高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省豫北名校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若拋物線的準(zhǔn)線方程為，則其焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，拋物線的方程為，故其焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2.若，則（）A.5 B.20 C.60 D.120【答案】D【解析】因?yàn)?，由組合數(shù)的性質(zhì)可得，解得，故.故選：D.3.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，則.故選:C.4.展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)是（）A.1760 B. C.220 D.【答案】B【解析】由題意可得其展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為.故選：B.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，，，，，又，．故選：A．6.現(xiàn)某酒店要從3名男廚師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營(yíng)養(yǎng)師，則至少有1名女廚師被選中的不同選法有（）A.14種 B.18種 C.12種 D.7種【答案】A【解析】從3名男剅師和2名女廚師中選出兩人，分別做調(diào)料師和營(yíng)養(yǎng)師，共有20（種），沒(méi)有女廚師被選中的選法共有（種），故至少有1名女廚師被選中的不同選法有（種）.故選：A.7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，為右支上異于頂點(diǎn)的一點(diǎn)，直線PM平分，且，則的離心率為（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】由，得，設(shè)與交于點(diǎn)，如圖，由直線PM平分，且，可得為等腰三角形，則為的中點(diǎn)，則，且，所以，，所以，即，所以.故選：B.8.已知函數(shù)，若當(dāng)時(shí)，恒成立，則的最大值為（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】依題意，，，設(shè)函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則當(dāng)時(shí)，；令，則，若恒成立，則，否則，下面驗(yàn)證時(shí)存在滿足題意，不妨令，則，在處的導(dǎo)數(shù)值為，取，此時(shí)，設(shè)函數(shù)，要證恒成立，只需證恒成立，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，所以的最大值為e.故選：D二、選擇題:本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表:0125則下列說(shuō)法正確的是（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由分布列的基本性質(zhì)知，解得，故A正確;故，，故B錯(cuò)誤，C正確;由離散型隨機(jī)變量期望的性質(zhì)可得，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.10.已知直線，圓，則下列說(shuō)法正確是（）A.直線過(guò)定點(diǎn) B.圓與軸相切C.若與圓有交點(diǎn)，則的最大值為0 D.若平分圓的周長(zhǎng)，則【答案】AB【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，直線的方程可化為，由，解得，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，圓的方程可化為，所以圓心為，半徑為，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)直線與圓有交點(diǎn)時(shí)，直線的斜率存在，不妨設(shè)直線方程為，即，由，整理得到，得到，又，所以，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D，若平分圓的周長(zhǎng)，將圓心的坐標(biāo)代入直線的方程，解得此時(shí)，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，故選：AB.11.已知首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列滿足，則（）A.遞增數(shù)列 B.C. D.數(shù)列為遞減數(shù)列【答案】ACD【解析】對(duì)A，由，，，可得，即，可得數(shù)列an為遞增數(shù)列，故A正確；對(duì)B，由數(shù)列an為遞增數(shù)列，可得，即有，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，由A知，an為遞增數(shù)列，且，，所以，故C正確.對(duì)D，由，可得，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故D正確．故選：ACD．三、填空題:本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.若甲同學(xué)在某次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一的概率為，記該同學(xué)在本次期中考試中數(shù)學(xué)成績(jī)班級(jí)第一發(fā)生的次數(shù)為離散型隨機(jī)變量，則______.【答案】【解析】由題意可得服從兩點(diǎn)分布，故，故.故答案為：13.為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，則的公差為_(kāi)______．【答案】2【解析】顯然數(shù)列的公比為1，否則，此時(shí)不可能是等差數(shù)列，故公比，此時(shí)為常數(shù)列，由可得，故，所以數(shù)列的公差為2．故答案為：2．14.已知當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______________.【答案】【解析】由題意得直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，易知，令f'x>0，得，令f'x所以函數(shù)在12,1上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，作出函數(shù)在上的大致圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：四、解答題:共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知A，B分別為橢圓上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線HA，HB分別交于另一點(diǎn)D，C.（1）求直線HA，HB的一般式方程;（2）求直線CD的斜率.解：（1）由題意可得，又，故，整理得直線HA的一般式方程為；，整理得直線HB的一般式方程為；（2）設(shè)，聯(lián)立，整理得，故，由得，代入，得，即；聯(lián)立，整理得，故，由，得，代入，得，故，則.16.在一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)淺色球，其中一個(gè)球的標(biāo)號(hào)為1，另一個(gè)密閉不透明的箱子中有五個(gè)深色球，其中兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)為2，3.（1）若在兩個(gè)箱子中各抽取兩個(gè)球，求抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率;（2）若在兩個(gè)箱子中共隨機(jī)抽取四個(gè)球，記其中淺色球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列.解：（1）由題意可得共有（種）不同的抽法，抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，或1，3的種數(shù)有，標(biāo)號(hào)為2，3的種數(shù)有，抽到1,2,3的種數(shù)有，合計(jì)（種）不同的抽法，所以抽取的四個(gè)球中，標(biāo)號(hào)為1，2，3的三個(gè)球中至少有兩個(gè)的概率為.（2）由題意知，的可能取值為0，1，2，3，4.，，，，所以的分布列為X01234P17.如圖為上、下底面半徑分別為1，2的圓臺(tái)，其中AB為上底面直徑，BP為母線，CD在上底面，且，.該圓臺(tái)的體積為為線段AP上一點(diǎn)，且平面PBC.（1）求的長(zhǎng)度;（2）若平面PAD∩平面，求直線與平面PAC所成角的正弦值.解：（1）如圖，取AB的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)?，，所以，所以四邊形是平行四邊形，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?又平面平面，，所以平面平面.因?yàn)槠矫?，所以平面PBC.又平面PAB，平面平面，所以.又是AB的中點(diǎn)，所以是AP的中點(diǎn).設(shè)圓臺(tái)的高為h，由，解得，故.（2）以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，故，因?yàn)槠矫鍼BC，又平面PAD，平面平面，故，設(shè)為平面PAC的法向量，則取，得為平面的一個(gè)法向量，設(shè)為與平面所成的角，則.18.定義表示不超過(guò)的最大整數(shù)，已知，記數(shù)列的前項(xiàng)和為.（1）求的值;（2）已知是正整數(shù)，求.參考公式:.解：（1）由題意可得時(shí)，，故；（2）當(dāng)時(shí)，代入公式可得，且，故當(dāng)時(shí)，時(shí)，，代入上式也成立.綜上，.19.設(shè)函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）已知直線與曲線交于三點(diǎn)，且．（i）若成等差數(shù)列，求k；（ii）證明：．解：（1）易得，令，得,,；令，得，故的單調(diào)遞增區(qū)間