高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省邢臺(tái)市2025屆名校協(xié)作高三一模試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，又，所以.故選：B.2.若，則復(fù)數(shù)z的虛部是（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，則，所以復(fù)數(shù)z的虛部是.故選：B.3.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的離心率為，且它的長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于4，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由題意得，解得，所以橢圓方程為：，故選：A.4.已知為等比數(shù)列，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（）A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】由題設(shè)得，作差可得，即，又為等比數(shù)列，故其公比為3，且，即，所以.故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】∵，∴.∵，∴，∴，即，解得或（舍），∴.故選：C.6.設(shè)函數(shù)，則不等式的解集為（）.A. B.C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，即為偶函?shù)，當(dāng)時(shí)與，與均在上單調(diào)遞增，所以與均在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，即，解得或，即不等式的解集為.故選：B.7.已知，若，則（）A. B. C.15 D.35【答案】A【解析】令，可得，解得，，展開式中的系數(shù)為.故選：A.8.存在使不等式成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】存在,不等式成立，變形即成立，由于，因此有，兩邊平方，解得或.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，若（為的離心率），則（）A. B.的虛軸長(zhǎng)為C. D.的一條漸近線的斜率為【答案】AB【解析】由，知，，，由，得，即，，所以的虛軸長(zhǎng)為，故A，B正確，C錯(cuò)誤；由的漸近線方程為，得兩條漸近線的斜率分別為，，故D錯(cuò)誤．故選：AB．10.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，則（）A.為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸B.C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5【答案】ACD【解析】對(duì)于A，將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖象，則，所以為函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，故A正確；對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，而在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；對(duì)于D，對(duì)于，其周期為，最大值為，令，則，令，則，且，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，作出與在上的大致圖象，如圖，結(jié)合圖象可知，的與函數(shù)的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)為5，故D正確.故選：ACD.11.如圖，曲線是一條“雙紐線”，其上的點(diǎn)滿足：到點(diǎn)與到點(diǎn)的距離之積為4，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)在曲線上B.點(diǎn)在上，則C.點(diǎn)在橢圓上，若，則D.過作軸的垂線交于兩點(diǎn)，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，由定義知，A正確；對(duì)于B，由點(diǎn)在上，得，化簡(jiǎn)得，解得，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)恰好為與，則，由，得，則，，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，而，則，又，則，化簡(jiǎn)得，解得，，因此1，，D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若向量，滿足，，則_______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以．故答案為：?3.已知底面半徑為3的圓錐，其軸截面是正三角形，它的一個(gè)內(nèi)接圓柱的底面半徑為1，則此圓柱的側(cè)面積為__________.【答案】【解析】如圖作出圓錐的軸截面，根據(jù)題意可知,,所以可得,根據(jù)三角形相似可得,所以,可求得,根據(jù)圓柱側(cè)面積公式可得.故答案為：14.已知，則的最大值為_______．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?又因?yàn)椋?，從而，這就得到.而當(dāng)，時(shí)，有，且.所以的最大值為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.某社區(qū)組織居民開在垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).隨機(jī)對(duì)該社區(qū)名居民的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，成績(jī)均在內(nèi)，將成績(jī)分成組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析：第組有人，第組有16人，第組有人，第組有人，第組有人.現(xiàn)使用分層隨機(jī)抽樣的方法在第，組共選取人參加垃圾分類志愿者工作.（1）對(duì)該社區(qū)名居民進(jìn)行問卷調(diào)查，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，補(bǔ)全表格數(shù)據(jù)，并依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析能否認(rèn)為居民喜歡垃圾分類與性別有關(guān)；不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計(jì)男女合計(jì)（2）若從參加垃圾分類志愿者工作的人中隨機(jī)選取人參加垃圾分類知識(shí)宣講工作，記來自第組的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.附：，.解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下所示，

不喜歡垃圾分類喜歡垃圾分類合計(jì)男女合計(jì)零假設(shè)：居民喜歡垃圾分類與性別無關(guān)，則，所以依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為喜歡垃圾分類與性別有關(guān)；（2）用分層隨機(jī)抽樣的方法在第，組抽取的人數(shù)分別是，，所以可能的取值為，，，，，，所以的分布列為：.16.已知函數(shù)．（1）時(shí)，求的極值；（2）若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，，，得，當(dāng)，，單調(diào)遞增，當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，無極小值；（2）由題意可知，，即恒成立，即，恒成立，設(shè)，，設(shè)，，，設(shè)，所以，得（負(fù)值舍去），當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以的最大值為，即恒成立，所以單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，單調(diào)遞減，所以最大值為，所以.17.在直三棱柱中，，分別為，的中點(diǎn)，且，．（1）求證：；（2）求二面角的正弦值．（1）證明：因?yàn)闉橹崩庵?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)椋矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以．?）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，所以，，設(shè)平面的法向量，則，取，又平面的法向量，記二面角為，則，則，即二面角的正弦值為．18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)O(0，0)，A(3，0)的距離的比為，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線C．（1）求C的軌跡方程，并說明其形狀；（2）過直線x＝3上的動(dòng)點(diǎn)P(3，p)(p≠0)分別作C的兩條切線PQ、PR(Q、R為切點(diǎn))，N為弦QR的中點(diǎn)，直線l：3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、F，求△NEF的面積S的取值范圍．解：（1）設(shè)M(x，y)，由＝，得＝，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋2x－3＝0，即(x＋1)2＋y2＝4，故曲線C是以(－1，0)為圓心，2為半徑的圓．（2）由（1）知C(－1，0)，又P(3，p)，(p≠0)，則線段CP的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，|CP|＝，故以線段CP為直徑的圓的方程為(x－1)2＋＝，整理得x2＋y2－2x－py－3＝0①．由題意知，Q、R在以CP為直徑的圓上，又Q、R在圓x2＋y2＋2x－3＝0②上，由②－①，得4x＋py＝0，所以弦QR所在直線的方程為4x＋py＝0，可得QR恒過坐標(biāo)原點(diǎn)O(0，0)．由得(16＋p2)y2－8py－48＝0，設(shè)Q(x1，y1)，R(x2，y2)，則y1＋y2＝，所以點(diǎn)N的縱坐標(biāo)＝＝，因?yàn)閜≠0，所以≠0，所以點(diǎn)N與點(diǎn)C(－1，0)，O(0，0)均不重合．因?yàn)镹為弦QR的中點(diǎn)，且C(－1，0)為圓C的圓心，所以CN⊥QR，即CN⊥ON，所以點(diǎn)N在以O(shè)C為直徑的圓上，該圓的圓心為G，半徑為．因?yàn)橹本€3x＋4y＝6分別與x軸、y軸交于點(diǎn)E、F，所以E(2，0)，F(xiàn)，因此|EF|＝，圓心G到直線3x＋4y＝6的距離d＝＝．設(shè)△NEF的邊EF上的高為h，則點(diǎn)N到直線3x＋4y＝6距離h的最小值為d－r＝－＝1；點(diǎn)N到直線3x＋4y＝6的距離h的最大值為d＋r＝＋＝2．所以S的最小值＝××1＝，最大值＝××2＝．因此△NEF的面積S的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）若，證明：；（2）記數(shù)列的前項(xiàng)和為．（i）若，證明：．（ii）已知函數(shù)，若，，，