2021年05月決賽試題1、極限sin2PP【解】利用對(duì)稱性，得其中I為單位矩陣，則B=.同時(shí)左乘A?1右乘A得B=A?1B+3I，即(I?A?1)B=3I，所以11 在定義域內(nèi)的唯一駐點(diǎn)在該點(diǎn)取得最小值這是函數(shù)唯一的極值.因此u的唯一極值點(diǎn)為(24,22,24).【注】也可用通常的充分性條件(海賽矩陣正定)判斷駐點(diǎn)P0為極小值點(diǎn).【解】令且-------------------2所以f′(0)=n.--------------------2分22n→∞an→∞顯然，級(jí)數(shù)an發(fā)散.根據(jù)萊布尼茲審斂法，級(jí)數(shù)nan收斂.----------------4分四、(12分)設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導(dǎo)，且(2)證明：存在ξ∈(a,b)，ξ≠xi，i=1,2，使得f′′(ξ)=f(ξ).【證】(1)令=e?xdt，則F=0.對(duì)F在上利332021年05月決賽試題即f′(xi)=f(xi)，i=1,2，且x12.(2)令?(x)=ex[f′(x)?f(x)]，則?(x1)=?(x2)=0，且ξ)=f(ξ)，五、(12分)設(shè)A是n階實(shí)對(duì)稱矩陣，證明：(1)存在實(shí)對(duì)稱矩陣B，使得B2021=A，且AB=BA；(2)存在一個(gè)多項(xiàng)式p(x)，使得上述矩陣B=p(A)；(3)上述矩陣B是唯一的.【證】(1)因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以存在正交矩陣Q，使得A=QDQT，其中D=diag(λ1,λ2,…,λn)，而λi(i=1,2,…,n)為矩陣A的特征值.---------------3分令B=QD其中=diag則(2)設(shè)λ1,λ2,…,λs是A的所有兩兩互異的特征值(1≤s≤n)，利用待定系數(shù)法及克拉默法則，存在唯一的s次多項(xiàng)式p(x)=xs+a1xs?1+…+as?1x+as，使得QT=QDQT=B.3分(3)設(shè)另存在n階實(shí)對(duì)稱矩陣C使得C2021=A，則B=p(A)=p(C2021)，所以BC=p(C2021)C=Cp(C2021)=CB.由于B,C都可相似對(duì)角化，故存在n階可逆實(shí)矩陣T及實(shí)對(duì)角矩陣D1,D2，使得B=TD1T?1，C=TD2T?1.因此C2021=A=B2021?D=D12021?D2=D1?C=B，唯一性得證.--------------442021年05月決賽試題①①----------------2分55p+1Ap(x,y)所以Ap+1.另一方面，仍由①式及歸納假設(shè)，可得七、(10分)設(shè)f(x)，g(x)是[0,