專題二數(shù)列求和包頭六中李春霞1．等差、等比數(shù)列的求和(1)等差數(shù)列{an}的求和公式為_________________________________________．(2)等比數(shù)列{an}的求和公式為__________________________________．【問(wèn)題探究】1．當(dāng)數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列時(shí)，用什么方法求和？答案：公式法2．等差數(shù)列的求和公式是用什么方法推導(dǎo)出來(lái)的？等比數(shù)列呢？答案：等差數(shù)列的求和公式是用倒序相加法推導(dǎo)出來(lái)的，等比數(shù)列的求和公式是用錯(cuò)位相減法推導(dǎo)出來(lái)的．題型1公式法求和【例1】已知在等差數(shù)列{an}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列{an}的前k項(xiàng)和Sk＝－35，求k的值．解：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差d，則an＝a1＋(n－1)d，由題設(shè)，得a3＝－3＝a1＋2d＝1＋2d.所以d＝－2.an＝1＋(n－1)(－2)＝3－2n.所以k2－2k－35＝0.解得k＝7或k＝－5.因?yàn)閗∈N*，所以k＝7.【變式與拓展】1．求和：22＋23＋24＋…＋2n＋3＝__________.2n＋4－4【例2】已知{an}通項(xiàng)公式an=2n+2n-1,求{an}的前n項(xiàng)和Sn.技巧總結(jié)：若一個(gè)數(shù)列是由等比數(shù)列和等差數(shù)列組成，則求和時(shí)，可先分別求和，再將各部分合并，這就是我們說(shuō)的分組求和．分析：通項(xiàng)是由等差+等比構(gòu)成解：Sn=(21+1)+(22+3)+(23+5)+...+（2n+2n-1）

=(1+3+5+...+2n-1)+(21+22+23+...+2n)=+=2n+1-2+n2

練習(xí)鞏固：（1）求和例

4

求和Sn=-1+3-5+7-...+(-1)n(2n-1)

練習(xí)：S22=1-5+9-13+17-...(-1)n-1(4n-3)分析：合并一些項(xiàng)，討論n為奇、偶解：n為奇數(shù)時(shí)Sn=（-1+3）+（-5+7）+...+[(-2n+5)+(2n-3)]

=2×+(-2n+1)=-nn為偶數(shù)時(shí)Sn=（-1+3）+（-5+7）+...+[（-2n+3）+（2n-1）]

=2×=n題型3倒序求和例3求sin21o+sin22o+sin23o+...+sin289o解：設(shè)S=sin21o+sin22o+sin23o+...+sin289o

S=sin289o+sin288o+sin287o+...+sin21o

=cos21o+cos22o+cos23o+...+cos289o

+得2S=(sin21o+cos21o)+(sin22o+cos22o)+...+(sin289o+cos289o)

=89所以S=44.5解：由已知f(x)=而f(1-x)=設(shè)s=

s=

練習(xí)鞏固：已知函數(shù)f(x)=設(shè)數(shù)列{an}滿足an=f()求數(shù)列的前1000項(xiàng)和。因此f(x)+f(1-x)=1+得2S=1000s=500作業(yè)：練習(xí)冊(cè)67頁(yè)例1和變式訓(xùn)練168頁(yè)基礎(chǔ)鞏固1、3、4、5本課時(shí)共分兩課時(shí)，其余方法我們下節(jié)課繼續(xù)探究。

再見題型4裂項(xiàng)相消法求和【變式與拓展】3．(2013年大綱)在等差數(shù)列{an}中，a7＝4，a19＝2a9，(1)求{an}的通項(xiàng)公式；B

在應(yīng)用裂項(xiàng)相消法時(shí)，要注意消項(xiàng)的規(guī)律具有對(duì)稱性，即前面剩多少項(xiàng)則后面也剩多少項(xiàng)．常見的拆項(xiàng)公題型5錯(cuò)位相減法求和

【例5】求和：Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)·xn－1(x≠0)．解：當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2；當(dāng)x≠1時(shí)，∵Sn＝1＋3x＋5x2＋7x3＋…＋(2n－1)xn－1，∴xSn＝x＋3x2＋5x3＋7x4＋…＋(2n－3)xn－1＋(2n－1)xn.【變式與拓展】4．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝2n2，{bn}為等比數(shù)列，且a1＝b1，b2(a2－a1)＝b1.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－2(n－1)2＝4n－2.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝4n－2，即數(shù)列{an}是首項(xiàng)a1＝2，公差d＝4的等差數(shù)列．[方法·規(guī)律·小結(jié)]對(duì)于數(shù)列的求和問(wèn)題，常用的方法有三種，如下：(1)公式法：對(duì)于等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和，可運(yùn)用其前n項(xiàng)和公式．(