高中PAGE1試題2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)中央工藝美術(shù)學(xué)院附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一．選擇題：（每題4分）1．（4分）復(fù)數(shù)z＝﹣2+2i的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2i2．（4分）已知A（2，1），B（4，3），則線段AB中點坐標(biāo)為（）A．（1，1） B．（2，2） C．（2，3） D．（3，2）3．（4分）已知向量a→=(x，3)，b→=(4，6)，且A．2 B．3 C．4 D．64．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊的中點，設(shè)AD→=a→，A．?a→+12b→ B．5．（4分）把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移π3個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1A．y=sin(x3+πC．y=sin(3x+π3)6．（4分）設(shè)a→，b→均為單位向量，且a→?bA．3 B．6 C．6 D．97．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(0，πA．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sinx8．（4分）如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，BD＝2DC，如果AD→=xAB→A．x=13，y=23 B．x=C．x=?23，y=13 D．x二．填空題：（每題4分）9．（4分）若復(fù)數(shù)z＝m+1+（m﹣1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m＝．10．（4分）已知M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且MP→=12MN11．（4分）已知在△ABC中，a=6，B＝120°，A＝30°，則b＝12．（4分）在△ABC中，已知a＝4，b＝42，B＝45°，則∠A＝．13．（4分）已知復(fù)數(shù)z=2i1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)z14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a＝3，b=2，c＝22，那么cosA＝三．解答題：（共44分）15．（8分）已知a→（1）求a→（2）設(shè)a→，b→的夾角為θ，求cos16．（9分）已知向量a→，b→的夾角為（1）求a→（2）若2a→?b→17．（9分）已知π2＜α＜π，（1）求tanα的值；（2）求cos(2α?π18．（9分）已知函數(shù)f(x)=23（1）求f（x）最小正周期；（2）當(dāng)x∈[0，π2]時，求f（x19．（9分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝2，cosB=3（Ⅰ）若b＝4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面積S＝4，求b、c的值．

2023-2024學(xué)年北京市東城區(qū)中央工藝美術(shù)學(xué)院附中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號12345678答案ADAACBCA一．選擇題：（每題4分）1．（4分）復(fù)數(shù)z＝﹣2+2i的虛部為（）A．2 B．﹣2 C．0 D．2i【分析】根據(jù)虛部的定義直接求解．【解答】解：復(fù)數(shù)z＝﹣2+2i的虛部為2．故選：A．【點評】本題考查復(fù)數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）已知A（2，1），B（4，3），則線段AB中點坐標(biāo)為（）A．（1，1） B．（2，2） C．（2，3） D．（3，2）【分析】利用中點坐標(biāo)公式直接求解即可．【解答】解：因為A（2，1），B（4，3），由中點坐標(biāo)公式可得2+42=3，所以線段AB中點坐標(biāo)為（3，2）．故選：D．【點評】本題考查中點坐標(biāo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）已知向量a→=(x，3)，b→=(4，6)，且A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根據(jù)平行向量的坐標(biāo)表示，列方程求出x的值．【解答】解：向量a→=(x，3)，b→則6x﹣3×4＝0，解得x＝2．故選：A．【點評】本題考查了平行向量的坐標(biāo)運算問題，是基礎(chǔ)題．4．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E是AB邊的中點，設(shè)AD→=a→，A．?a→+12b→ B．【分析】利用平面向量的線性運算及三角形法則求解即可．【解答】解：因為在正方形ABCD中，E是AB邊的中點，設(shè)AD→=a則DE→故選：A．【點評】本題考查了平面向量線性運算以及向量的三角形法則的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移π3個單位后，再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的1A．y=sin(x3+πC．y=sin(3x+π3)【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求解即可．【解答】解：把函數(shù)y＝sinx的圖象向左平移π3個單位后，可得y=sin(x+再把圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的13，縱坐標(biāo)不變，得y=sin(3x+故選：C．【點評】本題考查了函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）設(shè)a→，b→均為單位向量，且a→?bA．3 B．6 C．6 D．9【分析】利用向量的模的運算法則，結(jié)合向量的數(shù)量積求解即可．【解答】解：a→，b→均為單位向量，且則|a→+2b→故選：B．【點評】本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，向量的模的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．7．（4分）下列四個函數(shù)中，以π為最小正周期，且在區(qū)間(0，πA．y＝sin2x B．y＝cos2x C．y＝tanx D．y＝sinx【分析】利用三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，逐一判斷各個選項是否正確，從而得出結(jié)論．【解答】解：在區(qū)間（0，π2）上，2x∈（0，π），y＝sin2x沒有單調(diào)性，故排除A在區(qū)間（0，π2）上，2x∈（0，π），y＝cos2x單調(diào)遞減，故排除B在區(qū)間（0，π2）上，y＝tanx單調(diào)遞增，且其最小正周期為π，故C根據(jù)函數(shù)以π為最小正周期，y＝sinx2的周期為2π12=4故選：C．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的單調(diào)性和周期性，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）如圖，在△ABC中，點D在線段BC上，BD＝2DC，如果AD→=xAB→A．x=13，y=23 B．x=C．x=?23，y=13 D．x【分析】利用AB→，AC→將【解答】解：∵BD＝2DC，∴CD→∵AD→∴AD→∴x=13，故選：A．【點評】本題考查了平面向量的數(shù)乘與線性運算，考查學(xué)生的分析能力，計算能力；屬于基礎(chǔ)題．二．填空題：（每題4分）9．（4分）若復(fù)數(shù)z＝m+1+（m﹣1）i為純虛數(shù)，則實數(shù)m＝﹣1．【分析】根據(jù)所給的復(fù)數(shù)是一個純虛數(shù)，得到這個復(fù)數(shù)的實部等于0，虛部不等于0，得到關(guān)于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵復(fù)數(shù)z＝m+1+（m﹣1）i為純虛數(shù)，∴m+1＝0，m﹣1≠0，∴m＝﹣1故答案為：﹣1【點評】本題考查復(fù)數(shù)的基本概念，是一個基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵是看清一個復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，要滿足虛部不等于0，這里容易漏掉．10．（4分）已知M（3，﹣2），N（﹣5，﹣1），且MP→=12MN→，則P點的坐標(biāo)為【分析】設(shè)出點P坐標(biāo)，表示出MP→，MN→，代入MP→【解答】解：設(shè)點P（x，y），則MP→=（x﹣3，y+2），又MP→∴x?3=?4y+2=∴x＝﹣1，y=?3∴P（﹣1，?3故答案為：P（﹣1，?3【點評】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運算問題，是基礎(chǔ)題．11．（4分）已知在△ABC中，a=6，B＝120°，A＝30°，則b＝32【分析】利用正弦定理直接求解．【解答】解：在△ABC中，a=6，B＝120°，A由正弦定理得asinA=b則12b=3故答案為：32【點評】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．12．（4分）在△ABC中，已知a＝4，b＝42，B＝45°，則∠A＝30°．【分析】由正弦定理，解得sinB．再由b＜a，可得B＜A＝45°，由此可得B的值．【解答】解：在△ABC中，∠A＝45°，a＝4，b＝42，則由正弦定理可得42sin45°=4再由b＞a，可得B＞A，故A為銳角，故A＝30°，故答案為：30°．【點評】本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，大邊對大角，屬于中檔題．13．（4分）已知復(fù)數(shù)z=2i1+i，則z的共軛復(fù)數(shù)z=1﹣【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算化簡，則z的共軛復(fù)數(shù)可求．【解答】解：∵z=2i∴z=1?i故答案為：1﹣i．【點評】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算，考查了復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題．14．（4分）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果a＝3，b=2，c＝22，那么cosA＝18【分析】由已知結(jié)合余弦定理即可直接求解．【解答】解：由余弦定理可得，cosA=b故答案為：1【點評】本題主要考查了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題．三．解答題：（共44分）15．（8分）已知a→（1）求a→（2）設(shè)a→，b→的夾角為θ，求cos【分析】（1）進(jìn)行向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運算即可；（2）根據(jù)向量夾角的余弦公式即可求出cosθ的值．【解答】解：（1）a→（2）cosθ=a【點評】本題考查了向量坐標(biāo)的減法、數(shù)乘和數(shù)量積的運算，根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量長度的方法，向量夾角的余弦公式，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（9分）已知向量a→，b→的夾角為（1）求a→（2）若2a→?b→【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的定義直接求解；（2）由題意得(2a→?【解答】解：（1）因為向量a→，b→的夾角為所以a→（2）因為2a→?所以(2a所以2ta所以2t+2﹣t﹣4＝0，解得t＝2．【點評】本題考查平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及運算，屬基礎(chǔ)題．17．（9分）已知π2＜α＜π，（1）求tanα的值；（2）求cos(2α?π【分析】（1）根據(jù)已知條件求出sinα，然后利用同角三角函數(shù)的關(guān)系可求得答案；（2）先利用二倍角公式求出sin2α，cos2α，然后利用兩角差的余弦公式化簡計算即可．【解答】解：（1）因為π2＜α＜π，所以sinα=1?co所以tanα=sinα（2）因為cosα=?45，所以sin2α=2sinαcosα=2×3cos2α=2cos所以cos(2α?=7【點評】本題主要考查了二倍角公式，和差角公式及同角基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．18．（9分）已知函數(shù)f(x)=23（1）求f（x）最小正周期；（2）當(dāng)x∈[0，π2]時，求f（x【分析】（1）利用正余弦的二倍角公式、兩角和的正弦展開式化簡f（x），再求最小正周期；（2）根據(jù)x的范圍求出2x+π【解答】解：（1）f(x)=2=2(3所以f（x）最小正周期T=2π（2）當(dāng)x∈[0，π2]所以?1≤2sin(2x+π∴當(dāng)2x+π6=π2，即x=【點評】本題考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．19．（9分）已知△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且a＝2，cosB=3（Ⅰ）若b＝4，求sinA的值；（Ⅱ）若△ABC的面積S＝4，求b、c的值．【分析】本題考查的知識點是正弦定理與余弦定理，（1）由cosB=35，我們易求出B的正弦