高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1遼寧省大連市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意，.故選：D.2.已知，則的值為（）A. B.3 C. D.【答案】B【解析】，.故選：B.3.已知圓錐的底面半徑是1，高為，則圓錐的側(cè)面積是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)閳A錐的底面半徑是1，高為，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選：D.4.下列四個(gè)函數(shù)中，以為最小正周期，且為奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)A，，其定義域?yàn)椋O(shè)，因?yàn)椋势錇榕己瘮?shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，，其定義域?yàn)?，設(shè)，則，則其為奇函數(shù)，且最小正周期為，故B正確；對(duì)C，，其最小正周期為，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，，其最小正周期為，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.將函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，則圖象的一條對(duì)稱軸為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)題意，，令，得，當(dāng)時(shí)，.故選：A.6.設(shè)，是兩個(gè)不重合平面，，是兩條不重合直線，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】對(duì)A，若，，則或與異面，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若，，則與可能相交、平行或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，若，，則，又因?yàn)?，則，故C正確；對(duì)D，若，，，當(dāng)都與的交線平行時(shí)，滿足題設(shè)條件，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)點(diǎn)，為原點(diǎn)，線段繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话?，得到線段，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】線段中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)在第二象限，而，則有點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)在角的終邊上，則點(diǎn)在角的終邊上，，，所以.故選：A.8.已知中，，，，為所在平面內(nèi)一點(diǎn)，，則的最小值為（）A. B. C.0 D.【答案】D【解析】在中，，由，得，則，即，以點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，由，得，解得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.已知復(fù)數(shù)，，則下列說法正確的是（）A.若，則的共軛復(fù)數(shù)為B.若為純虛數(shù)，則C.若，則D.【答案】ABD【解析】對(duì)A，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念知的共軛復(fù)數(shù)為，故A正確；對(duì)B，若為純虛數(shù)，則，解得，故B正確；對(duì)C，舉例，滿足，但，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)，，其中，則，則，，所以.故選：ABD.10.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，角的始邊落在軸的正半軸上，如果是角終邊上不同于坐標(biāo)原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，記，當(dāng)角的終邊不在軸上時(shí)，稱為角的正割，記作.則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)的最小正周期為，其圖象的對(duì)稱軸為C.（其中和的取值使各項(xiàng)都有意義）D.在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，則【答案】AC【解析】依題意，，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，函數(shù)，的最小正周期為，其圖象的對(duì)稱軸為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，由余弦定理得，D錯(cuò)誤.故選：AC.11.如圖，正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為1和3，側(cè)棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（）A.該三棱臺(tái)的體積為B.若過點(diǎn)的平面與平面平行，則平面截該三棱臺(tái)所得的截面面積為C.若點(diǎn)在棱上，則的最小值為D.該三棱臺(tái)內(nèi)半徑最大球的體積為【答案】BC【解析】對(duì)于A，正三棱臺(tái)中，取上、下底面的中心，連接，則，高，三棱臺(tái)的體積，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，在上分別取點(diǎn)，使，連接，而，則四邊形均為平行四邊形，即，，而平平面，平面，則平面，同理平面，又，因此為平面截該三棱臺(tái)所得的截面，而，又，則為正三角形，，截面面積，B正確；對(duì)于C，把等腰梯形與展開置于同一平面，連接，由選項(xiàng)B知，等腰底邊，而邊的中點(diǎn)到點(diǎn)的距離，因此當(dāng)點(diǎn)為線段與的交點(diǎn)時(shí)，的最小值為，C正確；對(duì)于D，體積為的球半徑，，解得，該球的直徑，則此球不可能在正三棱臺(tái)內(nèi)，D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共15分.其中第14題第一空2分，第二空3分.）12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)____.【答案】3【解析】由題意得，解得.故答案為：3.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為____.【答案】【解析】因?yàn)椋瑒t，由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，求得，則，故的最大值為.故答案為：.14.已知矩形中，，，將沿折至，得到三棱錐，則該三棱錐體積的最大值為____；該三棱錐外接球的表面積為____.【答案】【解析】過作于，過在平面內(nèi)作，則平面，又平面，于是平面平面，平面平面，因此在平面內(nèi)的射影為，而，點(diǎn)到平面的距離，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，三棱錐的體積；取的中點(diǎn)，連接，由，得，因此三棱錐的外接球的球心為，半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積.故答案為：.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知，角，，的對(duì)邊分別為，，，滿足.（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.解：（1）在中，由及正弦定理，得，而，即，因此，即有，又，所以.（2）由余弦定理，得，又，則，所以的面積.16.如圖，在直三棱柱中，，.（1）求證：平面平面；（2）求證：.解：（1）在直三棱柱中，因?yàn)槠矫嫫矫妫?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?（2）連接，由（1）可知平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，又因?yàn)樵谡叫沃?，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，?17.如圖，某沿海地區(qū)計(jì)劃鋪設(shè)一條電纜聯(lián)通，兩地，地位于岸邊東西方向的直線上，地位于海上一個(gè)燈塔處，在地用測(cè)角器測(cè)得的大小，設(shè)，已知.在地正東方向的點(diǎn)處，用測(cè)角器測(cè)得.在直線上選一點(diǎn)，設(shè)，且，先沿線段在地下鋪設(shè)電纜，再沿線段在水下鋪設(shè)電纜.已知地下、水下的電纜鋪設(shè)費(fèi)用分別為3萬元，6萬元.（1）求，兩點(diǎn)間距離；（2）設(shè)鋪設(shè)電纜總費(fèi)用為.①求的表達(dá)式；②求鋪設(shè)電纜總費(fèi)用的最小值，并確定此時(shí)的長(zhǎng)度.解：（1）在中，由，得，解得，則，由正弦定理，得，所以，兩點(diǎn)間的距離.（2）①在中，由正弦定理得，解得，，所以.②令，則，則，其中銳角由確定，于是，則有，而，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，所以總費(fèi)用的最小值為萬元，此時(shí)的長(zhǎng)度為.18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，為中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若，.①求二面角的余弦值；②求直線與平面所成角的正弦值.解：（1）連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為的中點(diǎn)，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?（2）①因?yàn)?，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)，連接，則，在中，作交于點(diǎn)，所以為二面角的平面角，在中，因?yàn)?，所以，所以，在中，，所以，在中，，由余弦定理得，在中，由余弦定理，所以二面角的余弦值?②設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為直線與平面所成的角，因?yàn)?，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫妫矫?，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，且，所以，所以直線與平面所成角的正弦值為.19.已知函數(shù)，，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，，都能構(gòu)成三角形的三條邊長(zhǎng)，則稱函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”.（1）試判斷函數(shù)是否為上的“完美三角形函數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)向量，，若函數(shù)為上的“完美三角形函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）已知函數(shù)為（為常數(shù)）上的“完美三角形函數(shù)”.函數(shù)的圖象上，是否存在不同的三個(gè)點(diǎn)，滿足，？若存在，求的值；若不存在，說明理由.解：（1）是R上的“完美三角形函數(shù)”，，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椤啊笔恰盀樯系摹巴昝廊切魏瘮?shù)”的充要