課程基本信息

課例編號(hào)2020QJ10SXRA034學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)高一學(xué)期第一學(xué)期

課題對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

書(shū)名：普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)A版

教科書(shū)

出版社：人民教育出版社出版日期：2019年6月

教學(xué)人員

姓名單位

授課教師曹海春北京市第五十五中學(xué)

指導(dǎo)教師李穎北京市東城區(qū)教師研修中心

教學(xué)目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)：

1.用描點(diǎn)法或借助信息技術(shù)工具畫(huà)出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的圖

象特征、單調(diào)性與特殊點(diǎn)，知道對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)，且

?

互為反函數(shù)；?=log???=??>0?≠1

2.類比指數(shù)函數(shù)的研究方法，運(yùn)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，

在數(shù)學(xué)思想方法上體會(huì)數(shù)學(xué)的聯(lián)系性與整體性；

3.經(jīng)歷對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究過(guò)程，提高直觀想象、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核

心素養(yǎng).

教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)及其研究方法、過(guò)程.

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)的初步運(yùn)用.

教學(xué)過(guò)程

時(shí)間教學(xué)環(huán)節(jié)主要師生活動(dòng)

約3復(fù)習(xí)導(dǎo)入師：（開(kāi)場(chǎng)白）同學(xué)們好，我是北京市第五十五中學(xué)的曹海春老師，

這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

分鐘溫故知新大家是否還記得對(duì)數(shù)函數(shù)的概念？

生：回憶、思考、回答.

師：一般地，函數(shù)，且叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中

是自變量，定義域是.

?=log???>0?≠1

?大家是否還記得對(duì)0數(shù),+函∞數(shù)概念的由來(lái)嗎？

生：回憶、思考、回答.

師：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由指數(shù)函數(shù)，且

?

得到，進(jìn)而得到對(duì)數(shù)函數(shù)?=.??>0?≠1

?=log??1?=log??

大家是否還記得指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究方法和過(guò)程

嗎？

生：回憶、思考、回答.

師：對(duì)了！先畫(huà)出函數(shù)圖象，然后借助圖象歸納概括其性質(zhì)，我們

這節(jié)課依然用這個(gè)方法來(lái)學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)導(dǎo)入，通過(guò)三個(gè)“是否”的追問(wèn)，恢復(fù)學(xué)生的記

憶和理解，在學(xué)生已經(jīng)習(xí)得的知識(shí)和方法的基礎(chǔ)之上建立新的知

識(shí)，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的聯(lián)系性與整體性.

約4描點(diǎn)作圖師：請(qǐng)同學(xué)們做好準(zhǔn)備，我們要畫(huà)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象了.對(duì)數(shù)函數(shù)

分鐘初識(shí)圖象，且的底數(shù)有兩個(gè)范圍和，我?們=

l先og畫(huà)??哪?個(gè)>函0數(shù)的圖?≠象1呢？沒(méi)錯(cuò)！先畫(huà)一個(gè)?簡(jiǎn)>單1的，0不<妨?畫(huà)<函1數(shù)

的圖象，請(qǐng)同學(xué)們完成表格、然后描點(diǎn)畫(huà)出圖象.（教師展?示=

l表og格2?，見(jiàn)PPT或幾何畫(huà)板）

生：計(jì)算填表、描點(diǎn)畫(huà)圖.

0.512345678

?-1011.622.32.62.83

log2?

師：我們?cè)诘讛?shù)的范圍中選擇了一個(gè)代表，畫(huà)出了

發(fā)現(xiàn)聯(lián)系它的圖象，在?>1的范圍中我們選擇哪個(gè)?函=數(shù)l呢og？2?

對(duì)稱作圖生：思考.0<?<1

師：我們可以有很多選擇，但為了研究問(wèn)題的方便，我們會(huì)選擇和

聯(lián)系密切的一個(gè)函數(shù)，大家想想是哪個(gè)函數(shù)？對(duì)了，就是

函?=數(shù)log2?！我們?cè)鯓赢?huà)出它的圖象呢？有的同學(xué)說(shuō)：再描點(diǎn)唄！

1

?=log2?

2

當(dāng)然可以了，不過(guò)你忽視了一點(diǎn)，就是它與的聯(lián)系.大家

2

回想：當(dāng)初我們?cè)诋?huà)指數(shù)函數(shù)的圖象?時(shí)=，lo是g?利用它與指數(shù)

1?

?=2

函數(shù)的聯(lián)系，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象

??

?1??1

與?=2的圖象關(guān)于軸對(duì)?=稱.2那么=你2能發(fā)現(xiàn)函數(shù)?=2的圖象

?1

?=2??=log2?

與的圖象的聯(lián)系嗎？

生?：=思l考o(jì)g、2?運(yùn)算、回答.

師：有的同學(xué)發(fā)現(xiàn)啦！由換底公式可得，

2

1log?

12

?=log2?=log22=?log?

所以兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，那么我們就可以利用兩個(gè)圖象

的對(duì)稱關(guān)系，由?的圖象畫(huà)出的圖象.一般地，函

1

2

?=log??=log2?

數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，大家可以自行證明.

1

?

?=log??=log???

這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)解題的一般方法——化歸！什么是“化歸”？正如莫

斯科大學(xué)教授A.雅諾夫斯卡婭所說(shuō)：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解

過(guò)的題.”下面請(qǐng)大家畫(huà)出函數(shù)的圖象.（教師展示PPT或

1

?=log2?

幾何畫(huà)板）

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)描點(diǎn)法和圖象變換法（對(duì)稱關(guān)系）畫(huà)出

兩個(gè)有代表性的函數(shù)圖象，進(jìn)一步熟悉畫(huà)函數(shù)圖象的兩種常用方

法，初識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象特征，體會(huì)數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用.

師：我們畫(huà)圖象的最終目的是什么？對(duì)！由圖象歸納概括函數(shù)的性

質(zhì).我們現(xiàn)在只畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象，感覺(jué)偏少，最好還是再多畫(huà)

3

約2增加素材出幾個(gè)函數(shù)圖象便于觀察與歸納,，就請(qǐng)電腦來(lái)幫助我們吧.我們先

分鐘豐富感知看當(dāng)?shù)讛?shù)在內(nèi)變化時(shí)的圖象特征（教師展示幾何畫(huà)板的動(dòng)

態(tài)圖象），?大家1,注+意∞觀察.再看當(dāng)?shù)讛?shù)在內(nèi)變化時(shí)的圖象特征

（教師展示幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)圖象），大?家注0意,1觀察.最后，我們選定

幾個(gè)具體的函數(shù)圖象作為代表（教師展示幾何畫(huà)板的靜態(tài)圖象，并

說(shuō)明函數(shù)圖象左右兩端的變化趨勢(shì)）.

【設(shè)計(jì)意圖】利用信息技術(shù)工具得到更多的函數(shù)圖象，增加感性素

材、豐富感性認(rèn)識(shí)，為抽象概括出函數(shù)性質(zhì)做好充分的鋪墊.

師：同學(xué)們！我們的準(zhǔn)備工作已就緒，下面就是這節(jié)課的核心內(nèi)容：

約4抽象概括

由圖象歸納概括函數(shù)的性質(zhì).有的同學(xué)已經(jīng)迫不及待了，別著急！

分鐘理性認(rèn)識(shí)

我們先冷靜地觀察、思考一下，根據(jù)上面這組圖象，我們?nèi)绾慰偨Y(jié)

對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)呢？有的同學(xué)說(shuō)了：類比指數(shù)函數(shù)的研究方法，需

要對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類研究.非常好！請(qǐng)大家完成下面的表格:

?>10<?<1

圖象

定義域

值域

4

過(guò)定點(diǎn)

性質(zhì)

單調(diào)性

（教師對(duì)表格內(nèi)容從幾何與代數(shù)兩個(gè)方面進(jìn)行解讀）

師：截至目前，我們已經(jīng)研究了兩類基本初等函數(shù)：指數(shù)函數(shù)和對(duì)

數(shù)函數(shù)，你發(fā)現(xiàn)研究它們的思路和方法的共性了嗎？都是先明確概

念，然后畫(huà)出函數(shù)圖象，進(jìn)而歸納概括其性質(zhì).

師：偉大的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉讓我們認(rèn)識(shí)到：對(duì)數(shù)源于指數(shù).從前面

約2發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的運(yùn)算過(guò)程：由，且得到，進(jìn)而得到

?

分鐘概念命名，以及?兩=類?函數(shù)?>的0性質(zhì)可?知≠，1?=log?，?且與

?

?=log??的定義域和值域正好互換，這時(shí)?=就?說(shuō)它?們>互0為反?函≠數(shù)1.大

?家=要l理og解??這里“反”的涵義，不是定義域與值域的簡(jiǎn)單互換，而是

本質(zhì)上從定義域到值域的對(duì)應(yīng)關(guān)系（運(yùn)算）的互逆！

【設(shè)計(jì)意圖】繼指數(shù)函數(shù)之后，再次引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由幾何直觀到代

數(shù)抽象的研究方法與過(guò)程，鞏固高中階段研究基本初等函數(shù)的一般

方法，了解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的聯(lián)

系性與整體性.

約4基礎(chǔ)運(yùn)用師：接下來(lái)我們看看這節(jié)課所學(xué)內(nèi)容可以解決哪些問(wèn)題.

分鐘小試牛刀例1比較下列各題中兩個(gè)值的大小：

（1），；（2），；

（3）log23.4，log28.5，且log0.31.8.log0.32.7

【設(shè)計(jì)lo意g?圖5.1】單lo調(diào)g?性5.的9正?>向0運(yùn)用：?比≠較1函數(shù)值的大小，因?yàn)閱握{(diào)性

的概念中蘊(yùn)含著不等關(guān)系的轉(zhuǎn)換.這里要強(qiáng)調(diào)性質(zhì)的分類屬性.

例2比較滿足下列條件的兩個(gè)正數(shù)的大?。?/p>

（1）；（2）?,?.

【設(shè)計(jì)lo意g3圖?】<單lo調(diào)g3性?的逆向運(yùn)用lo：g比0.3較?自<變log量0.的3?大小，因?yàn)閱握{(diào)性

的概念中蘊(yùn)含著不等關(guān)系的轉(zhuǎn)換.

5

約4實(shí)際運(yùn)用師：有一則廣告語(yǔ)同學(xué)們熟悉嗎：我們不生產(chǎn)水，我們只是大自然

分鐘模型思想的搬運(yùn)工！對(duì)了，這是某品牌飲用水的廣告詞.我國(guó)飲用水的國(guó)家

標(biāo)準(zhǔn)pH值是6.5～8.5的范圍，所謂pH值就是溶液中的氫離子濃

度指數(shù)，那么它是如何計(jì)量的呢？

例3溶液酸堿度的測(cè)量

溶液酸堿度是通過(guò)pH值計(jì)量的.pH的計(jì)算公式為pH=，

+

其中表示溶液中氫離子的濃度，單位是摩爾/升.?lgH

+

（H1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)及上述pH的計(jì)算公式，說(shuō)明溶液酸堿

度與溶液中氫離子的濃度之間的變化關(guān)系；

（2）已知純凈水中氫離子的濃度為摩爾/升，計(jì)算

+?7

純凈水的pH值；H=10

（3）已知某種飲用水的pH值