高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省南陽市六校2024-2025學年高一下學期4月期中考試數(shù)學試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故選：B.2.若角滿足，則角為（）A.第一或第四象限角 B.第二或第三象限角C.第三或第四象限角 D.第一或第三象限角【答案】D【解析】因，由可得，則為第一象限角，即，也即.當時，，即為第一象限角；當時，，即為第三象限角.綜上，角為第一或第三象限角.故選：D.3.在中，已知，則C＝（）A.60° B.30° C.30°或150° D.60°或120°【答案】D【解析】由正弦定理可得，即，解得，則或.故選：D.4.已知向量，不共線，，且與共線，則m＝（）A.2 B.－2C.1 D.－1【答案】B【解析】因為與，則存在唯一的實數(shù)t，滿足，即，整理可得，已知向量，不共線，等式成立等價于，解方程組，可得.故選：B.5.已知平面向量滿足，，若向量與的夾角為，則（）A. B. C.2 D.1【答案】A【解析】因為，又，所以，所以，即，所以，解得（負值已舍去）.故選：A.6.若函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，且為奇函數(shù)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為函數(shù)的圖象與直線的兩個相鄰交點之間的距離為，所以的最小正周期，又，所以，所以，則，又為奇函數(shù)且，所以，所以，所以的最小值為.故選：A.7.如圖，在中，，且BF與CE交于點M，設，則（）A. B. C. D.－1【答案】C【解析】因為三點共線，且，所以，又因為三點共線，且，所以，可得，解得，所以.故選：C.8.已知正三角形的邊長為，點，都在邊上，且，，為線段上一點，為線段的中點，則的最小值為（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】因為，即為的中點，又，所以為的中點，又正三角形的邊長為，所以，依題意，，所以，所以當時取得最小值，如圖，此時點在的位置，連接，則，又，，所以，所以，所以.故選：D.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列說法正確的是（）A.若非零向量滿足，，則B.C.若為單位向量，則D.向量可以作為平面內(nèi)的一個基底【答案】AC【解析】對于A：因為為非零向量，，所以存在非零實數(shù)，使得，又，所以存在實數(shù)使得，所以，所以，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：因為為單位向量，所以，所以，，所以，故C正確；對于D：因為，所以，即，所以向量不可以作為平面內(nèi)的一個基底，故D錯誤.故選：AC.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.若將的圖象向左平移個單位長度可以得到的圖象，則為奇函數(shù)【答案】ABC【解析】由圖象可知，函數(shù)過，代入則有，所以，又，所以，故A正確；又圖象過點，所以，所以，可得，，因為，所以，即，故B正確；由AB可知：，故C正確；將的圖象向左平移個單位長度可以得到，為偶函數(shù)，故D不正確.故選：ABC.11.已知函數(shù)，則（）A.的圖象關于直線對稱 B.是周期函數(shù)C.對任意恒成立 D.在上單調(diào)遞減【答案】BCD【解析】，故A不正確；，所以是周期函數(shù)，故B正確；由三角函數(shù)的有界性可知：，，所以，故C正確；時，單調(diào)遞增，且，又在上單調(diào)遞減，所以由同增異減的原則可知在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.中國傳統(tǒng)扇文化有著極其深厚的底蘊，折扇的扇面可看作從一個圓面中前下扇形制作而成如圖，扇面的兩條弧長分別為，的長度為，則扇環(huán)的面積為______．【答案】【解析】設所在扇形的半徑為，圓心角為，則，解得，所以扇環(huán)的面積為.13.南水北調(diào)中線工程源頭位于丹江口水庫，重點解決河南，河北，北京，天津的水資源短缺問題．如圖所示，B，E，F(xiàn)為山的兩側(cè)處于同一水平線上的三點，在山頂A處測得點B，E，F(xiàn)的俯角分別為60°，75°，45°，計劃沿直線BF開通引水隧洞，現(xiàn)已測得，則隧洞BE的長度為______．參考數(shù)據(jù)：．【答案】【解析】在中，由圖可知，，由正弦定理可得：，又因為，解得，在中，由圖有，，則由正弦定理可得：，解得.14.已知在平行四邊形ABCD中，，過點B作于點E，則的取值范圍為______．【答案】【解析】設，，則，，因，則，，得，，因，且不共線，則，則，聯(lián)立與，得，解得，得，則，因，則，故的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.如圖，在平面直角坐標系中，以原點為頂點，軸非負半軸為始邊作角與，它們的終邊分別與以為圓心的單位圓相交于點，，且點的坐標為．單位圓與軸的非負半軸交于點，的面積是的面積的倍．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）因為在單位圓上，且位于第一象限，所以且，解得，所以，所以，.（2）因為面積是的面積的倍，所以，又，所以，即，又，解得或（舍去）；所以.16.已知向量，，且在方向上的投影數(shù)量為．（1）求；（2）若與的夾角是銳角，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）因為，，所以，，又在方向上的投影數(shù)量為，所以，解得.（2）由（1）可知，所以，，因為與的夾角是銳角，所以且與不共線；當時，即，解得；當與共線時，，解得；綜上可得實數(shù)的取值范圍為.17.已知函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與原來的圖象重合．（1）若，求值域；（2）求函數(shù)的值域．解：（1）因為函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后與原來的圖象重合，所以，所以，又，所以，所以，且其最小正周期，所以在上的值域與的值域相同，由，則，所以，所以當時的值域為.（2）因為，又，所以，所以，即函數(shù)的值域為.18.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求的解析式；（2）求在區(qū)間上的單調(diào)性；（3）若函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點，求b的取值范圍．解：（1）由圖象可知，解得：，又由于，所以，由圖象及五點法作圖可知：，所以，因為，所以，所以.（2）由（1）知，，因為，所以，當時，即時，單調(diào)遞增，當時，即時，單調(diào)遞減，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.（3），函數(shù)在區(qū)間上恰有2個零點，等價于在區(qū)間上恰有2個零點.時，，令，則圖象的第二個零點為，即，第三個零點為，即，所以.19.在中，已知角A，B，C的對邊分別為a，b，c，D為邊上一點．（1）若，，求；（2）若，平分，，求的取值范圍；（3）若于點，且，求的最大值．解：（1）因為，由余弦定理可得，整理得，又，所以，則，所以，