第第頁浙江省強(qiáng)基聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合A={x||x?1|<2}，B=?1,0,1,2,3，則A∩B=A．?1,0 B．?1,3 C．0,1,2 D．1,2,32．若z?2z=i，則A．?1+i B．?1?i C．1?i D．1+i3．已知向量a=4,0，b=x,3，若A．?1 B．0 C．1 D．24．將半徑為4的半圓面圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的體積為（）A．83π B．833π 5．已知sinα+β=1725，A．2425 B．?2425 C．76．已知圓O：x2+y2=2上一點(diǎn)P1,1關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，若A．2 B．2 C．22 7．已知函數(shù)fx=2ax?lnx,x>0A．12e,12 B．12e,8．現(xiàn)有一排方塊，其中某些方塊間有間隔.從中拿出一個(gè)方塊或緊貼的兩個(gè)方塊，而不改變其余方塊的位置，稱為一次操作.如圖所示，狀態(tài)為3,2的方塊：可以通過一次操作變成以下狀態(tài)中的任何一種：3,1，3，2,2，1,2或1,1,2.游戲規(guī)定由甲開始，甲、乙輪流對方塊進(jìn)行操作，拿出最后方塊的人獲勝.對于以下開局狀態(tài)，乙有策略可以保證自己獲得游戲勝利的是（）A．3,2,1 B．4,2 C．2,1,1 D．5,3二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9B．若0<PC<1，0<PD<1，且C．根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖判斷出兩個(gè)變量線性相關(guān)，由最小二乘法求得其回歸直線方程為y=0.4x+a，若其中一個(gè)散點(diǎn)坐標(biāo)為?a,5.4，則D．將兩個(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量x,y的一組數(shù)據(jù)x1,y1，x2,y2，…，xn,yn調(diào)整為x1,y10．設(shè)函數(shù)fxA．曲線y=fx存在對稱軸 B．曲線y=fC．fx≤211．已知橢圓Γ：x29+y24=1，直線l：2x+3y+12=0.A1，A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過直線l上任意一點(diǎn)P作橢圓Γ的切線PM，PN，切點(diǎn)分別為M，N，橢圓上任意一點(diǎn)Q（異于AA．直線MN過定點(diǎn) B．F1，F(xiàn)2，B1C．當(dāng)MN∥l時(shí)，?32,?1是線段MN的三等分點(diǎn) 三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．雙曲線x2a2?y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)為F13．在動(dòng)畫和游戲開發(fā)中，相切的曲線可生成平滑的角色路徑和物體表面.若兩條曲線在公共點(diǎn)處有相同的切線，且曲線不重合，則稱兩條曲線相切.設(shè)兩拋物線y=x2+a與y214．對7個(gè)相鄰的格進(jìn)行染色，每個(gè)格均可從紅、綠、黃三種顏色中選一種，則沒有相鄰紅格的概率為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.15．在ΔABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a（1）求A.（2）若b=5，c=2，BC，AC邊上的兩條中線AM，BN相交于點(diǎn)P，（Ⅰ）求AM；（Ⅱ）求cos∠MPN16．已知拋物線C：y2=2px的焦點(diǎn)為F，拋物線C上點(diǎn)M2,（1）求拋物線C的方程；（2）設(shè)點(diǎn)D?1,0，過D作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，證明：x=1是∠AFB17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，AD=4，∠BAD=60°，PD⊥CD，E為AB的中點(diǎn)，M為CE的中點(diǎn).（1）證明：PM⊥AB；（2）若PA=15，N為PC中點(diǎn)，且AN與平面PDM所成角的正弦值為156，求四棱錐18．已知函數(shù)fx=3x（1）若函數(shù)fx是偶函數(shù)，求φ（2）當(dāng)φ=0時(shí)，討論函數(shù)fx在0,+（3）若?x≥0，fx≥0，求19．設(shè)n≥3，對于數(shù)列a1，a2，…，an，若對任意k∈1,2,?,n?1，a1+a2+?+（1）判斷數(shù)列sin0，sinπ2，sinπ，sin3π2，sin2π與數(shù)列cos0，（2）若存在公比為負(fù)數(shù)的等比數(shù)列a1，a2，…，（3）設(shè)a1，a2，…，an為強(qiáng)數(shù)列，且數(shù)列中正數(shù)與負(fù)數(shù)交替出現(xiàn)（不出現(xiàn)0），證明：一定可以從數(shù)列a1，

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：依題意，A=x?1<x<3，

又因?yàn)樗訟∩B=0,1,2故答案為：C.【分析】解絕對值不等式得出集合A，再利用交集的運(yùn)算法則得出集合A∩B.2．【答案】D【解析】【解答】解：z?2z又因?yàn)?1?i=2故答案為：D.【分析】根據(jù)已知條件和復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則得出復(fù)數(shù)z.3．【答案】C【解析】【解答】解；由a=4,0，b=x,3，由a+2b⊥a?故答案為：C.【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量垂直的坐標(biāo)表示，從而得出x的值.4．【答案】B【解析】【解答】解：由題意知，半圓的周長為4π，

設(shè)圓錐底面圓的半徑為r則4π=2πr，解得r=2所以圓錐的高為?=4所以圓錐的體積為V=1故答案為：B.【分析】由題意結(jié)合弧長公式和圓的周長公式求出圓錐底面圓的半徑長，再結(jié)合母線的長和勾股定理得出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式得出該圓錐的體積.5．【答案】D【解析】【解答】解：由sin=2sinαcosβ=25，

則故答案為：D.【分析】根據(jù)兩角和、差的正弦公式和已知條件得出sinα?β6．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)镼1,?1，設(shè)Mx0,y則直線MP:y?1y0則Ry0?故OR?故答案為：B.【分析】設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)，寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，從而寫出直線MP,MQ方程，進(jìn)而求出R,S的坐標(biāo)，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得到OR?7．【答案】A【解析】【解答】解：將fx?f?x≥0等價(jià)于2ax?lnx?2x2?2a+3x+2即a≥lnx2xx+1令?x=ln可得?x=lnx2x由?maxx=lne2e=令gx=x+1x，由基本不等式可得當(dāng)x→+∞，g由a≥lnx2x可得a≥lnx由a≤lnx2x可得a≤lnx2x故a的取值范圍為12e故答案為：A.

【分析】由fx?f?x≥0轉(zhuǎn)化為2a?ln8．【答案】A【解析】【解答】解：對于A，

3,2,1經(jīng)過甲操作可以變?yōu)?,2，3,1，3,1,1，2,2,1，1,2,1或1,1,2,1，對于3,2，乙操作成2,2；

對于3,1，乙操作成1,1；

對于3,1,1，乙操作成1,1,1,1；

對于2,2,1，乙操作成2,2；對于1,2,1，乙操作成1,1；

對于1,1,2,1，乙操作成1,1,1,1.此時(shí)甲操作后，乙可以采取對稱策略，保證自己能拿到最后一個(gè)方塊，

無論如何乙都能贏，故A正確；對于B，甲將4,2操作為2,2，此時(shí)乙可以操作為2，2,1，1,2，甲必勝，故B錯(cuò)誤；對于C，甲將2,1,1操作為1,1，甲必勝，故C錯(cuò)誤；對于D，甲將5,3操作為1,2,3，由選項(xiàng)A知甲必勝，故D錯(cuò)誤.故答案為：A.【分析】通過舉例列出所有的可行性，在甲操作后，乙采取對稱策略，即可保證自己能贏，則判斷出選項(xiàng)A；通過已知條件和操作驗(yàn)證，從而得出甲贏，則判斷出選項(xiàng)B、選項(xiàng)C和選項(xiàng)D，進(jìn)而找出正確的選項(xiàng).9．【答案】B,D【解析】【解答】解：對于A，我們把數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10重新排列，得到3,4,6,7,8,9,10,11，

又因?yàn)?+102則數(shù)據(jù)8,6,4,11,3,7,9,10的上四分位數(shù)為9.5，故A錯(cuò)誤；對于B，因?yàn)镻D=1?PD由條件概率公式得PD得到PCD=PC對于C，因?yàn)樯Ⅻc(diǎn)不一定在回歸直線上，不能直接代入直線方程，故C錯(cuò)誤，對于D，由于R2=1?i=1ny則y'=y則yi?yi，故答案為：BD.【分析】利用上四分位數(shù)的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)A；利用條件概率公式和獨(dú)立事件乘法求概率公式判斷出選項(xiàng)B；利用散點(diǎn)圖的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)C；利用決定系數(shù)的性質(zhì)判斷出選項(xiàng)D，從而找出說法正確的選項(xiàng).10．【答案】A,C,D【解析】【解答】解：對于A：因?yàn)閒x又因?yàn)閤=1是y=2sin(所以曲線y=fx存在對稱軸x=1對于B：因?yàn)閒a?x所以曲線y=fx對于C：因?yàn)閒又因?yàn)閥=2sin(所以f(x)≤22，當(dāng)且僅當(dāng)對于D：當(dāng)x=0時(shí)，2f(0)=0，顯然等號(hào)成立；當(dāng)x≠0時(shí)，則fx故答案為：ACD.

【分析】根據(jù)二倍角的余弦公式化簡可得fx=2sinπ11．【答案】A,B,D【解析】【解答】解：依題意，如圖所示：對于A，根據(jù)橢圓極點(diǎn)、極線定義，直線l關(guān)于橢圓Γ存在極點(diǎn)，

即為直線MN的定點(diǎn)（證明后續(xù)提供），設(shè)極點(diǎn)為Rx0,y0，則直線l的方程為x故直線l關(guān)于橢圓Γ的極點(diǎn)（定點(diǎn)）為R?對于B，設(shè)Qx1,y1，則Q點(diǎn)處的切線方程為xx19+又因?yàn)镕1?5,0，故F1B1對于C，當(dāng)MN∥l時(shí)，直線MN的方程為y=?23x?2對于D，由圓的相交弦定理和橢圓的光學(xué)性質(zhì)可知：QB則等號(hào)在Q為短軸端點(diǎn)時(shí)取到，故D正確.故答案為：ABD.附注：1.定義：任取一點(diǎn)，它可以在圓錐曲線上，也可以在圓錐曲線外或內(nèi)，過這點(diǎn)作圓錐曲線的割線，產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，過這兩個(gè)交點(diǎn)作圓錐曲線的切線，兩條切線相交于一點(diǎn).隨著割線繞任取之點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，交點(diǎn)將描繪出一條直線，若任取之點(diǎn)稱為極點(diǎn)，則這條直線就稱為極點(diǎn)的極線，反之，任意作一條直線，它可以與圓錐曲線相交、相切或相離，在直線上且位于圓錐曲線外任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線，連接兩個(gè)切點(diǎn)可得一直線.讓任取之點(diǎn)在其所在直線上運(yùn)動(dòng)，則連接兩切點(diǎn)的直線也跟著運(yùn)動(dòng)，但它將繞著一個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，若開始時(shí)的直線稱為極線，則這個(gè)不動(dòng)的點(diǎn)就稱為這條極線的極點(diǎn).2.結(jié)論：設(shè)極點(diǎn)坐標(biāo)為Px0,極點(diǎn)的極線的方程都是xx證明：（1）先證明也就是求出極點(diǎn)在橢圓上時(shí)橢圓切線方程為xx設(shè)過點(diǎn)Px0,與橢圓聯(lián)立方程得：k2因?yàn)榍芯€方程只存在一個(gè)解，

即Δ=2k化簡得：Δ=4ka2則得出切線方程為y?y0=?（2）極點(diǎn)在橢圓之外的情況.過極點(diǎn)作橢圓的兩條切線，設(shè)切點(diǎn)分別為Ax1,由上面的第（1）條，直接寫出兩條切線的方程：xx1由于極點(diǎn)當(dāng)然在這兩條切線上，所以x0x1這又說明，點(diǎn)Ax1,y1所以上式就是直線AB的方程，即極點(diǎn)P的極線的方程.（3）極點(diǎn)在橢圓之內(nèi)的情況.過點(diǎn)Px0,y0作由第（1）條，得過點(diǎn)P'的橢圓切線方程為x讓y=0，得切線與x軸的交點(diǎn)也就是切線的橫截距m=a同理可以得到切線與y軸的交點(diǎn)即切線的縱截距n=b則由直線的截距式方程xm+yn=1得切線方程為xa2x0+y12．【答案】3【解析】【解答】解：因?yàn)镻F1⊥x軸，所以P在RtΔPF1F所以PF2?PF故答案為：3.【分析】利用PF1⊥x13．【答案】3【解析】【解答】解：由題意，如圖所示：因?yàn)閮蓲佄锞€y=x2+a設(shè)兩個(gè)拋物線相切于x0,y0，拋物線y2=2函數(shù)y=22x所以2x0=12所以，切點(diǎn)為2?32,1故答案為：38.

【分析】由題意得出兩拋物線在第一象限相切，設(shè)兩拋物線的公共切點(diǎn)為x0,14．【答案】136【解析】【解答】解：0個(gè)紅格，共271個(gè)紅格，共C72個(gè)紅格，共C63個(gè)紅格，共C54個(gè)紅格，共C4所以P=2故答案為：136243【分析】通過討論紅格個(gè)數(shù)，則由分類加法計(jì)數(shù)原理和古典概率公式，從而得出沒有相鄰紅格的概率.15．【答案】（1）解：由正弦定理得sinAcosC+3sinAsinC?sinB?sinC=0，

???????∵sinB=sinπ?A?C=sinA+C=sinAcosC+cosAsinC，（2）解：（Ⅰ）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM=12AB+AC，兩邊平方得：

AM2=14AB2+2AB?AC+AC2=14×4+2AB?ACcosA+25

=14×4+2×2×5cosπ3+25=394，

∴AM=392.【解析】【分析】（1）由正弦定理和兩角和的正弦公式得到3sinA?cos（2）（Ⅰ）將AM=12（Ⅱ）利用AM與BN的夾角等于∠MPN，其中AM=12從而計(jì)算出AM??BN?，BN?（1）由正弦定理得sinA∵sinB=∴3sin∵sinC≠0，∴3∴sinA?又0<A<π，故?π∴A?π6=（2）（Ⅰ）∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)，∴AM=AM=1∴AM=（Ⅱ）∵M(jìn)，N分別是BC，AC的中點(diǎn)，AM=12所以AM與BN的夾角等于∠MPN，∴cos∠MPN=∵AM==1BN=1又（Ⅰ）中AM=所以cos∠MPN=16．【答案】（1）解：由MF=xM所以拋物線C的方程為y2（2）證明：根據(jù)題意，直線AB斜率不為0，

設(shè)其方程為：x=my?1，Ax1,由x=my?1y2=4x得y2?4my+4=0，

由Δ由韋達(dá)定理得：y1+y則k=2my1y2?2y所以x=1是∠AFB的角平分線.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件和拋物線的定義得出p的值，從而得出拋物線C的方程.（2）根據(jù)題意，直線AB斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為：x=my?1，將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，再根據(jù)韋達(dá)定理可得kFA+kFB=0，即直線FA與直線FB（1）由MF=xM所以拋物線C的方程為y2（2）根據(jù)題意，直線AB斜率不為0，設(shè)其方程為：x=my?1，Ax1,由x=my?1y2=4x得y2?4my+4=0，由Δ由韋達(dá)定理得：y1+y則k=2my1y2所以x=1是∠AFB的角平分線.17．【答案】（1）證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點(diǎn)，因?yàn)锽E=CD且BE∥CD，

所以四邊形CDBE為平行四邊形，所以BD與CE的交點(diǎn)即為CE中點(diǎn)M，由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60°，

由余弦定理得BD=23所以三角形為直角三角形，所以AB⊥BD，又因?yàn)锳B∥CD，PD⊥CD，

所以AB⊥PD，且BD∩PD=D，

所以AB⊥平面PBD，又因?yàn)镻M?平面PBD，所以AB⊥PM.（2）解：由（1）知，CD⊥平面PDM，

如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A23,?2,0，C0,1,0，

設(shè)Px,0,z平面PDM的一個(gè)法向量為n=設(shè)直線AN與平面PDM所成角為θ，則sinθ=化簡得x?43由PA=15，可得x?232+z2故V=1【解析】【分析】（1）利用勾股定理證出AB⊥BD，再利用題意證出AB⊥PD，從而證出直線AB⊥平面PBD，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證出PM⊥AB.（2）由（1）知，CD⊥平面PDM，從而建立空間直角坐標(biāo)系，再利用線面所成角的向量求法得出高度h的值，再結(jié)合四棱錐的體積公式得出四棱錐P?ABCD???????的體積.（1）證明：在梯形ABCD中，連接交BD于CE一點(diǎn)，因?yàn)锽E=CD且BE∥CD，所以四邊形CDBE為平行四邊形，所以BD與CE的交點(diǎn)即為CE中點(diǎn)M.由已知可得，AB=2，AD=4，∠BAD=60°，由余弦定理得BD=23所以三角形為直角三角形，所以AB⊥BD，又AB∥CD，PD⊥CD，所以AB⊥PD，且BD∩PD=D，所以AB⊥平面PBD，又PM?平面PBD，所以AB⊥PM.（2）由（1）知，CD⊥平面PDM，如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DB，DC為x，y軸，垂直于底面ABCD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A23,?2,0設(shè)Px,0,z，則Nx2平面PDM的一個(gè)法向量為n=設(shè)直線AN與平面PDM所成角為θ，則sinθ=化簡得x?43由PA=15，可得x?232+故V=118．【答案】（1）解：因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶函數(shù)，所以f即3x解得：φ=±π（2）解：當(dāng)φ=0時(shí)，fxf0=0，令?x=f當(dāng)x≥π時(shí)，fx當(dāng)0<x<π時(shí)，?'x=6+8又因?yàn)閒'0=?8<0所以存在x1∈0,π當(dāng)x∈0,x1，f'x<0，fx單調(diào)遞減；

又因?yàn)閒0=0，fx1<0，f綜上所述，函數(shù)fx在0,+（3）解：當(dāng)x≥23π時(shí)，fx>4π則φ∈?π,0（?。┊?dāng)φ∈?π,?2π3時(shí)，

x+φ∈?π,0，（ⅱ）當(dāng)φ∈?若x∈π2,2π3，

所以fx若x∈0,π2，則x+φ∈?2π（ⅲ）當(dāng)φ∈?π2,0時(shí)，若只要考慮sinx+φ>0，此時(shí)令則?'x=6+8sinx+φ>0，f所以，存在x0∈0,若x∈0,x0，則f'x<0，fx遞減；

所以fx≥fx0=3x02?8sinx0+φ綜上所述，φ∈?π,【解析】【分析】（1）由偶函數(shù)的定義建立方程，從而求出φ的值.（2）代入φ=0得到f0=0，從而得出f'x，令?x=f'x后再求導(dǎo)，由fx解析式可知當(dāng)x≥π時(shí)，fx>0恒成立；當(dāng)0<x<π時(shí)，（3）當(dāng)x≥23π時(shí)，fx>0恒成立，所以當(dāng)0≤x<23π時(shí)，由f0≥0求出φ的取值范圍，再將（1）因?yàn)楹瘮?shù)fx是偶函數(shù)，所以f即3x解得：φ=±π（2）當(dāng)φ=0時(shí)，fxf0=0，令?x=f當(dāng)x≥π時(shí)，fx當(dāng)0<x<π時(shí)，?'x=6+8又f'0=?8<0所以存在x1∈0,πx∈0,x1，f'x<0，fx而f0=0，fx1<0綜上，函數(shù)fx在0,+（3）當(dāng)x≥23π時(shí)，fx>則φ∈?π,0（?。┊?dāng)φ∈?π,?2π3時(shí)，x+φ∈?π,0，（ⅱ）當(dāng)φ∈?若x∈π2,2π3所以fx若x∈0,π2，則x+φ∈?2π（ⅲ）當(dāng)φ∈?π2,0時(shí)，若只要考慮sinx+φ>0，此時(shí)令則?'x=6+8sinx+φ>0，所以存在x0∈0,若x∈0,x0，則f'x<0，fx所以fx≥fx此時(shí)cosx0+φ=3綜上，φ∈?π,19．【答案】（1）解：數(shù)列0，1，0，?1，0，前兩項(xiàng)和為1，后三項(xiàng)和為?1，不是強(qiáng)數(shù)列；數(shù)列1，0，?1，0，1，滿足第一項(xiàng)、前兩項(xiàng)、前三項(xiàng)、前四項(xiàng)、后一項(xiàng)、

后兩項(xiàng)、后三項(xiàng)、后四項(xiàng)的和均非負(fù)，是強(qiáng)數(shù)列.（2）解：（方法一：等比數(shù)列求和）

設(shè)首項(xiàng)a1=a≠0，公比q<0，

依題意，a1?a2+?+a2025≥0，即a2q+q2+?+q2024≥0，

故q+q2+?+q2024≥0，即q1?q20241?q≥0，故q2024≥1；

另一方面，a1+?+a2024?a2025≥0，

即a21+q+?+q2023q2024≥0，

故1+q+?+q2023≥0，即1?q20241?q≥0，故q2024≤1，

則q2024=1，q=?1，

又因?yàn)?，?1，1，…，1，?1，1滿足條件，綜上所述，q=?1.

（方法二：局部分析）

設(shè)首項(xiàng)a1=a≠0，公比q<0，（3）證明：注意到若連續(xù)三項(xiàng)構(gòu)成強(qiáng)數(shù)列，

則中間項(xiàng)的絕對值最小，取數(shù)列中絕對值最小的一項(xiàng)ai（若最小的同時(shí)存在正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)，取負(fù)項(xiàng)）.如果i=1，①若a1>0，則a2<0，a2>