第十章二元一次方程組10.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組人教版數(shù)學(xué)（七年級(jí)下）老師：孫老師授課時(shí)間：2025（第一課時(shí)）1.能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題;2.掌握構(gòu)建二元一次方程組解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題的基本步驟.3.通過(guò)探究實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步體會(huì)方程組是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的有效模型，發(fā)展模型觀(guān)念.

一審：審題，弄清題意及題目中的數(shù)量關(guān)系；二設(shè)：設(shè)未知數(shù)，可直接設(shè)元，也可間接設(shè)元；三列：根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程(組)；四解：解所列方程(組)，求出未知數(shù)的值；五檢：檢驗(yàn)解是否是方程(組)的解，是否符合題意；六答：寫(xiě)出答案(包括單位名稱(chēng)).5-22.列方程解應(yīng)用題的一般步驟是什么？探究1

養(yǎng)牛場(chǎng)原有30頭大牛和15頭小牛，1天約用飼料675kg；一周后又購(gòu)進(jìn)12頭大牛和5頭小牛，這時(shí)1天約用飼料940kg.飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每頭大牛1天需飼料18~20kg，每頭小牛1天需飼料7~8kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)嗎？大牛小牛飼料用量原來(lái)現(xiàn)在301530+1215+5675940分析：設(shè)每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x(chóng)kg和ykg.根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列得方程組._______________________________________30x+15y=675,(30+12)x+(15+5)y=940.大牛小牛飼料用量原來(lái)現(xiàn)在301530+1215+5675940解：設(shè)

每頭大牛和每頭小牛1天各約用飼料x(chóng)kg和ykg.根據(jù)兩種情況的飼料用量，找出相等關(guān)系，列得方程組.________________________________________30x+15y=675,(30+12)x+(15+5)y=940.解這個(gè)方程組，得x=_____y=_____20,5.答：每頭大牛1天約需飼料_____kg.每頭小牛1天約需飼料____kg.因此，飼養(yǎng)員李大叔對(duì)大牛食量的估計(jì)________,對(duì)小牛食量的估計(jì)_______.205較準(zhǔn)確偏高飼養(yǎng)員李大叔估計(jì)每頭大牛1天需飼料18~20kg，每頭小牛1天需飼料7~8kg.你能通過(guò)計(jì)算檢驗(yàn)他的估計(jì)嗎？跟蹤訓(xùn)練

隨著養(yǎng)牛場(chǎng)規(guī)模逐漸擴(kuò)大，李大叔需聘請(qǐng)飼養(yǎng)員協(xié)助管理現(xiàn)有的42頭大牛和20頭小牛，已知甲種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)8頭大牛和4頭小牛，乙種飼養(yǎng)員每人可負(fù)責(zé)5頭大牛和2頭小牛，請(qǐng)問(wèn)李大叔應(yīng)聘請(qǐng)甲乙兩種飼養(yǎng)員各多少人？

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟:(1)審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系.(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù).(3)列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程組.(4)解：解方程組，求出未知數(shù)的值.(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義.(6)答：寫(xiě)出答.

例1

現(xiàn)在父親的年齡是兒子年齡的5倍，6年后父親的年齡是兒子年齡的3倍，則現(xiàn)在父親和兒子的年齡各是多少.跟蹤訓(xùn)練

某愛(ài)心社給甲、乙兩所學(xué)校捐贈(zèng)圖書(shū)，已知捐給甲校的圖書(shū)數(shù)量與捐給乙校的圖書(shū)數(shù)量之比為3：2，且捐給甲校的圖書(shū)數(shù)量比捐給乙校的2倍少700本，求捐給甲、乙兩所學(xué)校的圖書(shū)分別是多少本.

1.為了節(jié)能減排，一家工廠(chǎng)將照明燈換成了節(jié)能燈.A車(chē)間購(gòu)買(mǎi)了3盞甲型節(jié)能燈和5盞乙型節(jié)能燈，共花費(fèi)50元；B車(chē)間購(gòu)買(mǎi)了12盞甲型節(jié)能燈和4盞乙型節(jié)能燈，共花費(fèi)88元.1盞甲型節(jié)能燈和1盞乙型節(jié)能燈的售價(jià)各是多少元？

2.學(xué)校圖書(shū)館分兩次購(gòu)買(mǎi)了相同版本的《西游記》和《水滸傳》供學(xué)生借閱。第一次買(mǎi)了2套《西游記》和3套《水滸傳》，共花費(fèi)151元；第二次買(mǎi)了4套《西游記》和2套《水滸傳》，共花費(fèi)178元.每套《西游記》和《水滸傳》的價(jià)格分別是多少元?

3.某公司前兩年產(chǎn)生的餐廚垃圾、建筑垃圾的質(zhì)量基本沒(méi)變，但支付的餐廚垃圾處理費(fèi)和建筑垃圾清運(yùn)費(fèi)的總和由7020元上升為8520元，原因是餐廚垃圾處理費(fèi)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)由240元/t上調(diào)為300元/t.建筑垃圾清運(yùn)費(fèi)由150元/t上調(diào)為180元/t.這家公司去年的餐廚垃圾和建筑垃圾各有多少?lài)?

列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系.設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù).列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程組.解：解方程組，求出未知數(shù)的值.驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義.答：寫(xiě)出答.第十章二元一次方程組10.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組人教版數(shù)學(xué)（七年級(jí)下）老師：孫老師授課時(shí)間：2025（第二課時(shí)）1.能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決稍復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題.2.學(xué)會(huì)利用二元一次方程組解決幾何圖形、工程問(wèn)題.1.把長(zhǎng)方形紙片折成面積相等的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有哪些折法？2.把長(zhǎng)方形紙片折成面積之比為1:2的兩個(gè)小長(zhǎng)方形，有哪些折法？探究2

據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2.現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地劃分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？200m100m思考1：要把這塊土地分為兩塊小長(zhǎng)方形，可以如何分？200m100m思考2：如果是按如圖所示方案來(lái)劃分，兩種作物的總產(chǎn)量大小與哪些量有關(guān)系？總產(chǎn)量的大小與種植面積、單位面積的產(chǎn)量有關(guān).探究2

據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2.現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地劃分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？200m100m思考3：①要表示種植面積需假設(shè)哪些量？②要表示單位面積產(chǎn)量呢？①可假設(shè)這兩塊地的長(zhǎng)分別為xm，ym，②可假設(shè)甲種作物每平方米產(chǎn)量為1，則乙種作物每平方米產(chǎn)量為2.探究2

據(jù)統(tǒng)計(jì)資料，甲、乙兩種作物的單位面積產(chǎn)量的比是1:2.現(xiàn)要把一塊長(zhǎng)200m、寬100m的長(zhǎng)方形土地劃分為兩塊小長(zhǎng)方形土地，分別種植這兩種作物.怎樣劃分這塊土地，才能使甲、乙兩種作物的總產(chǎn)量的比是3:4？xy200m100mxy100x100y思考4：若假設(shè)甲、乙兩塊地的長(zhǎng)分別為xm，ym，甲種作物每平方米產(chǎn)量為1，則乙種作物每平方米產(chǎn)量為2.那么根據(jù)題意能找到哪些相等關(guān)系列方程？x+y=200100x:200y=3:4兩塊地的長(zhǎng)度總和為200m.(甲地面積×每平方米產(chǎn)量):(乙地面積×每平方米產(chǎn)量)=3:4AEBDFCxmym

120m甲乙200m100m若按下圖所示的方式劃分土地，請(qǐng)你算一算，如何劃分？CBFADExy解：如圖，甲、乙兩種作物的種植區(qū)域分別為長(zhǎng)方形BCFE和AEFD，設(shè)BE,AE的長(zhǎng)分別為xm、ym，甲種作物每平方米產(chǎn)量為1，則乙種作物每平方米產(chǎn)量為2.

200m100mCBFADExy跟蹤訓(xùn)練

小敏和小紅玩拼圖游戲，小敏用8個(gè)同樣的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)如圖(1)所示的大長(zhǎng)方形，小紅用同樣的8個(gè)小長(zhǎng)方形拼成了如圖(2)所示的大正方形，不過(guò)中間留下一個(gè)空白，而這個(gè)空白地方恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的小正方形.求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬.設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬分別為xcm，ycm分別用x，y表示大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)及大正方形的邊長(zhǎng)構(gòu)造關(guān)于x，y的方程組分析：xy3x5yx+2y跟蹤訓(xùn)練

小敏和小紅玩拼圖游戲，小敏用8個(gè)同樣的小長(zhǎng)方形拼成了一個(gè)如圖(1)所示的大長(zhǎng)方形，小紅用同樣的8個(gè)小長(zhǎng)方形拼成了如圖(2)所示的大正方形，不過(guò)中間留下一個(gè)空白，而這個(gè)空白地方恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2cm的小正方形.求小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬.3x5yx+2y

另解：由圖(2)可得等量關(guān)系“長(zhǎng)+2=2×寬”

得：x+2=2y.x+22y

甲、乙工作效率工作時(shí)間工作總量甲隊(duì)修建的時(shí)間乙隊(duì)修建的時(shí)間184000例1在某市“精準(zhǔn)扶貧”工作中，甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)先后接力為扶貧村莊修建一條4

000米長(zhǎng)的公路，甲隊(duì)每天修建200米，乙隊(duì)每天修建250米，一共用18天完成.(2)陳彬同學(xué)的思路是設(shè)甲工程隊(duì)一共修建了a米公路，乙工程隊(duì)一共修建了b米公路.請(qǐng)你按照陳彬的設(shè)想列出方程組，并求出乙隊(duì)修建了多少天.

工程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系工作量=工作效率×工作時(shí)間；合作的效率=各部分單獨(dú)做的效率和；總工作量=各部分工作量之和.跟蹤訓(xùn)練一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做要20天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做要15天完成，丙隊(duì)單獨(dú)做要12天完成.按原計(jì)劃這項(xiàng)工程要求在7天內(nèi)完成，現(xiàn)在乙、丙兩隊(duì)先合作若干天，后來(lái)為加快進(jìn)度，甲隊(duì)也同時(shí)加入這項(xiàng)工程，這樣比原定時(shí)間提前一天完成任務(wù).乙、丙兩隊(duì)合作了多少天？甲隊(duì)加入后又做了多少天？

乙、丙合作x天甲加入y天“1”1.如圖，3×3的格子內(nèi)填寫(xiě)了一些數(shù)和代數(shù)式.為了使格子的各行、各列及對(duì)角線(xiàn)上的三個(gè)數(shù)之和均相等，x，y各應(yīng)取什么值？2x32x+2y-34y

2.如圖，在一個(gè)大長(zhǎng)方形中放入六個(gè)形狀、大小相同的小長(zhǎng)方形，有關(guān)尺寸如圖所示，則圖中大長(zhǎng)方形ABCD的面積是______cm2.

140xyy(x-2y)yxyyy3.某地為打造運(yùn)河風(fēng)光帶，雇用A,B兩個(gè)工程隊(duì)共同完成一段長(zhǎng)為180m的河道的清理任務(wù).已知A工程隊(duì)每天清理12m，B工程隊(duì)每天清理8m，兩個(gè)工程隊(duì)工作天數(shù)之和為20天，A,B工程隊(duì)分別清理了多長(zhǎng)的河道？

4.某車(chē)間計(jì)劃生產(chǎn)一批零件共418個(gè)，若甲先做2天，乙再加入合做，則再做2天可超產(chǎn)2個(gè)；若乙先做3天，然后兩人再共同做2天，則還差8個(gè)未完成.甲、乙兩人每天各做多少個(gè)零件?

圖形問(wèn)題幾何圖形問(wèn)題的等量關(guān)系主要是幾何圖形中的常見(jiàn)公式，以及幾何圖形隱含的線(xiàn)段、角或者面積之間的和差關(guān)系.工程問(wèn)題工程問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系：工作量=工作效率×工作時(shí)間；合作的效率=各部分單獨(dú)做的效率和；總工作量=各部分工作量之和.列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題第十章二元一次方程組10.3實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組人教版數(shù)學(xué)（七年級(jí)下）老師：孫老師授課時(shí)間：2025（第三課時(shí)）1.能夠根據(jù)具體的數(shù)量關(guān)系，列出二元一次方程組解決復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題.2.學(xué)會(huì)利用二元一次方程組解決調(diào)配、方案選擇、行程問(wèn)題.復(fù)習(xí)列二元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟:(1)審：認(rèn)真審題，分清題中的已知量、未知量，并明確它們之間的等量關(guān)系.(2)設(shè)：恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù).(3)列：依據(jù)題中的等量關(guān)系列出方程組.(4)解：解方程組，求出未知數(shù)的值.(5)驗(yàn)：檢驗(yàn)所求得的未知數(shù)的值是否符合題意和實(shí)際意義.(6)答：寫(xiě)出答.AB絲路紡織廠(chǎng)公路10km鐵路110km鐵路120km公路20km探究3如圖，絲路紡織廠(chǎng)與A,B兩地由公路、鐵路相連.這家紡織廠(chǎng)從A地購(gòu)進(jìn)一批長(zhǎng)絨棉運(yùn)回工廠(chǎng)，制成紡織面料運(yùn)往B地.已知長(zhǎng)絨棉的進(jìn)價(jià)為3.08萬(wàn)元/t，紡織面料的出廠(chǎng)價(jià)為4.25萬(wàn)元/t，公路運(yùn)價(jià)為0.5元/(t·km)，鐵路運(yùn)價(jià)為0.2元/(t·km)，且這兩次運(yùn)輸共支出公路運(yùn)費(fèi)5200元，鐵路運(yùn)費(fèi)16640元.那么這批紡織面料的銷(xiāo)售額比原料費(fèi)(原料費(fèi)只計(jì)長(zhǎng)絨棉的價(jià)格)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元？思考1購(gòu)進(jìn)的長(zhǎng)絨棉的質(zhì)量與制成的紡織面料的質(zhì)量相等嗎？正常情況下生產(chǎn)都會(huì)有損耗或是殘?jiān)?，所以原材料與制成的成品質(zhì)量不一樣.思考2運(yùn)費(fèi)的單位“元/(t·km)”的含義.運(yùn)費(fèi)=運(yùn)價(jià)×重量(t)×里程數(shù)(km)思考3公路運(yùn)費(fèi)、鐵路運(yùn)費(fèi)是如何算出來(lái)的？長(zhǎng)絨棉從A地運(yùn)往工廠(chǎng)的10km公路運(yùn)費(fèi)+紡織面料從工廠(chǎng)運(yùn)往B地的20km公路運(yùn)費(fèi)=5200元長(zhǎng)絨棉紡織面料長(zhǎng)絨棉從A地運(yùn)往工廠(chǎng)的120km鐵路運(yùn)費(fèi)+紡織面料從工廠(chǎng)運(yùn)往B地的110km鐵路運(yùn)費(fèi)=16640元xt長(zhǎng)絨棉（30800元/t）

yt紡織面料（42500元/t）合計(jì)/元公路0.5元/(t·km)鐵路0.2元/(t·km)價(jià)值/元520016640

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)xt長(zhǎng)絨棉，制成yt紡織面料.根據(jù)題中數(shù)量關(guān)系填寫(xiě)下表.30800x42500y題目所求的是_________________________________________，為此需先解出______與______.產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多多少元xy

銷(xiāo)售款：42500×320=13600000（元）.原材料：30800×400=12320000（元）.13600000-（12320000+5200+16640）=1258160（元）.因此，這批產(chǎn)品的銷(xiāo)售款比原料費(fèi)與運(yùn)輸費(fèi)的和多1

258160元.從以上探究可以看出，方程組是解決含有多個(gè)未知數(shù)問(wèn)題的重要工具.用方程組解決問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程組，求出方程組的解后，應(yīng)進(jìn)一步考慮它是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義.跟蹤訓(xùn)練

某水果市場(chǎng)要將168噸水果從倉(cāng)庫(kù)運(yùn)往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車(chē)共18輛，恰好能一次性運(yùn)完這批水果.已知這兩種貨車(chē)的載重分別為10噸/輛和8噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)如下表：運(yùn)輸使用的車(chē)型運(yùn)費(fèi)情況甲地/（元/輛）乙地/（元/輛）大貨車(chē)300400小貨車(chē)200250(1)求這兩種貨車(chē)各用多少輛？大貨車(chē)+小貨車(chē)=18.大貨車(chē)×10+小貨車(chē)×8=168.

大貨車(chē)+小貨車(chē)=18.大貨車(chē)×10+小貨車(chē)×8=168.跟蹤訓(xùn)練(2)如果安排10輛貨車(chē)前往甲地，其余貨車(chē)前往乙地，且此次的總運(yùn)費(fèi)為5

550元.請(qǐng)求出安排前往甲地的大貨車(chē)多少輛.運(yùn)輸使用的車(chē)型運(yùn)費(fèi)情況甲地/（元/輛）乙地/（元/輛）大貨車(chē)12輛300400小貨車(chē)6輛200250

a輛b輛(12-a)輛(6-b)

輛

例1

某商場(chǎng)計(jì)劃用40

000元從廠(chǎng)家購(gòu)進(jìn)若干部新型手機(jī)，以滿(mǎn)足市場(chǎng)需求.已知該廠(chǎng)家生產(chǎn)三種型號(hào)的手機(jī)，出廠(chǎng)價(jià)分別為甲型號(hào)手機(jī)每部1

200元，乙型號(hào)手機(jī)每部400元，丙型號(hào)手機(jī)每部800元.(1)若全部資金只用來(lái)購(gòu)進(jìn)其中兩種型號(hào)的手機(jī)，共40部，則商場(chǎng)共有哪幾種進(jìn)貨方案？分三種情況考慮購(gòu)進(jìn)乙、丙兩種型號(hào)的手機(jī)由購(gòu)進(jìn)手機(jī)的總數(shù)量和總費(fèi)用列方程組求解購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種型號(hào)的手機(jī)購(gòu)進(jìn)甲、丙兩種型號(hào)的手機(jī)

甲型號(hào)乙型號(hào)丙型號(hào)1200400800

甲型號(hào)乙型號(hào)丙型號(hào)1200400800

甲型號(hào)乙型號(hào)丙型號(hào)1200400800例1

(2)商場(chǎng)每銷(xiāo)售一部甲型號(hào)手機(jī)可獲利120元，每銷(xiāo)售一部乙型號(hào)手機(jī)可獲利80元，每銷(xiāo)售一部丙型號(hào)手機(jī)可獲利120元，在(1)的條件下，為使銷(xiāo)售時(shí)獲利最大，商場(chǎng)應(yīng)選擇哪種進(jìn)貨方案？(2)方案一獲利：120×30+80×10=4

400（元）.方案二獲利：120×20+120×20=4

800（元）.所以方案二獲利較多，所以商場(chǎng)應(yīng)購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)手機(jī)20部，丙型號(hào)手機(jī)20部.綜上所述，商場(chǎng)共有兩種進(jìn)貨方案.方案一：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)手機(jī)30部，乙型號(hào)手機(jī)10部.方案二：購(gòu)進(jìn)甲型號(hào)手機(jī)20部，丙型號(hào)手機(jī)20部.求解方案設(shè)計(jì)問(wèn)題的思路利用分類(lèi)討論思想列舉出所有可能的方案，分情況討論、求解，再根據(jù)題目要求確定最終方案.1.某運(yùn)輸公司有大小兩種型號(hào)的貨車(chē)，2輛大貨車(chē)與3輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨15.5

t，5輛大貨車(chē)與6輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨35

t.3輛大貨車(chē)與5輛小貨車(chē)一次可以運(yùn)貨多少?lài)崳?/p>

2.七年級(jí)的地質(zhì)興趣小組到一座山頂進(jìn)行田野調(diào)查.上山之前，20名成員各買(mǎi)了一張纜車(chē)票，共花費(fèi)1180元.纜車(chē)票價(jià)如右表所示，他們購(gòu)買(mǎi)了往返票和單程票各多少?gòu)?？票種票價(jià)/元往返80單程45

3.甲地到乙地由一段上坡路