計(jì)算不定積分的方法分析目錄摘要 1關(guān)鍵詞 11引言 12不定積分的定義 13不定積分公式 24線性運(yùn)算法則 35第一換元積分法 56第二換元積分法 87分部積分法 108有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分 138.1有理函數(shù)的不定積分 138.2三角函數(shù)有理式的不定積分 138.3某些無(wú)理根式的不定積分 159總結(jié) 17參考文獻(xiàn) 18摘要：首先給出不定積分的定義與性質(zhì)，然后論述計(jì)算不定積分的主要方法，其中包括：直接積分法、第一換元法、第二換元法和分部積分法，最后介紹有理函數(shù)的積分.關(guān)鍵詞：不定積分；換元積分法；分部積分法1引言不定積分的知識(shí)是大學(xué)理科課程中的一個(gè)核心內(nèi)容，首先它是許多相關(guān)積分的起點(diǎn)，同時(shí)它也是求解方程的便捷工具.因此，學(xué)好不定積分的計(jì)算方法更加有利于后續(xù)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí).2不定積分的定義原函數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)與在區(qū)間上都有定義，若，，則稱為在區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).不定積分的定義：函數(shù)在區(qū)間上的全體原函數(shù)稱為在上的不定積分REF_Ref1966\r\h[1].例1求.解：由于，所以是的一個(gè)原函數(shù).因此.例2求.解：當(dāng)時(shí)，由于，所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).因此，在內(nèi)，當(dāng)時(shí)，由于，所以是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù).因此，在內(nèi)，根據(jù)在及內(nèi)的結(jié)果，可寫作.3.不定積分公式由于積分過(guò)程是微分過(guò)程的反過(guò)程，因此可以從導(dǎo)出的公式中獲得相應(yīng)的積分公式REF_Ref6592\r\h[2].下面是一些基本積分公式列成的一個(gè)表，叫做基本積分表.被積函數(shù)積分后0C1（）（）例3求.解：.例4求.解：.例5求.解：.4線性運(yùn)算法則線性運(yùn)算法則：若函數(shù)和在區(qū)間上都存在原函數(shù)，，為兩個(gè)任意常數(shù)，則在上也存在原函數(shù)，且當(dāng)和不同時(shí)為零時(shí)有成立REF_Ref3510\r\h[3].證：這是因?yàn)?線性法則的一般形式為.不定積分的運(yùn)算性質(zhì)：性質(zhì)1：.性質(zhì)2：,其中C為任意常量函數(shù).性質(zhì)3：.性質(zhì)4：.例6求的不定積分.解：.例7求解：.例8求解：.例9求解：.例10求解：.例11求不定積分.解：設(shè)因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以不定積分在上存在.因此可以設(shè)的一個(gè)原函數(shù)為，且滿足，.則當(dāng)時(shí)，.所以存在常數(shù)，使得，.由于在上連續(xù)，因此在處連續(xù)，所以有，所以.因此.當(dāng)遇到復(fù)雜的積分時(shí)，僅僅有這些基本公式是不夠用的，像，，，，，，等一些基本的函數(shù)是沒(méi)有直接積分的方法來(lái)獲得它們的原始函數(shù)，那么直接積分法就無(wú)法計(jì)算了，所以我們也需要從一些演繹規(guī)則中推導(dǎo)一些不定積分規(guī)則，并不斷利用這些導(dǎo)出的不定積分規(guī)則改進(jìn)不定積分公式，接下來(lái)我們討論別的方法.5第一換元積分法換元積分法的概念：設(shè)在區(qū)間上有定義，在區(qū)間上有定義,在區(qū)間上可導(dǎo)，且.第一換元積分法的概念：如果不定積分在上存在，則不定積分在上也存在,且.證：因?yàn)閷?duì)于任何，有，所以以為其原函數(shù)，式成立.計(jì)算第一換元積分法的方法是把積分函數(shù)中的一部分送到的括號(hào)里湊成基本公式的形式再來(lái)積分，先找容易求出原函數(shù)的積分，將被積函數(shù)湊成，，其中，.我們常用的湊微分公式有：1.2.3.4.5.6.7.例12求.解：由==可令，，則得.例13求.解：（令）.例14求.解：.例15求.解：.例16求.解：【解法一】直接運(yùn)用上述例題中的結(jié)論得：=【解法二】.注：和只是形式上的不同.由此可見，使用第一換元積分法的關(guān)鍵在于湊成，然后令，化為易于積分的.6第二換元積分法第二換元積分法的概念：如果在上存在,且在上也存在，則當(dāng)在上存在時(shí)，在上有REF_Ref2541\r\h[4].證：設(shè).對(duì)于任意的，有.所以存在常數(shù)，使得對(duì)于任何成立，從而對(duì)于任何成立.因此對(duì)于任何，有，即為的原函數(shù)，式成立.例17求.解：令，則：.例18求.解：令，（這是存在反函數(shù)的一個(gè)單調(diào)區(qū)間）.于是.例19求.解：令，，于是有由圖可知，，，所以.例20求.解：令，，于是有.有些不定積分還可采用兩種換元方法來(lái)計(jì)算.例21求.解：【解法一】：【解法二】：.7分部積分法分部積分法概念：若與可導(dǎo)，存在，則也存在，并有.常簡(jiǎn)寫作REF_Ref2034\r\h[5].證：由或，對(duì)兩邊求不定積分，就得到式.應(yīng)用分部積分法求不定積分時(shí)可以直接應(yīng)用分部積分公式或者是被積表達(dá)式變形后的公式，而求不定積分的關(guān)鍵是確定定義或是，易求，所以易求REF_Ref3354\r\h[6].正確選定，通常有以下四個(gè)規(guī)律：被積函數(shù)是三角函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)之積的話把三角函數(shù)湊到當(dāng)中去,被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與多項(xiàng)式函數(shù)之積的話把指數(shù)函數(shù)湊到當(dāng)中去，被積函數(shù)是三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積的話把三角函數(shù)湊到當(dāng)中去，不屬于以上三種類型的不能湊的不要湊，能湊的湊到當(dāng)中去REF_Ref7127\r\h[7].例22求.解：令，，則有，.由公式求得.例23求.解：令，，則，，由公式求得.例24求.解：令，，由公式則有.例25求.解：.例26求和.解：由此得到解此方程組，求得.例27求的遞推公式.解：已知，.當(dāng)時(shí)，所以.8有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分8.1有理函數(shù)的不定積分從多項(xiàng)式除法可以看出，假分?jǐn)?shù)始終可以轉(zhuǎn)換為多項(xiàng)式和實(shí)分?jǐn)?shù)的總和.由于很容易找到多項(xiàng)式的不定積分，因此只需研究有理真分式的不定積分REF_Ref7330\r\h[8].例28求.解：.8.2三角函數(shù)有理式的不定積分對(duì)于這種形式的有理式求不定積分，可以令，然后再求不定積分REF_Ref7526\r\h[9].例29求.解：令，則.例30求.解：令，就有.通常被積的函數(shù)有，以及時(shí)，可令，往往會(huì)產(chǎn)生不錯(cuò)的效果.8.3某些無(wú)理根式的不定積分對(duì)于這種形式的不定積分，只需令，然后再求不定積分REF_Ref4382\r\h[10].例31求.解：讓，則，，.例32求.解：,讓，則，，.對(duì)于這種形式的不定積分（時(shí)，時(shí)）.因?yàn)?，若令，，則必出現(xiàn)以下情況之一：，，.因此可以化為：，.然后分別令，，，就可以求不定積分了.例33求.解：【解法一】因?yàn)樗?【解法二】令，則，，所以注：，上述結(jié)果對(duì)同樣成立.9總結(jié)不定積分的計(jì)算方法有許多，但在不同的情況下，要結(jié)合不同的問(wèn)題的實(shí)際情況采取不同的問(wèn)題和方法.需要強(qiáng)調(diào)一點(diǎn),查找不定積分是指以原始函數(shù)形式表示的不定積分，但是沒(méi)有質(zhì)數(shù)函數(shù)的不定積分不能被“終止”.例如，，，等函數(shù)，盡管它們?nèi)看嬖?，但是它們不能用基本函?shù)表示.參考文獻(xiàn)：同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)上冊(cè)[M].第六版.北京:高等教育出版社,2007.趙振海.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題全解[M].大連:大連理工大學(xué)出版社，2004.李德新.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題指導(dǎo)[M].廈門:廈門大學(xué)出版社,2009.華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析上冊(cè)[M].第四版.北京:高等教育出版社,2010.劉玉璉，傅沛仁，林玎，菀德馨，劉寧.數(shù)學(xué)分析講義上冊(cè)[M].第五版.北京:高等教育出版社，2008.張?zhí)斓?韓振來(lái).數(shù)學(xué)分析輔導(dǎo)及習(xí)題精解[M].延吉:延邊大學(xué)出