第1節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1/30最新考綱1.了解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理；2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和處理一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題.2/301.分類加法計(jì)數(shù)原理

做一件事，完成它有n類方法，在第一類方法中有m1種不一樣方法，在第二類方法中有m2種不一樣方法，……，在第n類方法中有mn種不一樣方法.則完成這件事共有N＝________________種不一樣方法.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理

做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一個(gè)步驟有m1種不一樣方法，做第二個(gè)步驟有m2種不一樣方法，……，做第n個(gè)步驟有mn種不一樣方法.那么完成這件事共有N＝_________________種不一樣方法.知

識(shí)

梳

理m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3/303.分類加法和分步乘法計(jì)數(shù)原理，區(qū)分在于：分類加法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分類”問(wèn)題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一個(gè)方法都能夠做完這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理針對(duì)“分步”問(wèn)題，各個(gè)步驟相互依存，只有各個(gè)步驟都完成了才算完成這件事.4/30[慣用結(jié)論與微點(diǎn)提醒]1.切實(shí)了解“完成一件事”含義，以確定需要分類還是需要分步進(jìn)行.2.分類關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分步關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步.5/301.思索辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不一樣方案中方法能夠相同.(

) (2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中方法都能直接完成這件事.(

) (3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟方法是各不相同.(

) (4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成，其中任何一個(gè)單獨(dú)步驟都能完成這件事.(

)診

斷

自

測(cè)6/30解析分類加法計(jì)數(shù)原理，每類方案中方法都是不一樣，每一個(gè)方法都能完成這件事；分步乘法計(jì)數(shù)原理，每步方法都是不一樣，每步方法只能完成這一步，不能完成這件事，所以(1)，(4)均不正確.答案(1)×

(2)√

(3)√

(4)×7/302.從3名女同學(xué)和2名男同學(xué)中選1人主持主題班會(huì)，則不一樣選法種數(shù)為(

) A.6 B.5 C.3 D.2

解析5個(gè)人中每一個(gè)都可主持，所以共有5種選法.

答案

B8/303.(教材練習(xí)改編)現(xiàn)有4種不一樣顏色要對(duì)如圖所表示四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界兩塊不能用同一個(gè)顏色，則不一樣著色方法共有(

) A.24種 B.30種 C.36種 D.48種解析需要先給C塊著色，有4種結(jié)果；再給A塊著色，有3種結(jié)果；再給B塊著色，有2種結(jié)果；最終給D塊著色，有2種結(jié)果，由分步乘法計(jì)數(shù)原理知共有4×3×2×2＝48(種).答案

D9/304.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)小組，則不一樣報(bào)名方法有________種(用數(shù)字作答).

解析每位同學(xué)都有2種報(bào)名方法，所以，可分五步安排5名同學(xué)報(bào)名，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，總報(bào)名方法共2×2×2×2×2＝32(種).

答案

3210/305.(·阜新月考)已知某公園有5個(gè)門，從任一門進(jìn)，另一門出，則不一樣走法種數(shù)為_(kāi)_______(用數(shù)字作答).

解析分兩步，第一步選一個(gè)門進(jìn)有5種方法，第二步再選一個(gè)門出有4種方法，所以共有5×4＝20種走法.

答案

2011/30考點(diǎn)一分類加法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用【例1】(1)滿足a，b∈{－1，0，1，2}，且關(guān)于x方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解有序數(shù)對(duì)(a，b)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. (2)在全部?jī)晌粩?shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字兩位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.

解析(1)當(dāng)a＝0時(shí)，b值能夠是－1，0，1，2，故(a，b)個(gè)數(shù)為4；當(dāng)a≠0時(shí)，要使方程ax2＋2x＋b＝0有實(shí)數(shù)解，需使Δ＝4－4ab≥0，即ab≤1.

若a＝－1，則b值能夠是－1，0，1，2，(a，b)個(gè)數(shù)為4；12/30若a＝1，則b值能夠是－1，0，1，(a，b)個(gè)數(shù)為3；若a＝2，則b值能夠是－1，0，(a，b)個(gè)數(shù)為2.由分類加法計(jì)數(shù)原理可知，(a，b)個(gè)數(shù)為4＋4＋3＋2＝13.(2)當(dāng)個(gè)位數(shù)字為2時(shí)，十位數(shù)字為1，共1個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為3時(shí)，十位數(shù)字為1，2，共2個(gè)；當(dāng)個(gè)位數(shù)字為4時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，共3個(gè)；……當(dāng)個(gè)位數(shù)字為9時(shí)，十位數(shù)字為1，2，3，4，…，7，8，共8個(gè)；由分類加法計(jì)數(shù)原理可知滿足條件兩位數(shù)個(gè)數(shù)為1＋2＋3＋…＋8＝36.答案(1)13

(2)3613/30規(guī)律方法

分類標(biāo)準(zhǔn)是利用分類加法計(jì)數(shù)原理難點(diǎn)所在，應(yīng)抓住題目中關(guān)鍵詞、關(guān)鍵元素和關(guān)鍵位置.(1)依據(jù)題目特點(diǎn)恰當(dāng)選擇一個(gè)分類標(biāo)準(zhǔn).(2)分類時(shí)應(yīng)注意完成這件事情任何一個(gè)方法必須屬于某一類，而且分別屬于不一樣種類兩種方法是不一樣方法，不能重復(fù).(3)分類時(shí)除了不能交叉重復(fù)外，還不能有遺漏，如本例(1)中易漏a＝0這一類.14/30【訓(xùn)練1】(1)從集合{1，2，3，…，10}中任意選出三個(gè)不一樣數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，這么等比數(shù)列個(gè)數(shù)為(

) A.3 B.4 C.6 D.8

(2)如圖，從A到O有________種不一樣走法(不重復(fù)過(guò)一點(diǎn)).15/30解析(1)以1為首項(xiàng)等比數(shù)列為1，2，4；1，3，9；以2為首項(xiàng)等比數(shù)列為2，4，8；以4為首項(xiàng)等比數(shù)列為4，6，9；把這4個(gè)數(shù)列次序顛倒，又得到另外4個(gè)數(shù)列，∴所求數(shù)列共有2(2＋1＋1)＝8個(gè).(2)分3類：第一類，直接由A到O，有1種走法；第二類，中間過(guò)一個(gè)點(diǎn)，有A→B→O和A→C→O共2種不一樣走法；第三類，中間過(guò)兩個(gè)點(diǎn)，有A→B→C→O和A→C→B→O共2種不一樣走法，由分類加法計(jì)數(shù)原理可得共有1＋2＋2＝5種不一樣走法.答案

(1)D

(2)516/30考點(diǎn)二分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)用【例2】(1)(·石家莊模擬)教學(xué)大樓共有五層，每層都有兩個(gè)樓梯，由一層到五層走法有(

) A.10種 B.25種 C.52種 D.24種 (2)(·全國(guó)Ⅱ卷)如圖，小明從街道E處出發(fā)，先到F處與小紅會(huì)合，再一起到位于G處老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓能夠選擇最短路徑條數(shù)為(

)17/30A.24 B.18 C.12 D.918/30解析(1)每相鄰兩層之間各有2種走法，共分4步.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有24種不一樣走法.(2)分兩步，第一步，從E→F，有6條能夠選擇最短路徑；第二步，從F→G，有3條能夠選擇最短路徑.由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知有6×3＝18條能夠選擇最短路徑.故選B.答案(1)D

(2)B19/30規(guī)律方法

(1)在第(1)題中，易誤認(rèn)為分5步完成，錯(cuò)選B.(2)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理應(yīng)注意：①要按事件發(fā)生過(guò)程合理分步，即分步是有先后次序；②各步中方法相互依存，缺一不可，只有各步驟都完成才算完成這件事.20/30【訓(xùn)練2】(1)用0，1，2，3，4，5可組成無(wú)重復(fù)數(shù)字三位數(shù)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. (2)(·合肥質(zhì)檢)五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，則不一樣報(bào)名方法種數(shù)為_(kāi)_______.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽冠軍(冠軍不并列)，則取得冠軍可能性有________種.21/30解析(1)可分三步給百、十、個(gè)位放數(shù)字，第一步：百位數(shù)字有5種放法；第二步：十位數(shù)字有5種放法；第三步：個(gè)位數(shù)字有4種放法，依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，三位數(shù)個(gè)數(shù)為5×5×4＝100.(2)五名學(xué)生參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，可逐一學(xué)生落實(shí)，每個(gè)學(xué)生有4種報(bào)名方法，共有45種不一樣報(bào)名方法.五名學(xué)生爭(zhēng)奪四項(xiàng)比賽冠軍，可對(duì)4個(gè)冠軍逐一落實(shí)，每個(gè)冠軍有5種取得可能性，共有54種取得冠軍可能性.答案(1)100

(2)45

5422/30考點(diǎn)三兩個(gè)計(jì)數(shù)原理綜合應(yīng)用(多維探究)命題角度1組數(shù)、組點(diǎn)、組線、組對(duì)及抽取問(wèn)題【例3－1】

假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面組成一個(gè)“正交線面對(duì)”.在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)平面組成“正交線面對(duì)”個(gè)數(shù)是(

) A.48 B.18 C.24 D.36

解析在正方體中，每一個(gè)表面有四條棱與之垂直，六個(gè)表面，共組成24個(gè)“正交線面對(duì)”；而正方體六個(gè)對(duì)角面中，每個(gè)對(duì)角面有兩條面對(duì)角線與之垂直，共組成12個(gè)“正交線面對(duì)”，所以共有36個(gè)“正交線面對(duì)”.

答案D23/30命題角度2涂色、種植問(wèn)題【例3－2】

(一題多解)如圖所表示，將一個(gè)四棱錐每一個(gè)頂點(diǎn)染上一個(gè)顏色，并使同一條棱上兩端異色，假如只有5種顏色可供使用，求不一樣染色方法種數(shù).24/3025/30法二以S，A，B，C，D次序分步染色.第一步：S點(diǎn)染色，有5種方法；第二步：A點(diǎn)染色，與S在同一條棱上，有4種方法；第三步：B點(diǎn)染色，與S，A分別在同一條棱上，有3種方法；第四步：C點(diǎn)染色，也有3種方法，但考慮到D點(diǎn)與S，A，C相鄰，需要針對(duì)A與C是否同色進(jìn)行分類，當(dāng)A與C同色時(shí)，D點(diǎn)有3種染色方法；當(dāng)A與C不一樣色時(shí)，因?yàn)镃與S，B也不一樣色，所以C點(diǎn)有2種染色方法，D點(diǎn)也有2種染色方法.由分步乘法、分類加法計(jì)數(shù)原理得不一樣染色方法共有5×4×3×(1×3＋2×2)＝420(種).26/30規(guī)律方法

(1)①注意在綜合應(yīng)用兩個(gè)原理處理問(wèn)題時(shí)，普通是先分類再分步.在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理.②注意對(duì)于較復(fù)雜兩個(gè)原理綜合應(yīng)用問(wèn)題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問(wèn)題形象化、直觀化.(2)處理涂色問(wèn)題，可按顏色種數(shù)分類，也可按不一樣區(qū)域分步完成.例題中，相鄰頂點(diǎn)不一樣色，要按A，C和B，D是否同色分類處理.27/30【訓(xùn)練3】(1)(一題多解)(·青島質(zhì)檢)如圖所表示，用4種不一樣顏色涂入圖中矩形A，B，C，D中，要求相鄰矩形涂色不一樣，則不一樣涂法有(

) A.72種 B.48種 C.24種 D.12種 (2)如圖所表示，在連結(jié)正八邊形三個(gè)頂點(diǎn)而成三角形中，與正八邊形有公共邊三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答).28/30解析(1)法一首先涂A有4種涂法，則涂B有3種涂法，C與A，B相鄰，則C有2種涂法，D只與C相鄰，則D有3種涂法，所以共有4×3×2×3＝72種涂法.法二按要求涂色最少需要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有