cè)面展開的方法，求線段的長，即可判斷；對于B，利用平移法，作出異面直線所成角，解三角形，即可判斷；對于C，結合線面垂直以及距離確定點M的軌跡形狀，即可確定軌跡長度；對于D，利用等體積法求得M點到平面的距離，結合線面角的定義求得與平面所成角的正弦值，即可判斷.【詳解】對于A，在上取點H，使，在上取點K，使，因為，即，故M點在上，將平面與平面沿著展開到同一平面內(nèi)，如圖：連接交于P，此時三點共線，取到最小值即的長，由于，則，故，即此時的最小值為，A正確；對于B，由于時，則，此時M為的中點，取的中點為N，連接，則,故即為異面直線與所成角或其補角，又,，故，而異面直線所成角的范圍為，故異面直線與所成角的余弦值為，B錯誤；對于C，當時，可得點M的軌跡在內(nèi)（包括邊界），由于平面，平面，故，又，平面，故平面，平面，故，同理可證,平面，故平面，設與平面交于點P，由于，為邊長為的正三角形，則點A到平面的距離為，若，則，即M點落在以P為圓心，為半徑的圓上，P點到三遍的距離為，即M點軌跡是以P為圓心，為半徑的圓的一部分，其軌跡長度小于圓的周長，C錯誤；對于D，因為平面，平面，故平面，因為當時，，即M在上，點M到平面的距離等于點B到平面的距離，設點B到平面的距離為d，則，為邊長為的正三角形，即，解得，又M在上，當M為的中點時，取最小值，設直線與平面所成角為，則，即與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確，故選：AD【點睛】難點點睛：本題考查了空間幾何體中線段和差最值以及幾何體中的軌跡問題，以及線線角和線面角的求解，綜合性較強，難度較大，解答時要發(fā)揮空間想象，明確空間的位置關系，難點在于C，D選項的判斷，對于C，要結合空間距離，確定動點的軌跡形狀；對于D，要結合等體積法求得點到平面的距離，結合線面角的定義求解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．把答案填在答題紙的橫線上．12.已知，則__________.【答案】##【解析】【分析】由兩角和的正切公式可得出關于的等式，解出的值，在利用二倍角的正切公式可求得的值.【詳解】由得，所以.故答案為：.13.已知函數(shù)，，如果對任意的，，都有成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為

，求導函數(shù)，分別求出函數(shù)的最大值，的最小值，進而可建立不等關系，即可求出a的取值范圍．【詳解】由，可得，當，，所以在單調(diào)遞減，，，在上單調(diào)遞增，，對任意的，都有成立，，，故答案為：．14.用組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中個位數(shù)字小于百位數(shù)字且百位數(shù)字小于萬位數(shù)字的五位數(shù)有n個，則的展開式中，的系數(shù)是_______．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】【分析】根據(jù)排列和組合計數(shù)公式求出，然后利用二項式定理進行求解即可．【詳解】用組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)中，滿足個位小于百位且百位小于萬位的五位數(shù)有個，即，當時，不妨設，則，所以的系數(shù)是.故答案為：2023．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，滿足．（1）求證：；（2）求的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡即可.（2）利用（1），求出，表示出，并進行換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),進而求得最大值.【小問1詳解】由題，由正弦定理：，所以，整理，所以，結合三角形內(nèi)角性質(zhì)，或（舍）,.【小問2詳解】由，則由（1）問，得：，所以，且又，令，則，所以因為,當時，所求的最大值為.16.如圖所示，已知三棱臺中，，，，，．（1）求二面角的余弦值；（2）設E、F分別是棱、的中點，若平面，求棱臺的體積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由二面角定義可得二面角的平面角為，結合垂直關系及余弦定理求其余弦值即可；（2）將棱臺補全為棱錐，利用垂直關系證明面，進而得到相關線段垂直并求出線段的長度，根據(jù)求體積.【小問1詳解】因為，，所以二面角的平面角為．因為，，所以，．因為，所以．因為，所以，故二面角余弦值為．【小問2詳解】因為是三棱臺，所以直線、、共點，設其交點為O，因為E、F分別是棱、的中點，所以直線經(jīng)過點O．因為，，且面，所以面，又面，所以．因為，，所以．因為平面，平面，所以，所以，，故F為的中點．三棱臺的體積．17.書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機構為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點值表示）（2）若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；（3）為了進一步了解年輕人的閱讀方式，研究機構采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望．附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．【答案】（1）（2）（3）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計算方法計算即可；（2）依據(jù)，利用正態(tài)分布的對稱性計算即可；（3）先由題意得到隨機變量的取值，并分別計算相應的概率，然后列出分布列，并按期望公式計算即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：．【小問2詳解】由題意知，即，所以．【小問3詳解】由題意可知，和的頻率之比為：，故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，隨機變量的取值可以為，，，，，故的分布列為：0123所以.18.已知雙曲線，過該曲線上的點作不平行于坐標軸的直線交雙曲線的右支于另一點，作直線交雙曲線的漸近線于兩點A，B（A在第一象限）,其漸近線方程為，且，（1）求雙曲線方程．（2）證明：直線過定點.（3）當?shù)男甭蕿樨摂?shù)時，求四邊形的面積的取值范圍．【答案】（1）（2）證明見解析（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)漸近線方程可得，結合雙曲線所過的點可求，故可得雙曲線方程.（2）聯(lián)立直線方程和雙曲線方程，結合判別式可得的斜率的范圍，再由漸近線方程可得的坐標，由平行四邊形可求出的方程，故可得定點.（3）利用（2）的結果結合弦長公式可用的斜率表示面積，結合斜率的范圍可求面積的范圍.小問1詳解】因為漸近線，則，代入點可得，故，即雙曲線方程為：．【小問2詳解】設，由可得，故且，故或且，又，故，由解得，則，同理可得，故，而，可得，故，故，故，，設直線的斜率為，則，直線的方程為，即，所以過定點．【小問3詳解】由（2）可得直線與的距離為，故，由題意可得四邊形是平行四邊形，而，故四邊形的面積為，，結合（2）中的取值范圍可得．故，故.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的范圍問題，往往需要聯(lián)立不同類型的方程，用合適的變量變式目標函數(shù)，而后者的最值往往可以通過函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式來處理.19.若有窮數(shù)列（n是正整數(shù)），滿足即（i是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．（1）已知數(shù)列是項數(shù)為7的對稱數(shù)列，且成等差數(shù)列，，試寫出的每一項；（2）已知是項數(shù)為的對稱數(shù)列，且構成首項為50，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當k為何值時，取到最大值？最大值為多少？（3）對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前2024項和．【答案】（1）（2）128（3）答案見解析【解析】【分析】（1）設前項的公差為，求出公差，從而得到，，再根據(jù)對稱性得到其余項；（2）首先利用等