試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學(xué)九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：三角形證明與計(jì)算1．已知：如圖，是的中線，點(diǎn)在上，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．2．如圖①所示，中，，垂足為．(1)求證：；(2)延長(zhǎng)至，使，如圖②所示，連接，．①求證：；②若，求．3．如圖，中，，，于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，連接，且．(1)求的度數(shù)；(2)求證：．4．如圖1，在等腰直角三角形中，，，是的中點(diǎn)，，分別是，上的點(diǎn)（點(diǎn)不與端點(diǎn)，重合），且．(1)求證：；(2)如圖2，連接并取的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，，，．當(dāng)四邊形的面積為5時(shí)求線段的長(zhǎng)度．5．已知：如圖，，，垂足分別為，，，相交于點(diǎn)，且．

(1)求證：；(2)已知，，求的長(zhǎng)度．6．如圖，在中，，垂足為，，延長(zhǎng)至，使得，連接．(1)求證：；(2)若，，求的周長(zhǎng)．7．如圖，是等腰直角三角形，，為邊上一點(diǎn)，，．(1)證明：；(2)若，求的度數(shù)．8．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，上，點(diǎn)，均在上，連接，交于點(diǎn)，連接，已知，，連接．(1)試說明．(2)若，，求的度數(shù)．9．已知：如圖所示，在中，為邊上的中線，且，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．10．如圖，在等腰中，，，是上一點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，連接、．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．11．如圖1，在等邊中，，點(diǎn)O在邊上，且，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿射線以的速度運(yùn)動(dòng)，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．．(1)用含t的代數(shù)式表示的長(zhǎng)；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)，求證：；(3)當(dāng)平行于的一邊時(shí)，直接寫出t的值；(4)作點(diǎn)D關(guān)于點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)E，經(jīng)過，點(diǎn)E恰好落在射線上．12．如圖，于點(diǎn)，于點(diǎn)，，．(1)求證：；(2)已知，，求的長(zhǎng)．13．如圖，在中，邊、的垂直平分線分別交于點(diǎn)、，直線、交于點(diǎn)．(1)求證：點(diǎn)在邊的垂直平分線上；(2)若，則的大小為度．14．如圖，點(diǎn)、、、在同一條直線上，點(diǎn)、分別在直線的兩側(cè)，且，，．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．15．為等腰直角三角形，，點(diǎn)在邊上（不與點(diǎn)、重合），以為腰作等腰直角，．(1)如圖1，作于F，求證：；(2)在圖中，連接交于，如圖，求的值；(3)如圖，過點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究線段，與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《2025年中考數(shù)學(xué)九年級(jí)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)練習(xí)：三角形證明與計(jì)算》參考答案1．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)；（1）先證明，結(jié)合，，從而可得結(jié)論；（2）先求解，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵是的中線，∴，∵，，∴；（2）解：∵，∴，∵，∴；2．(1)詳見解析(2)①詳見解析；②【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，掌握射影定理是解題的關(guān)鍵．（1）證明，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得證；（2）①利用兩組邊對(duì)應(yīng)成比例且它們的夾角相等的三角形相似證明，再利用相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等即可得證；②延至點(diǎn)，使，連接，可得，，證明得到從而求出，即，再求出，從而得到的值，從而利用得解．【詳解】（1）證明：，，（2）①證明：由（1）知又②解：延至點(diǎn)，使，連接又，，又，又∵，在中又∵，∴3．(1)(2)證明見解析【分析】（）證明為等邊三角形即可求解；（）由等邊三角形的性質(zhì)可得，，進(jìn)而由三角形外角性質(zhì)得，即得，即可求證；本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定，掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，，∴為等邊三角形，∴；（2）證明：∵為等邊三角形，，∴，，∵，，∴，∴，∴．4．(1)見解析(2)1或3【分析】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，，，從而得出，即可證明；（2）連接，證明四邊形為正方形，得出，求出，再由勾股定理計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解：，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，且，，，又；∴；（2）解：連接，，∵的中點(diǎn)為，∴，∵，∴四邊形為平行四邊形，∵，∴，，∴四邊形為菱形，∵，∴，即，∴四邊形為正方形，∵四邊形的面積為5，∴，∴，∵，，∴，∴，解得：或3．5．(1)見解析(2)．【分析】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）由條件可求得，利用可證明；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得，，則，然后再根據(jù)即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；∵，∴，∴；在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，，∵，∴，∴．6．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、勾股定理，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．（1）利用全等三角形的判定方法證明，即可得證；（2）利用勾股定理求出的長(zhǎng)，利用全等三角形的性質(zhì)得到，得出的長(zhǎng)，再利用勾股定理求出的長(zhǎng)，最后利用三角形的周長(zhǎng)公式即可求解．【詳解】（1）證明：，，在和中，，，．（2）解：，，，，，由（1）得，，，，，，，，的周長(zhǎng)．7．(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．（1）根據(jù)可證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得結(jié)論；（2）由得到，推出是等腰直角三角形，得到，則，最后根據(jù)求解即可．【詳解】（1）證明：∵是等腰直角三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴．8．(1)證明見詳解(2)【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理及平行線的判定與性質(zhì)，熟知三角形內(nèi)角和定理及平行線的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先利用及得出，進(jìn)而得出，再由得出即可解決問題．（2）先根據(jù)和的度數(shù)得出的度數(shù)，再根據(jù)即可解決問題．【詳解】（1）解：證明：，，，，．又，，．（2）解：，．又，．，．，；9．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中線的定義推出，進(jìn)而得到，，推出，根據(jù)同角的余角相等，即可得證；（2）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）證明：為邊上的中線，，，，，，，，，，，，；（2）解：，，，，，，，，的長(zhǎng)為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊對(duì)等角，勾股定理，含30度角的直角三角形．解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用．10．(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是綜合運(yùn)用以上知識(shí)．（1）根據(jù)E點(diǎn)繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，可得，進(jìn)而可以證明；（2）結(jié)合（1），和等腰三角形的性質(zhì)，可得，進(jìn)而得到，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】（1）解：中，，，，由旋轉(zhuǎn)可知：，，∴，∴，在與中，，；（2）解：，；．11．(1)(2)見解析(3)的值為4或6(4)10【分析】本題考查幾何變換綜合應(yīng)用，涉及全等三角形判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及動(dòng)點(diǎn)問題等，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用．（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（2）由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，可得，而是等邊三角形，有，故，即得，由可證；（3）當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，可得，；當(dāng)時(shí)，可得，重合，，故；（4）由線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，得，，又關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，有，故，再證，，即可得，，可得，，從而．【詳解】（1）解：由已知得，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；；（2）證明：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，在和中，，；（3）解：當(dāng)時(shí)，如圖：，，，是等邊三角形，，，；當(dāng)時(shí)，如圖：，，，重合，，，綜上所述，的值為4或6；（4）解：如圖：線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，，，，，，，，，，，，，，，，，故答案為：10．12．(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．（1）由定理即可得出結(jié)論；（2）先證明，得到，則，又由，即，即可求解．【詳解】（1）證明：于，于，，在與中，．（2）解：；，在與中，；，，，，．，．13．(1)證明見詳解(2)20【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段平分線的判定和性質(zhì)．（1）構(gòu)造輔助線，利用到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上進(jìn)行證明即可；（2）利用線段垂直平分線的性質(zhì)得出等邊對(duì)等角，再利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出角的度數(shù)．【詳解】（1）證明：如圖，連接，∵垂直平分線段，垂直平分線段，∴，，∴點(diǎn)在邊的垂直平分線上；（2）解：∵垂直平分線段，垂直平分線段，，，，，，，∴的大小為，故答案為：20．14．(1)見詳解(2)2【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和判定．（1）可直接利用證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可以得到，再由，利用線段之間和差關(guān)系即可求解．【詳解】（1）證明：∵，，在和中，；（2）解：，，，．15．(1)見解析(2)的值為2(3)，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)與判定，添加輔助選構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．