第15章概率章末題型歸納總結(jié)（能力篇）章末題型歸納目錄模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖模塊二：知識點總結(jié)模塊三：典型例題題型一：事件的運算題型二：概率的基本性質(zhì)題型三：互斥事件、對立事件與相互獨立事件題型四：古典概型題型五：相互獨立事件概率的計算題型六：概率綜合問題

模塊一：本章知識思維導(dǎo)圖

模塊二：知識點總結(jié)知識點1：樣本空間和隨機事件1、隨機試驗我們把對隨機現(xiàn)象的實現(xiàn)和對它的觀察稱為隨機試驗，簡稱試驗，常用字母表示．我們感興趣的是具有以下特點的隨機試驗：（1）試驗可以在相同條件下重復(fù)進行；（2）試驗的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個；（3）每次試驗總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個結(jié)果．2、樣本空間我們把隨機試驗的每個可能的基本結(jié)果稱為樣本點，全體樣本點的集合稱為試驗的樣本空間，一般地，用．．表示樣本空間，用表示樣本點，如果一個隨機試驗有個可能結(jié)果，，…，，則稱樣本空間為有限樣本空間．3、隨機事件、確定事件（1）一般地，隨機試驗中的每個隨機事件都可以用這個試驗的樣本空間的子集來表示，為了敘述方便，我們將樣本空間的子集稱為隨機事件，簡稱事件，并把只包含一個樣本點的事件稱為基本事件．當(dāng)且僅當(dāng)中某個樣本點出現(xiàn)時，稱為事件發(fā)生．（2）作為自身的子集，包含了所有的樣本點，在每次試驗中總有一個樣本點發(fā)生，所以總會發(fā)生，我們稱為必然事件．（3）空集不包含任何樣本點，在每次試驗中都不會發(fā)生，我們稱為為不可能事件．（4）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對隨機事件的確定事件．知識點2：兩個事件的關(guān)系和運算1、事件的關(guān)系與運算①包含關(guān)系：一般地，對于事件和事件，如果事件發(fā)生，則事件一定發(fā)生，這時稱事件包含事件（或者稱事件包含于事件），記作或者．與兩個集合的包含關(guān)系類比，可用下圖表示：不可能事件記作，任何事件都包含不可能事件．②相等關(guān)系：一般地，若且，稱事件與事件相等．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：③并事件（和事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生或事件發(fā)生，則稱此事件為事件與事件的并事件（或和事件），記作（或）．與兩個集合的并集類比，可用下圖表示：④交事件（積事件）：若某事件發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)事件發(fā)生且事件發(fā)生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件），記作（或）．與兩個集合的交集類比，可用下圖表示：2、互斥事件與對立事件（1）互斥事件：在一次試驗中，事件和事件不能同時發(fā)生，即，則稱事件與事件互斥，可用下圖表示：如果，，…，中任何兩個都不可能同時發(fā)生，那么就說事件，．．，…，彼此互斥．（2）對立事件：若事件和事件在任何一次實驗中有且只有一個發(fā)生，即不發(fā)生，則稱事件和事件互為對立事件，事件的對立事件記為．（3）互斥事件與對立事件的關(guān)系①互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生．②對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件，即“互斥”是“對立”的必要不充分條件，而“對立”則是“互斥”的充分不必要條件．知識點3：概率與頻率（1）頻率：在次重復(fù)試驗中，事件發(fā)生的次數(shù)稱為事件發(fā)生的頻數(shù)，頻數(shù)與總次數(shù)的比值，叫做事件發(fā)生的頻率．（2）概率：在大量重復(fù)盡心同一試驗時，事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，并且在它附近擺動，這時，就把這個常數(shù)叫做事件的概率，記作．（3）概率與頻率的關(guān)系：對于給定的隨機事件，由于事件發(fā)生的頻率隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率，因此可以用頻率來估計概率．知識點4：古典概型（1）定義一般地，若試驗具有以下特征：①有限性：樣本空間的樣本點只有有限個；②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性相等．稱試驗E為古典概型試驗，其數(shù)學(xué)模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．（2）古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗是古典概型，樣本空間包含個樣本點，事件包含其中的個樣本點，則定義事件的概率．知識點5：概率的基本性質(zhì)（1）對于任意事件都有：．（2）必然事件的概率為，即；不可能事概率為，即．（3）概率的加法公式：若事件與事件互斥，則．推廣：一般地，若事件，，…，彼此互斥，則事件發(fā)生（即，，…，中有一個發(fā)生）的概率等于這個事件分別發(fā)生的概率之和，即：．（4）對立事件的概率：若事件與事件互為對立事件，則，，且．（5）概率的單調(diào)性：若，則．（6）若，是一次隨機實驗中的兩個事件，則．知識點6：相互獨立1、相互獨立事件的概念對任意兩個事件與，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立．2、相互獨立事件的性質(zhì)（1）事件與是相互獨立的，那么與，與，與也是否相互獨立．（2）相互獨立事件同時發(fā)生的概率：．

模塊三：典型例題題型一：事件的運算【典例11】（2025·高二·山東淄博·階段練習(xí)）對空中移動的目標(biāo)連續(xù)射擊兩次，設(shè)兩次都擊中目標(biāo)兩次都沒擊中目標(biāo){恰有一次擊中目標(biāo)}，至少有一次擊中目標(biāo)}，下列關(guān)系不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】A.事件包含恰好一次擊中目標(biāo)或兩次都擊中目標(biāo)，所以，故A正確；B.包含的事件為至少一次擊中目標(biāo)，為樣本空間，所以B錯誤，C正確；D.事件與事件是對立事件，所以，故D正確.故選：B【典例12】（2025·高二·四川遂寧·階段練習(xí)）拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機事件：“點數(shù)為”，其中；“點數(shù)不大于2”，“點數(shù)大于2”，“點數(shù)大于4”下列結(jié)論是判斷錯誤的是

（

）A．與互斥 B．，C． D．，為對立事件【答案】D【解析】由題意與不可能同時發(fā)生，它們互斥，A正確；中點數(shù)為1或2，中點數(shù)為3，4，5或6，因此它們的并是必然事件，但它們不可能同時發(fā)生，因此為不可能事件，B正確；發(fā)生時，一定發(fā)生，但發(fā)生時，可能不發(fā)生，因此，C正確；與不可能同時發(fā)生，但也可能都不發(fā)生，互斥不對立，D錯誤；故選：D．【變式11】（2025·高一·全國·單元測試）某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名參加演講比賽，設(shè)={2名全是男生}，{2名全是女生}，{恰有一名男生}，{至少有一名男生}，則下列關(guān)系不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】至少有1名男生包含2名全是男生?1名男生1名女生，故，，故A，C正確；事件B與D是互斥事件，故，故B正確，表示的是2名全是男生或2名全是女生，表示2名全是女生或名至少有一名男生，故，D錯誤，故選：D.【變式12】（2025·高二·湖南長沙·階段練習(xí)）甲、乙兩人對同一個靶各射擊一次，設(shè)事件“甲擊中靶”，事件“乙擊中靶”，事件“靶未被擊中”，事件“靶被擊中”，事件“恰一人擊中靶”，對下列關(guān)系式（表示的對立事件，表示的對立事件）：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦．其中正確的關(guān)系式的個數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可得：①，正確；②事件“靶被擊中”，表示甲乙同時擊中，，所以②錯誤；③，正確，④表示靶被擊中，所以④錯誤；⑤，正確；⑥互為對立事件，，正確；⑦，所以⑦不正確．正確的是①③⑤⑥．故選：B【變式13】（2025·高二·廣東佛山·階段練習(xí)）向上拋擲一枚均勻的骰子兩次，事件表示兩次點數(shù)之和小于8，事件表示兩次點數(shù)之和既能被2整除又能被3整除，則事件用樣本點表示為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】依題意，事件表示兩次點數(shù)和為6，因此件用樣本點表示為.故選：A題型二：概率的基本性質(zhì)【典例21】（2025·高二·廣西欽州·期末）已知事件與互斥，且，，則.【答案】0.5/【解析】因為與互斥，所以.故答案為：0.5.【典例22】（2025·高三·全國·專題練習(xí)）已知某藝術(shù)協(xié)會的會員中，有的會員喜愛書畫或戲曲，有的會員喜愛書畫，有的會員同時喜愛書畫、戲曲．現(xiàn)從該協(xié)會中隨機抽取一名會員，該會員喜愛戲曲的概率為．【答案】/0.75【解析】記事件“該會員喜愛書畫”，事件“該會員喜愛戲曲”，由題意，知，，，由概率的基本性質(zhì)，知，則，解得，即從該協(xié)會中隨機抽取一人，該會員喜愛戲曲的概率為．故答案為：【變式21】（2025·高二·安徽·期中）現(xiàn)有10名巴黎奧運會志愿者，其中2名女志愿者和8名男志愿者，從中隨機地接連抽取3名（每次取一個），派往參與高臺跳水項目的志愿者服務(wù).則“恰有一名女志愿者”的概率是.【答案】【解析】設(shè)，，分別為第一次、第二次、第三次取到女志愿者的事件，則；；，因此“恰有一名女志愿者”的概率為.故答案為：.【變式22】（2025·高二·浙江·期末）設(shè)是一個隨機試驗中的兩個事件，且，則．【答案】【解析】由概率的性質(zhì)得，所以，所以．故答案為：.【變式23】（2025·高一·江蘇常州·期末）一只不透明的袋子中裝有形狀、大小都相同的5個小球，其中2個黃球、2個白球、1個紅球．先后從中無放回地取兩次小球，每次隨機取出2個小球，記下顏色計算得分，得分規(guī)則如下：“2個小球顏色相同”加1分，“2個小球顏色一黃一白”得0分，“2個小球中有紅球”減1分，則“兩次得分和為0分”的概率為．【答案】/【解析】“兩次得分和為0分”可能的情況有第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，或第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，或兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”，記黃球為，2個白球為、1個紅球為，利用枚舉法可知從中一次取2個小球為，共有10種取法，而顏色相同的取法有兩種，故第一次取2個小球顏色相同的概率為，第二次取2個小球中有紅球的概率為，所以第一次“2個小球顏色相同”，第二次“2個小球中有紅球”的概率為．第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”，第一次取2個小球中有紅球的概率為，第二次2個小球顏色相同的概率為，所以第一次“2個小球中有紅球”，第二次“2個小球顏色相同”的概率為．兩次均為“2個小球顏色一黃一白”，第一次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，第二次取2個小球，“2個小球顏色一黃一白”的概率為，所以兩次均為“2個小球顏色一黃一白”的概率為．所以兩次先后取2個小球，得分為零分的概率為.故答案為：.題型三：互斥事件、對立事件與相互獨立事件【典例31】（2025·高一·河南焦作·期末）某科研小組共60名成員，他們需要完成甲、乙、丙、丁四個科研項目，科研成員隨機參與，且每個人可以參與一個或多個項目．若參與甲項目的有30人，參與乙項目的有10人，參與丙項目的有20人，參與丁項目的有30人，參與了甲項目或乙項目的共有40人，同時參與了甲項目和丙項目的有10人，參與了甲項目或丁項目的共有60人，則下列說法正確的是（

）A．參與甲項目與參與乙項目不互斥 B．參與甲項目與參與丁項目互斥但不對立C．參與丙項目與參與丁項目不相互獨立 D．參與甲項目與參與丙項目相互獨立【答案】D【解析】設(shè)總?cè)藬?shù)為，記參與甲，乙，丙，丁項目分別為事件，由題意可得，故，故參與甲項目與參與乙項目互斥，故A錯誤；由題意可得，，故，故參與甲項目與參與丁項目互斥且對立，故B錯誤；由題意得，故，，故，故參與丙項目與參與丁項目相互獨立，故C錯誤；，故參與甲項目與參與丙項目相互獨立，故D正確．故選：D．【典例32】（2025·高一·云南·期末）已知甲盒中有3個大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號為，乙盒中有3個大小和質(zhì)地相同的小球，標(biāo)號為，現(xiàn)從甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球，記事件“摸到的兩個小球標(biāo)號相同”，事件“摸到的兩個小球標(biāo)號之和為奇數(shù)”，則（

）A．事件A和相等 B．事件A和互相對立C．事件A和相互獨立 D．事件A和互斥【答案】D【解析】用每次取球的結(jié)果，分別表示甲?乙兩盒中分別隨機摸出1個小球的標(biāo)號，由題意可知：樣本空間；事件；事件，；對于選項A：因為，所以事件A和不相等，故A錯誤；對于選項BD：因為事件，所以事件A和互斥，事件A和不互相對立，故B錯誤，D正確；對于選項C：因為，則，顯然，所以事件A和不相互獨立，故C錯誤；故選：D.【變式31】（2025·高一·河南安陽·階段練習(xí)）袋子中有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中隨機取出兩個球，設(shè)事件A=“取出的球的數(shù)字之積為奇數(shù)”，事件B=“取出的球的數(shù)字之積為偶數(shù)”，事件C=“取出的球的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件D=“取出的球的數(shù)字之和大于5”，則下列說法錯誤的是（

）A．事件A與B是互斥事件 B．事件A與B是對立事件C．事件C與D相互獨立 D．事件C與D不是互斥事件【答案】C【解析】袋子中有5個相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，從中隨機取出兩個球的試驗樣本空間包含的樣本點為：（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共10個，其中事件A包含的樣本點為：（1,3），（1,5），（3,5）共3個，故，事件B包含的樣本點為：（1,2），（1,4），（2,3），（2,4），（2,5），（3,4），（4,5）共7個，故；事件C包含的樣本點為：（1,3），（1,5），（2,4），（3,5）共4個，故，事件D包含的樣本為：（1,5），（2,4），（2,5），（3,4），（3,5），（4,5）共6個，故，因為事件，，故事件A與B互斥且對立，故A，B正確；因為,所以C與D不相互獨立，故C錯誤.因為,所以C與D不互斥，故D正確.故選:C.【變式32】（2025·高二·上海楊浦·期末）已知，，，則事件與的關(guān)系是（

）A．與互斥不對立 B．與對立C．與相互獨立 D．與既互斥又獨立【答案】C【解析】由可得，因為，則與不互斥，不對立，由可得，因為，所以與相互獨立故選：C【變式33】（2025·廣東·模擬預(yù)測）在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4．連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事件為“兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件為“第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)”，事件為“第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件與事件是對立事件 B．事件與事件不是相互獨立事件C． D．【答案】C【解析】對于A，事件與事件是相互獨立事件，但不是對立事件，故A錯誤；對于B，對于事件與事件，,事件與事件是相互獨立事件,故B錯誤；對于C，連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，記錄的結(jié)果一共有種，其中，事件發(fā)生，則兩次朝下的點數(shù)為一奇一偶，有種，所以，因為拋擲正四面體向下的數(shù)字為奇數(shù)和偶數(shù)的方法種數(shù)相同，所以，，所以，故C正確；對于D，事件表示第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)，第二次記錄的數(shù)字為偶數(shù)，故，故D錯誤.故選：C．題型四：古典概型【典例41】（2025·高二·云南·階段練習(xí)）已知甲組共20人，乙組共30人，現(xiàn)按比例采用分層隨機抽樣的方法從這兩組中共抽取5人參加升國旗儀式，在被抽取的這5人中隨機抽取2人擔(dān)任旗手，則被抽取的這2人中至少有1人是甲組的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)題意，按比例采用分層隨機抽樣的方法從甲組中抽取人，記為A，B；從乙組中抽取人，記為a，b，c．在被抽取的這5人中隨機抽取2人擔(dān)任旗手的總情況有，，，，，，，，，，共10種，其中被抽取的這2人中至少有1人是甲組的情況有7種，分別為，，，，，，，故所求概率為．故選：B【典例42】（2025·高三·全國·專題練習(xí)）已知，則函數(shù)存在兩個零點的概率為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題可知，函數(shù)存在兩個零點，則需滿足．又，所以符合要求，所以函數(shù)存在兩個零點的概率．故選：A．速解驗證排除法！由題可知，分別將代入，只有符合要求．故選：A【變式41】（2025·云南曲靖·一模）有一組樣本數(shù)據(jù)為0，1，2，3，4，5，在其中添加一個數(shù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，若，則新舊樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)相等的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，，，所以原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第二個數(shù)，所以，當(dāng)為1，2，3，4，5時，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變，所以，新的樣本數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)不變的概率是.故選：D.【變式42】（2025·高一·江西·期末）某汽車站每天均有3輛開往省城的分為上、中、下等級的客車，發(fā)車順序隨機，某天袁先生準(zhǔn)備在該汽車站乘車前往省城辦事，他先放過第一輛，如果第二輛比第一輛好則上第二輛，否則上第三輛，則他沒有乘坐下等車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，所有可能的客車通過順序的情況為（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），（下，中，上），（下，上，中），共6種，其中該人可以不坐下等車情況有除第一種情況外的其余5種情況，則其概率為．故選：D【變式43】（2025·高二·湖北·開學(xué)考試）小明同學(xué)有6把鑰匙，其中2把能打開門．如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，第二次才能打開門的概率為；如果試過的鑰匙又混進去，第二次才能打開門的概率為，則，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【解析】將6把鑰匙分別標(biāo)號為1，2，3，4，5，6，其中標(biāo)號為5，6的鑰匙是能打開門的，標(biāo)號為1，2，3，4的鑰匙是不能打開門的．如果隨機地取一把鑰匙試著開門，把不能開門的鑰匙扔掉，即為不放回地抽取，則嘗試開門兩次，嘗試開門兩次的樣本點有個，其中第二次才能打開門的樣本點有，，，，，，，，共有8個，所以；如果試過的鑰匙又混進去，即為有放回地抽取，則嘗試開門兩次的樣本空間為，共有36個樣本點，其中第二次才能打開門的樣本點有，，，，，，，共有8個，所以．故選：A.題型五：相互獨立事件概率的計算【典例51】（2025·高二·北京·階段練習(xí)）甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，，則（

）A．密碼被成功破譯的概率為 B．密碼被成功破譯的概率為C．兩人都成功破譯的概率為 D．兩人都成功破譯的概率為【答案】B【解析】對于AB，因為甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，，所以密碼被成功破譯的概率為，所以A錯誤，B正確；對于CD，因為甲、乙兩人獨立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是，，所以兩人都成功破譯的概率為，所以CD錯誤.故選：B【典例52】（2025·高三·甘肅白銀·階段練習(xí)）甲、乙、丙三人各自計劃去河南洛陽旅游，他們在3月25日到3月27日這三天中的一天到達河南洛陽，他們在哪一天到達河南洛陽相互獨立，互不影響，且他們各自在3月25日、3月26日、3月27日到達河南洛陽的概率如下表所示：到達日期3月25日.3月26日3月27日0.30.40.30.40.50.10.20.30.5設(shè)甲、乙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，甲、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，乙、丙兩人在同一天到達河南洛陽的概率為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知：，，，故.故選：A【變式51】（2025·上海崇明·二模）拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣n次（其中n為大于等于2的整數(shù)），設(shè)事件A表示“n次中既有正面朝上又有反面朝上”，事件B表示“n次中至多有一次正面朝上”，若事件A與事件B是獨立的，則n的值為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】C【解析】拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣次，所有可能的結(jié)果有種.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上”，其對立事件為“次都是正面朝上或次都是反面朝上”，包含的情況有種，所以.根據(jù)對立事件概率之和為，可得.事件表示“次中至多有一次正面朝上”，即“次中沒有正面朝上（全是反面朝上）”或“次中有一次正面朝上”.“次中沒有正面朝上”的情況有種；“次中有一次正面朝上”，從次中選次為正面朝上，有種情況.所以事件包含的情況共有種，則.事件表示“次中既有正面朝上又有反面朝上且至多有一次正面朝上”，即“次中有一次正面朝上”，有種情況，所以.因為事件與事件是獨立的，所以，即.可得：.展開得：.即.當(dāng)時，，，等式不成立；當(dāng)時，，，等式成立；當(dāng)時，，，等式不成立.所以.故選：C.【變式52】（2025·高三·安徽阜陽·開學(xué)考試）泊松分布是統(tǒng)計學(xué)里常見的離散型概率分布，由法國數(shù)學(xué)家泊松首次提出.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值.已知某線路每個公交車站臺的乘客候車相互獨立，且每個站臺候車人數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布.若該線路某站臺的候車人數(shù)為2和3的概率相等，則該線路公交車兩個站臺共有2個乘客候車的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題可知，即，解得，則，，，故兩個站臺共有2個乘客候車的概率為.故選：D.【變式53】（2025·高一·安徽阜陽·階段練習(xí)）甲、乙兩人獨立破譯一個密碼，甲獨立破譯密碼的概率為，乙獨立破譯密碼的概率為，則恰有一人破譯密碼的概率為（

）A．0.4 B．0.6 C． D．0.76【答案】C【解析】設(shè)甲獨立破譯密碼為事件，乙獨立破譯密碼為事件，則恰有一人破譯密碼為，而互斥，由互斥事件概率公式得，由題意得相互獨立，相互獨立，由獨立事件概率公式得，，由題意得，，則，，得到，則恰有一人破譯密碼的概率為，故C正確.故選：C題型六：概率綜合問題【典例61】（2025·河南·二模）為探究某藥物對小鼠的生長抑制作用，將生長情況相同的80只小鼠隨機均分為兩組：對照組（不含藥物）和實驗組（添加藥物），飼養(yǎng)相同時間后，分別測量這兩組小鼠的體重增加量（單位：g），并對數(shù)據(jù)進行分析，得到如下頻率分布直方圖：(1)估計實驗組小鼠體重增加量的80%分位數(shù)；(2)將這兩組小鼠的體重增加量，從低到高分為三個等級：體重增加量/g等級較輕中等較重假設(shè)對照組和實驗組小鼠體重增加量的等級結(jié)果相互獨立.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.現(xiàn)從實驗組和對照組中各隨機抓取一只小鼠，求抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率.【解析】（1）因為的頻率為，且的頻率為，所以在內(nèi)，所以，所以.（2）對照組較輕的概率為，中等的概率為，較重的概率為；實驗組較輕的概率為，中等的概率為，較重的概率為；設(shè)抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級為事件，則.所以抓取的實驗組小鼠體重增加量的等級高于對照組小鼠體重增加量的等級的概率為.【典例62】（2025·北京朝陽·一模）某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機抽取100名學(xué)生進行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點選擇相互獨立．用頻率估計概率．(1)估計該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率；(2)分別從高一、高二、高三三個年級中隨機抽取1人，估計這3人中至少有2人選擇去B地的概率；(3)對于上述樣本，在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，寫出和的大小關(guān)系．`（結(jié)論不要求證明）【解析】（1）從表格數(shù)據(jù)可知，隨機抽取的100名學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為，因此該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計為．（2）設(shè)事件：抽取的高一學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高二學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的高三學(xué)生選擇去B地，事件：抽取的3人中恰有人選擇去B地，，事件：抽取的3人中至少有2人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的100名學(xué)生中高一年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計為；抽取的100名學(xué)生中高二年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計為；抽取的100名學(xué)生中高三年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計為；因為，所以．所以抽取的3人中至少有2人選擇去地的概率可估計為．（3）在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的平均數(shù)為，則調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的