高級中學名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市電白區(qū)2023-2024學年高二下學期期中考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B.3 C. D.9【答案】C【解析】因為函數(shù)，所以.故選：C.2.設曲線在點處的切線與直線平行，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】B【解析】由函數(shù)，可得，則，因為直線的斜率為2，可得.故選：B.3.的展開式的常數(shù)項為（）A.210 B.252 C. D.【答案】C【解析】的通項為，且，令，解得，所以展開式的常數(shù)項為.故選：C.4.函數(shù)的圖象如圖所示，下列數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】f'1，和分別為函數(shù)在，和處切線的斜率，即圖中直線的斜率，結(jié)合圖象可得.故選：D5.已知函數(shù)的圖像如圖所示，則其導函數(shù)y=f'x的圖像可能是（A. B.C. D.【答案】A【解析】由圖可知，當時，單調(diào)遞減，，由此排除BD選項.當時，從左向右，遞增、遞減、遞增，對應導數(shù)的符號為，由此排除C選項，所以A選項正確.故選：A.6.已知，則（）A.2 B.5 C.2或5 D.2或6【答案】C【解析】由，可得或，解得或5.故選：C7.的展開式中x2y4的系數(shù)是（A. B. C.5 D.15【答案】A【解析】，的展開式的通項為，，令可得的系數(shù)是,令可得的系數(shù)是,所以的展開式中x2y4的系數(shù)是故選：A.8.中國南北朝時期著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究，設均為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同,則稱和對模同余，記為，如9和21被6除得的余數(shù)都是3，則記.若，且，則的值可以是（）A.2010 B.2021 C.2019 D.1997【答案】B【解析】因為，又，故，又，，，，結(jié)合選項可知只有B符合題意.故選：B.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.（全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列結(jié)論中不正確的有（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A：若，則，故A錯誤；對于B：若，則，故B正確；對于C：若，則，故C錯誤；對于D：若，則，故D錯誤.故選：ACD10.設，則下列說法正確的是（）A. B. C. D.【答案】BD【解析】設，對于A：，故A錯誤；對于B：是展開式中的系數(shù)，由二項式展開式的通項為，，取，得的系數(shù)為，即，故B正確；對于C：因為，所以，故C錯誤；對于D：，所以，故D正確．故選：BD11.已知函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在時，取得極小值B.對于，恒成立C.若，則D.若對于，不等式恒成立，則的最大值為，的最小值為【答案】BCD【解析】選項A：由題意可得，所以當時，在單調(diào)遞減，所以在上不存在極值點，A說法錯誤；選項B：因為且由A可知在單調(diào)遞減，所以，恒成立，B說法正確；選項C：令，x∈0,π，則，由B可知在x∈0,π恒成立，所以在x∈0,所以當時，，即，C說法正確；選項D：由C可知當時，，所以對于，不等式恒成立，則的最大值為，的最小值為，D說法正確；故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題6分，共18分.12.已知的展開式中第5項與第8項的二項式系數(shù)相等，則______.【答案】11【解析】根據(jù)題意知，所以.故答案為：1113.函數(shù)無極值，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】因為，則，若函數(shù)無極值，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.14.拉格朗日中值定理是微分學中的基本定理之一，其定理陳述如下：如果函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù),在開區(qū)間內(nèi)可導,且存在點,使得，則稱為函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的中值點．若函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)為，函數(shù)在區(qū)間[0，1]上的“中值點”的個數(shù)為，則______.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】2【解析】對于函數(shù)，若，由，得，若，則，故，所以函數(shù)在區(qū)間上的“中值點”的個數(shù)．對于，函數(shù)，若，由，得，若，則，故，所以函數(shù)在區(qū)間0,1上的“中值點”的個數(shù)，所以，.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共74分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.（1）計算：；（2）解方程：【答案】解：（1）．（2），則，得或（舍）所以方程的解為.16.某校高二年級開設了《數(shù)學建模》、《電影賞析》、《經(jīng)典閱讀》、《英語寫作》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學打算在上述四門課程中隨機選擇一門進行學習，已知三人選擇課程時互不影響，且每人選擇每一門課程都是等可能的．（1）三人共有多少種不同的課程選擇種數(shù)?（2）求三位同學選擇的課程互不相同的概率;（3）若至少有兩位同學選擇《數(shù)學建模》，則三人共有多少種不同的選課種數(shù)?【答案】解：（1）因為每位同學都有四種不同的選擇，所以選課種數(shù)為；（2）三位同學選擇的課程互不相同的選課種數(shù)為，所以三位同學選擇的課程互不相同的概率為；（3）恰有兩位同學選擇《數(shù)學建模》，另一位同學在其它三門選一門，故選課種數(shù)為，三位同學都選擇《數(shù)學建?！返倪x課種數(shù)為1，所以若至少有兩位同學選擇《數(shù)學建模》，則三人共有10種不同的選課種數(shù)．17.已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程;（2）求證：當時，．【答案】解：（1）因為，所以，所以，又，所以曲線y=fx在點1,f1處的切線方程為（2）令，則，那么令，得，當x∈(0,1)時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，當時，取得最小值，即，即，所以，當時，．18.已知函數(shù)在處取得極值．（1）求a，b的值；（2）求在上的最大值；（3）若關于的方程有三個不同的實根，求的取值范圍.【答案】解：（1）因為，所以，因為在處取得極值，所以，故，解得；（2）由（1）知，所以，令則或，當時，，則單調(diào)遞減，當或時，，則單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上，當時，取得最大值為;（3）由（2）知在時取得極大值為，在時取極小值，若關于的方程有三個不同的根，如圖，則，得，所以的取值范圍是（-1219.已知函數(shù)．（1）求的單調(diào)性；（2）若有兩個零點，求的取值范圍.【答案】解：由得當時，，，∴f(x)在R單調(diào)遞減；當時，由得，由aex-2>0得x>所以，當時，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增.（2）由