課程基本信息

課例編號2020QJ11SXRA037學(xué)科數(shù)學(xué)年級高二學(xué)期第一學(xué)期

課題橢圓應(yīng)用（2）

書名：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊

教科書

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師姚未然北京市一七一中學(xué)教育集團(tuán)

指導(dǎo)教師雷曉莉東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

（一）教學(xué)內(nèi)容

橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)的綜合運(yùn)用．

（二）教學(xué)目標(biāo)

能類比用直線的方程與圓的方程研究直線與圓的位置關(guān)系，用直線的方程與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)

方程研究直線與橢圓的位置關(guān)系，進(jìn)一步體會用方程研究曲線的方法．

（三）教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)與難點(diǎn)：研究直線與橢圓的關(guān)系．

教學(xué)過程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

通過復(fù)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系，以及常用的判斷方法，溫習(xí)已學(xué)

知識，同時(shí)為后面類比提出直線與橢圓的位置關(guān)系做鋪墊．

教師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生回憶直線與圓的位置關(guān)系相交、相切、

（一）溫故相離，判斷方法有幾何方法--判斷圓心距與半徑關(guān)系以及聯(lián)立方程求

3分鐘

知新根的個(gè)數(shù)（代數(shù)方法）．

幾何方法：d>r相離、d=r相切、d<r相交.

?ìAx+By+C=0,

代數(shù)方法：方程組í?無解相離、有唯

?-2+-2=2

??(xx0)(yy0)r

一解相切、有兩組解相交.

問題1類比直線和圓，直線與橢圓有哪些位置關(guān)系？

相信同學(xué)們都不能發(fā)現(xiàn)，直線與橢圓有三種位置關(guān)系：相離、相

（二）例題切、相交；與之對應(yīng)，直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)可能是零個(gè)、一個(gè)、

講解兩個(gè).

18分鐘追問1：我們能否類比圓用幾何方法去研究直線與橢圓的位置關(guān)

系呢？

顯然，由于圓的對稱性，可以通過圓心距與半徑關(guān)系來研究，但

橢圓不具備這么好的幾何性質(zhì)，因此，我們要選擇代數(shù)方法來研究它

們之間的位置關(guān)系.

例如圖，已知直線l：4x－5y＋

x2y2

m＝0和橢圓C：1.m為何

259

值時(shí)，直線l與橢圓C：（1）有兩個(gè)公

共點(diǎn)？（2）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)？（3）

沒有公共點(diǎn)？（4）m＝0時(shí)，直線l與

橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，求線段AB的長．

問題2如何判斷直線與橢圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)？

直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)與方程組

4x5ym0，

x2y2

1

259

解的個(gè)數(shù)相對應(yīng)．所以，我們可以通過判斷上述方程組解的情況

得到問題的解答．

解：由方程組

4x5ym0，

x2y2

1

259

先將直線和橢圓方程變形，得

1

y4xm，

5

22

9x25y225

消去y，得

25x2＋8mx＋m2－225＝0.①

方程①的根的判別式

Δ＝64m2－4×25×（m2－225）＝36×（252-m2）.

由Δ＝0，得m1＝25，m2＝－25.此時(shí)方程①有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)

根，直線l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．

由Δ>0，得-25<m<25.此時(shí)方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，直線

l與橢圓C有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

由Δ<0，得m<－25，或m>25.此時(shí)方程①?zèng)]有實(shí)數(shù)根，直線l

與橢圓C沒有公共點(diǎn)．

問題3m＝0時(shí)，直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，如何求線段

AB的長？

解：設(shè)直線上兩點(diǎn)，

A(x1,y1),B(x2,y2)

m＝0時(shí)，直線l的方程為4x－5y＝0，我們把它與橢圓的方程聯(lián)

立，由方程組

4x5y0，

x2y2

1

259

解之得

x29

解得點(diǎn)A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2.4）和（-3，-2.4），我們可

以用到兩點(diǎn)的距離公式：

=-2+-2

AB(xAxB)(yAyB)

1212

=(3+3)2+(+)2

55

576

=36+

25

6

=41．

5

問題4除了用兩點(diǎn)間距離公式，同學(xué)們還有沒有其他方法來求

解線段AB的長呢？

注意到，兩點(diǎn)都在直線上，因此我們可以利用

ABy1y2與

-之間關(guān)系=-，使得要研究4個(gè)未知量的問

x1x2y1y2k(x1x2)

題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)未知量的問題，基于上述分析這個(gè)問題我們還可以這樣

求解：

=-2+-2

AB(x1x2)(y1y2)

=-2+-2

(x1x2)k(x1x2)

=+2-2

1k(x1x2)

=+2+2-

1k(x1x2)4x1x2

追問：推導(dǎo)這里，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)了什么呢？

相信大家都發(fā)現(xiàn)了弦長與我們熟悉的韋達(dá)定理有關(guān)，進(jìn)一步地用

一般的形式來推導(dǎo)

ì=+

?ykxm,

?

íx2y2

?+=1.

??a2b2

消去y得

Ax2+Bx+C=0，

當(dāng)D=B2-4AC30時(shí)，

由韋達(dá)定理可得

?ìB

?x+x=-,

?12

í?A

?C

?xx=.

??12A

這樣可以不用求出具體的兩個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到弦長的表達(dá)式：

BC

AB=1+k2(-)2-4

AA

B2-4AC

=1+k2

A2

D

=1+k2

A

借助這個(gè)推導(dǎo)結(jié)果，我們可以得到線段AB的長：

16

AB=1+′6

25

6

=41．

5

師生活動(dòng)：類比直線和圓的位置關(guān)系，理解直線與橢圓的三種位

置關(guān)系．先通過學(xué)生獨(dú)立思考、生生討論、師生交流，明確解題的思

路與方法，然后師生一起解決問題，最后比較研究直線和橢圓的關(guān)系

與研究直線和圓的關(guān)系方法的異同．

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生更好地掌握通過方程研究曲線問題的基本思路

與方法．

1.直線與橢圓的位置關(guān)系及判定方法：

通過聯(lián)立直線與橢圓的方程，判斷解的個(gè)數(shù)來研究它們之間的位

置關(guān)系.

3分鐘（三）總結(jié)2.直線與橢圓相交時(shí)，兩交點(diǎn)之間的距離：

提升

D

弦長公式|AB|=1+k2x-x=1+k2

12A

2