基礎鞏固篇

第一講有理數(shù)

?畬?⑥

(^1

重點分析：

1.回顧以前學過的關(guān)于“數(shù)”的知識，進一步理解自然數(shù)、分數(shù)的產(chǎn)生和發(fā)展的實際背景，

通過學生身邊的例子體驗自然數(shù)與分數(shù)的意義以及它們在計數(shù)、測量、排序、編碼等方面的

應用.

2.從相反意義的量的表示，理解正數(shù)、負數(shù)的概念，理解有理數(shù)產(chǎn)生的必然性、合理性.

3.有理數(shù)的分類：按有理數(shù)的整分性可以分為整數(shù)和分數(shù)；按有理數(shù)的正負性可以分為正有

理數(shù)、負有理數(shù)和零.

難點分析：

1.分數(shù)都可以化為小數(shù)，有些小數(shù)（有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)）可以化為分數(shù).

2.相反意義的量包含兩個要素：一是它們的意義要相反；二是它們都具有數(shù)量（必須是同一

類量，數(shù)量大小可以不相等）.

下列說法中，正確的是（）.

①。是整數(shù)；②0是有理數(shù)；③。是自然數(shù)；④0是正數(shù)；⑤。是負數(shù)；⑥0是非負數(shù).

A.①②③⑥B.OXD⑥C.??③D.②③⑥

思路點撥0是自然數(shù)，是整數(shù)，不是正數(shù)也不是負數(shù)，但屬于非負數(shù)，根據(jù)題意描述進行

判斷即可.

解題過程①②③⑥正確，0不是正數(shù)也不是負數(shù)，所以④⑤錯誤，故選A.

方法歸納本題考查了有理數(shù)的定義，注意掌握0這個特殊的數(shù)，它是自然數(shù)，也是整數(shù)，

它既不是正數(shù)也不是負數(shù).

易錯誤區(qū)數(shù)擴大到有理數(shù)范圍后，注意0的特殊性，特別注意。是整數(shù)，0既不是正數(shù)，

也不是負數(shù)，但它是非負數(shù).

把下列各數(shù)填入相應的大括號里：

11

-3,0.2,3.14,8,0,-2,20,-,-6.5,17%,-2-.

48

整數(shù)：｛…｝;

分數(shù)：｛…｝;

正數(shù)：｛…｝;

負數(shù)：｛…｝;

自然數(shù)：｛…｝;

負有理數(shù)：｛…｝.

思路點撥有理數(shù)包括整數(shù)和分數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0、負整數(shù)，分數(shù)包括正分數(shù)和負分

數(shù)，根據(jù)以上內(nèi)容判斷即可.

解題過程整數(shù)：｛-3,8,0,-2,20,-??）；

分數(shù)：｛0.2,3.14,-,-6.5,17%,-2-,???）；

48

正數(shù)：｛0.2,3.14,8,20,-,17%,-??）；

4

負數(shù)：｛-3,-2,-6.5,-2-,…｝;

8

自然數(shù)：｛8,0,20--｝；

負有理數(shù)：｛-3,-2,-6.5,-21，…｝.

8

方法歸納本題考查了有理數(shù)的定義，理解有理數(shù)的定義是解本題的關(guān)鍵.注意：有理數(shù)包

括整數(shù)和分數(shù)，整數(shù)包括正整數(shù)、0、負整數(shù)，分數(shù)包括正分數(shù)和負分數(shù).

易錯誤區(qū)本題數(shù)據(jù)比較多，大部分數(shù)據(jù)承擔多種角色，所以要注意不重不漏.

（1）已知4個礦泉水空瓶可以換1瓶礦泉水，現(xiàn)有15個礦泉水空瓶，若不付錢，最多可以

喝,,瓶礦泉水.

（2）師生共52人外出春游，到達后，班主任把買礦泉水的錢給班長，要他給每人買一瓶礦

泉水.班長到商店后，發(fā)現(xiàn)商店正在進行促銷活動，規(guī)定每5個空瓶可換1瓶礦泉水.班長只

要買..瓶礦泉水，就可以保證每人一瓶.

思路點撥（1）看15里面有幾個4,再看余下的空瓶包含幾個4,把個數(shù)相加即可.（2）因為

5個空瓶=1個空瓶+1瓶的水，可知4個空瓶可以換1瓶的水，因此花4瓶的錢可以喝到5

瓶水，所以花40瓶的錢可以喝到50瓶水，還差2瓶單買.

解題過程（1）15+4=3（組）……3（瓶），可先換3瓶礦泉水，喝完后還剩3+3=6個空瓶，拿

出4個空瓶換1瓶礦泉水，還剩3個空瓶，找人借1個空瓶湊齊4個空瓶換1瓶礦泉水，喝

完還剩1個空瓶，再把這個空瓶還給那個人，故最多可以喝5瓶礦泉水.

（2）52+5=10（組）……2（瓶）；4X10+2=42（瓶）....班長只要買42瓶礦泉水，就可以保

證每人一瓶.

方法歸納本題考查的知識點是推理與論證，題（2）關(guān)鍵要抓住“5個空瓶可換1瓶礦泉

水”這個條件，據(jù)此得出“買4瓶就可以喝到5瓶水”這一結(jié)論，然后再列式計算.

易錯誤區(qū)換來的礦泉水喝完又是空瓶，可以繼續(xù)換.

（1）若m>0,n<0,|n|>|m|,用“V”號連接m,n,|n|,-m,請結(jié)合數(shù)軸解答.

/、》?hi,wziFHiQ八皿61012152060

（2）由小到大排列下列各分數(shù)：—,—,—,—,—,—.

111719233391

思路點撥（1）首先根據(jù)在數(shù)軸上表示數(shù)的方法，在數(shù)軸上表示出所給的各數(shù)；然后根據(jù)

當數(shù)軸方向朝右時，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，把這些數(shù)由小到大用“V”號連接起來即可.

（2）本題是比較分數(shù)的大小，常規(guī)方法是通分，將分母化成相同的數(shù)，再比較分子的大小,

但本題通分比較復雜，而如果先把分子通分，即化成分子相同的分數(shù)，再比較分母的大小就

比較簡單了.

解題過程（1）如圖，???nV-mVmV|n|.

n-mom\n\

..6_6010_6012_6015_6020_6060_60

°■IT-n0，T7-102，T9-95,23~92,33~99,9T-n，

?6/10/20/12/15.6O

,?U<i7<33<l9<23<91-

方法歸納本題考查的是有理數(shù)的大小比較，比較有理數(shù)的大小通常有數(shù)軸法、作差法、作

商法、分類討論法等，題（1）利用數(shù)軸法比較，題（2）是比較多個分數(shù)的大小，可以通分

比較大小，通分既可以通分母，也可以通分子.

易錯誤區(qū)（1）注意：當n<0時，|n|=-n,關(guān)鍵要知道各個數(shù)表示的點所在的位置.（2）分

子的最小公倍數(shù)是60,通分子與通分母的方法一樣，但要注意分子相同的情況下分母越大

分數(shù)值越小.

分子為1、分母是等于2或大于2的自然數(shù)的分數(shù)叫做分數(shù)單位.早在三千多年前，古埃及人

就利用分數(shù)單位進行書寫和計算.將一個分數(shù)拆分為幾個不同的分數(shù)單位之和是一個古老且

有意義的問題.例如：了一丁.了十了一1■十2；至一至一~T~-yT.

53

（1）仿照上例，分別把分數(shù)一和二拆分成兩個不同的分數(shù)單位之和.

85

58=；35=.

、--3311pLdl31+21211111n?3

442266666344634

可以寫成三個不同的分數(shù)單位之和.按照這樣的思路，它也可以寫成四個，甚至五個不同的

分數(shù)單位之和.根據(jù)這樣的思路，探索分數(shù)?能寫成哪些兩個以上的不同的分數(shù)單位之和.

8

思路點撥（1）由分數(shù)單位的意義可知，將一個分數(shù)拆分為幾個不同的分數(shù)單位之和，就是

利用同分母分數(shù)的加法或約分的性質(zhì)，把這個分數(shù)拆成兩個同分母分數(shù)，使其中一個分子是

1,另一個分數(shù)的分子能整除分母.（2）只要根據(jù)分數(shù)單位的轉(zhuǎn)化方法，把其中一個分數(shù)單位

利用分數(shù)的性質(zhì)繼續(xù)拆分即可.

5_1+4_1.13_6_1+5_1,1

解題過程（1）百一一8一一3十1''了一記io__15十萬.

5_11.15_1,1.15_1,1.1.1

（2）a=+T+=泊+五+彳?0=9+不+適+了.（答案不唯一）

方法歸納本題考查了分數(shù)性質(zhì)的靈活應用、同分母分數(shù)的相加以及約分方法，也考查了學

生的觀察能力.

易錯誤區(qū)分子為1、分母是等于或大于2的自然數(shù)的分數(shù)叫做分數(shù)單位，最大的分數(shù)單位

?

請根據(jù)各數(shù)之間的關(guān)系，找規(guī)律填空.

(3)

思路點撥(1)觀察圖形中的數(shù)可知：(9+6)Xl=15；(6+7)X4=52；(5+8)義3=39；由此

可得，每個三角形中：(上面的數(shù)+左下的數(shù))X右下的數(shù)=中間的數(shù).(2)根據(jù)圖形中的數(shù)可

知：中間的數(shù)=上下數(shù)之差，左邊的數(shù)=中間的數(shù)X右邊的數(shù)，由此即可解答.(3)觀察每組

圖形中三個數(shù)的特點可知：下邊的數(shù)由三部分組成，最左邊的數(shù)字是右上方的數(shù)的十位上的

數(shù)字，最右邊的數(shù)字是左上方的數(shù)的個位上的數(shù)字，中間的數(shù)字是左上方的數(shù)的十位上的數(shù)

字與右上方的數(shù)的個位上的數(shù)字之和，由此即可解答.

解題過程(1)(11+3)X2=28.故？=28.

(2)61-56=5,5X3=15.故△=5,?=15.

(3)最左邊的數(shù)字是6,最右邊的數(shù)字是8,中間的數(shù)字是1+1=2,所以這個數(shù)是628.故？

=628.

方法歸納本題主要考查了學生通過對特例進行分析從而歸納總結(jié)出一般規(guī)律的能力.對于

找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，通過分析找到各部

分的變化規(guī)律后直接利用規(guī)律求解.

易錯誤區(qū)規(guī)律的確定通常至少要三個特例，從一個或兩個特例中總結(jié)出的結(jié)論不一定正

確，所以歸納出的一般規(guī)律要進行檢驗，使每一個特例都滿足規(guī)律.

Z?

拓展訓練

A組

1.小軍家的門牌號是256號，其中自然數(shù)的應用屬于().

A.計數(shù)B.測量C.標號D.排序

2.下列說法中，錯誤的有().

①-247是負分數(shù)；②1.5不是整數(shù)；③非負有理數(shù)不包括0；④正整數(shù)、負整數(shù)統(tǒng)稱為有理

數(shù)；⑤0是最小的有理數(shù)；⑥3.14不是有理數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.超市某品牌食品包裝袋上“質(zhì)量”標注：500g±20g.下列待檢查的各袋食品中質(zhì)量合格的

是().

A.530gB.519gC.470gD.459g

4.比較-31巳，I—7,-21-1,7上的大小，結(jié)果正確的是().

513315

3〃217/3一12-17

1虧<1T<T5<13B.?<13<15

12317123__21217

rC--1T<15<正D.-ly<1J<i3<15

5.一個紙環(huán)鏈，按紅黃綠藍紫的順序重復排列，截去其中的一部分，剩下部分如圖所示，則

被截去部分紙環(huán)的個數(shù)可能是（）.

A.2018B.2019C.2020D.2021

黃綠藍紫

6.在下表適當?shù)目崭窭锩娈嬌稀癑.

有理數(shù)整數(shù)分數(shù)正整數(shù)負分數(shù)自然數(shù)

-7

-3.14

0

2

3

7.氣象臺記錄了某地本周七天的氣溫變化情況（如下表），其中正號表示的數(shù)據(jù)是比前一天上

升的溫度，負號表示的數(shù)據(jù)是比前一天下降的溫度.已知上周日氣溫為3℃,根據(jù)表中數(shù)據(jù)，

請你判斷該地本周最低氣溫是℃.

星期一二三四五六B

氣溫變化（℃）+2-4-1-2+3-5-3

8.某登山隊從大本營出發(fā)，在向上攀登的過程中，測得所在位置的氣溫y（℃）與向上攀登

的高度x（km）的幾組對應值如下表：

向上攀登的高度x（km）0.51.01.52.0

氣溫y(℃)2.0-0.9-4.1-7.0

若每向上攀登1km,所在位置的氣溫下降幅度基本一致，則向上攀登的海拔高度為2.5km時,

登山隊所在位置的氣溫約為。C.

9.將一列數(shù)排成如圖所示的形式，按此規(guī)律排下去，那么第10行從左邊數(shù)第9個數(shù)

是.

2-34

-56-78-9

10-II12-1314-1516

（第9題）

10.在奧運五環(huán)圖案內(nèi)，分別填寫五個數(shù)a,b,c,d,e,如，其中a>b,

c是三個連續(xù)偶數(shù)（a<b〈c）,d,e是兩個連續(xù)奇數(shù)（d<e）,且滿足a+b+c=d+e,例如

4

5

.請你在0?20之間選擇另一組符合條件的數(shù)填入五環(huán)圖案內(nèi).

11.把下列各數(shù)填入相應的大括號里:

1,-0.1,-789,1-251，0,-(+20),-3.14,-590,-一，0.81.

42

非負整數(shù)：{…};

負分數(shù)：{…}

正有理數(shù)：{-}.

B組

12.下列說法中，正確的有().

①整數(shù)就是正整數(shù)和負整數(shù)；②零是整數(shù)，但不是自然數(shù)；③分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù)；④

正數(shù)和負數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；⑤一個有理數(shù)，它不是整數(shù)就是分數(shù).

A.1個B.2個C.3個D.4個

13.一種“拍7”的游戲規(guī)定：把從1起的自然數(shù)中含7的數(shù)稱作“明7”，把7的倍數(shù)稱作

“暗7”,那么在1?100的自然數(shù)中，“明7”和“暗7”共有().

A.22個B.29個C.30個D.31個

14.已知數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，則a,-a,的大小關(guān)系是().

aa

-1ao1

(第14題)

11

A.--<-a<—<aB.一VaV?一V?a

aaaa

1111

C.-a<--<-<aD.—VaV?aV?一

aaaa

15.已知下列各數(shù)：?3.14,24,+17,-7-,—,-0.01,0,其中整數(shù)有—個，負分數(shù)有

216

個，非負數(shù)有個.

16.分子是1、分母是等于或大于2的自然數(shù)的分數(shù)叫做分數(shù)單位，如…，某些分

234

數(shù)單位可以拆分成兩個分母是相鄰自然數(shù)的分數(shù)單位的差，如

-=則在分數(shù)單位!—」,…，二一中，不能按上述要求拆分

62312342045234100

的有個.

17.如圖，一只甲蟲在5X5的方格(每小格邊長為1個單位長度)上沿著網(wǎng)格線運動，它從

A處出發(fā)去看望B,C,D處的其他甲蟲.規(guī)定：向上向右走為正，向下向左走為負.如果從A

到B記為：A-B(+1,+4),從D到C記為：DfC(-1,+2),其中第一個數(shù)表示左右方

向，第二個數(shù)表示上下方向.

(1)圖中從A到C可以記為A-C(，),從B至UC可以記為B-C

(,).

(2)從D到可以記為Df(-4,-2).

(3)若這只甲蟲的行走路線為A-B-C-D,則該甲蟲走過的路程長度為個單位長

度.

(4)若這只甲蟲從A處去P處的行走路線依次為(+1,+3),(+3,-2),(-2,+1),請在

圖中標出P的位置.

11111（第17題）

18.把幾個數(shù)用大括號括起來，相鄰兩個數(shù)之間用逗號隔開，如：{1,2},{1,4,7},…，

我們稱之為集合，其中的每一個數(shù)稱為該集合的元素.如果一個所有元素均為有理數(shù)的集合

滿足：當有理數(shù)x是集合的一個元素時，2020-x也必是這個集合的元素，這樣的集合我們

又稱為黃金集合.例如{0,2020}就是一個黃金集合.

(1)集合{2020}(填“是”或“不是"，下同)黃金集合，集合{-1,2021}黃

金集合.

(2)若一個黃金集合中最大的一個元素為4020,則該集合是否存在最小的元素？如果存在,

請直接寫出答案；如果不存在，請說明理由.

(3)若一個黃金集合所有元素之和為整數(shù)M,且24200VMV24300,則該集合共有幾個元

素？說明你的理由.

走進重高

1.【瀘州】在-2,0,2四個數(shù)中，最小的是（）.

2

1

A.-2B.OC.-D.2

2

2.【聊城】悉尼、紐約與北京的時差如下表（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負數(shù)

表示同一時刻比北京時間晚的時數(shù)）：

城市悉尼紐約

時差（時）+2-13

北京6月15日23時，悉尼、紐約的時間分別是（）.

A.6月16日1時，6月15日10時

B.6月16日1時，6月14日10時

C.6月15B21時，6月15日10時

D.6月15日21時，6月16日12時

3.南水北調(diào)工程中線自2014年12月正式通水以來，沿線多座大中城市受益，河南、河北、

北京及天津四個省（市）的水資源緊張態(tài)勢得到緩解，有效促進了地下水資源的涵養(yǎng)和恢復.

若與上年同期相比，北京地下水的水位下降記為負，回升記為正，記錄從2013年底以來，

北京地下水水位的變化得到下表：

時間2013年底2014年底2015年底2016年底2017年底2018年9月底

地下水位與上年

-0.25-1.14—0.09+0.52+0.264-2.12

同比變化量（m）

下列關(guān)于2013年以來北京地下水水位的說法，不正確的是（）.

A.從2014年底開始，北京地下水水位的下降趨勢得到緩解

B.從2015年底到2016年底，北京地下水水位首次回升

C.2013年以來，每年年底的地下水位與上年同比的回升量最大的是2018年

D.2018年9月底的地下水水位低于2012年底的地下水水位

4.實際測量一座山的高度時，可在若干個觀測點中測量每兩個相鄰可視觀測點的相對高度，

然后用這些相對高度計算出山的高度.下表是某次測量數(shù)據(jù)的部分記錄（用A-C表示觀測點

A相對觀測點C的高度）,根據(jù)這次測量的數(shù)據(jù)，可得觀測點A相對觀測點B依高度是____m.

A-CC-DE-DF-EG-FB-G

90m80m-60m50m-70m40m

，一9，

5.規(guī)定怙]表不不超過a的最大整數(shù)，例如[4.3]=4.若m=[n+11,n=[2.1],貝—n]在此

4

規(guī)定下的值為.

6.2018年國慶節(jié)放假七天，高速公路免費通行，各地風景區(qū)游人如織，其中聞名于世的“三

孔”，在10月1日的游客人數(shù)就己經(jīng)達到了10萬人，接下來的六天中，每天的游客人數(shù)變

化（單位：萬人）如下表（正數(shù)表示比前一天多的人數(shù)，負數(shù)表示比前一天少的人數(shù)）：

日期10月2日10月3日10月1日10月5日10月6日10月7日

人數(shù)變化+0.6+0.2+0.1-0.2—0.8—1.6

（1）10月3日的游客人數(shù)為萬人.

（2）這七天，游客人數(shù)最多的是多少萬人？最少呢？

（3）這7天參觀的總?cè)藬?shù)約為多少萬人？

高分奪冠

1.10個互不相等的有理數(shù)，每9個的和都是“分母為22的既約真分數(shù)（分子與分母無公約數(shù)

的真分數(shù)）”，則這10個有理數(shù)的和為（）.

2.已知a=X999,b=X1000,則a與b的大小關(guān)系是ab.

3.記|a,b|的值為a,b兩數(shù)中最大的數(shù)，例如|3,5|=5.若m滿足|2,2-m|=3-2m,則m=.

4.找規(guī)律，在空格里填上合適的數(shù).

（第4題）

5.某路公交車從起點出發(fā)經(jīng)過A,B,C,D四站到達終點，途中上下乘客情況如下表（正數(shù)

表示上車的人數(shù)，負數(shù)表示下車的人數(shù)）：

起點ABCD終點

上車的人數(shù)181512750

下車的人數(shù)0-4-5-9-12

（1）到終點站下車的有多少人？填在表格中相應位置.

（2）車行駛在哪兩站之間時，車上的乘客最多？站和站.

（3）若每人乘坐一站需買票0.5元，問該車出車一次能收入多少錢？要求寫出算式.

第二講數(shù)軸和絕對值

0000

數(shù)軸

重點分析：

1.數(shù)軸的三要素：原點、單位長度、正方向.

2.理解有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的點不一定表示有理數(shù).

3.相反數(shù)：實數(shù)a與一a互為相反數(shù)，零的相反數(shù)仍是零.若a,b互為相反數(shù)，則a+b=O.

4.倒數(shù)：若兩個實數(shù)的乘積為1,就稱這兩個實數(shù)互為倒數(shù)，零沒有倒數(shù).

5.絕對值的幾何意義：表示這個數(shù)在數(shù)軸上所對應的點到原點的距離或數(shù)軸上點與點之間的

距離.

6.比較有理數(shù)大小的兩種基本方法：利用數(shù)軸比較大小；利用法則比較大小.

難點分析：

1.數(shù)軸涉及數(shù)和形兩個方面，是解決許多數(shù)學問題的重要工具.

2.絕對值具有非負性，去絕對值問題往往會涉及較復雜的符號問題.

星-------zo

若有理數(shù)m在數(shù)軸上對應的點為M,且滿足|m|>l且m<0,則下列數(shù)軸表示正確的是().

?%?一」??一“

01A.o1D.

??什「：，：一,、

01c.01T>.

思路點撥根據(jù)絕對值的意義得到m在原點的左側(cè)，且離原點的距離大于1,然后利用數(shù)軸

表示數(shù)的方法對各選項進行判斷.

解題過程Im|>1,m<0,.，.m<T.故選D.

方法歸納本題考查了數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸.數(shù)軸的三要

素：原點、單位長度、正方向.

易錯誤區(qū)注意絕對值的幾何意義是指數(shù)軸上的點與原點的距離，或點與點之間的距離.

已知a是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，|b+41=2,且知-5|+|d+3|=0.

(1)寫出a,b,c,d的值.

(2)計算|a+c|+|bHd|的值.

思路點撥(1)根據(jù)有理數(shù)的概念求出a,根據(jù)絕對值的性質(zhì)求出b,再根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)

列方程求解即可得到c,d.(2)將a,b,c,d的值代入代數(shù)式進行計算即可得解.

解題過程(1)是最大的負整數(shù)的相反數(shù)，，a=L

：|b+4|=2,；.b+4=2或b+4=-2.

.'.b=-2或b=-6.

V|c-5|+|d+3|=0,；.c-5=0,d+3=0,解得c=5,d=-3.

.,.a=l,b=-2或-6,c=5,d=-3.

(2)|a+c|+1b)-1d|——11+51+1-21-1-3|——6+2-3=5,或Ia+c|+1b|-1d|——11+51+1_61_|_31

=6+6-3=9,

...|a+c|+|b]k|d|的值為5或9.

方法歸納本題考查了非負數(shù)的性質(zhì)：幾個非負數(shù)的和為0時，這幾個非負數(shù)都為0；還考

查了絕對值的性質(zhì)和有理數(shù)的概念.

易錯誤區(qū)由|b+4[=2得到的b的值有兩個，所以本題需要分類討論，特別注意不要漏解.

如圖，數(shù)軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，點A表示-4,點G表示8.

(1)點B表示的有理數(shù)是,表示原點的是點.

(2)圖中的數(shù)軸上另有點M到點A、點G的距離之和為13,則這樣的點M表示的有理數(shù)

是.

(3)若相鄰兩點之間的距離不變，將原點取在點D,則點C表示的有理數(shù)是,此時

點B與點表示的有理數(shù)互為相反數(shù).

ABCDEFG

III_______III_______I.

-48

思路點撥(1)先根據(jù)數(shù)軸上兩點之間的距離公式求出點A到點G的距離，再求出相鄰兩點

之間的距離即可解答.(2)設點M表示的有理數(shù)是m,根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的定義即可

求出m的值.(3)根據(jù)相鄰兩點間的距離是2可求出點C的坐標，再根據(jù)相反數(shù)的定義即可

求出結(jié)論.

解題過程(1)I?數(shù)軸上標出了7個點，相鄰兩點之間的距離都相等，已知點A表示-4,點

12

G表示8,；.AG=I8+4|=12....相令R兩點之間的距離=一=2.

6

，點B表示的有理數(shù)是-4+2=-2,點C表示的有理數(shù)是-2+2=0.

故答案為：-2,C.

(2)設點M表示的有理數(shù)是m,則Im+4I+Im-8I=13,.".m=-4.5或m=8.5.

故答案為：-4.5或8.5.

(3)若將原點取在點D,?.?每兩點之間的距離為2,...點C表示的有理數(shù)是-2.

?.?點B與點F在原點D的兩側(cè)且到原點的距離相等，

,此時點B與點F表示的有理數(shù)互為相反數(shù).

故答案為：-2,F.

方法歸納本題考查的是數(shù)軸的特點及數(shù)軸上兩點之間距離的定義,熟知數(shù)軸上兩點之間的

距離公式是解答本題的關(guān)鍵.

易錯誤區(qū)第(2)題中A,G兩點間的距離為12,所以數(shù)軸上到點A、點G距離之和為13

的點M在線段AG外，這樣的點有兩個.

如圖，數(shù)軸上從左到右的三個點A,B,C所對應的數(shù)分別為a,b,c,其中點A、點B兩點

間的距離AB的長是2019,點B、點C兩點間的距離BC的長是1000.

-ABC-

(1)若以點C為原點，直接寫出點A,B所對應的數(shù).

(2)若原點0在A,B兩點之間，求|a|+|b|+|b-c|的值.

(3)若0是原點，且0B=19,求a+b-c的值.

思路點撥(1)根據(jù)數(shù)軸的定義可求點A,B所對應的數(shù).(2)先根據(jù)絕對值的性質(zhì)求得

|a|+|b|=2019,|b-c1-1000,再代入計算即可求解.(3)分兩種情況：原點0在點B的左

邊；原點0在點B的右邊，進行討論即可求解.

解題過程(1)點A所對應的數(shù)是T000-2019=-3019,點B所對應的數(shù)是-1000.

(2)當原點0在A,B兩點之間時，|a|+|b|=2019,|b-c|=1000,|a|+|b|+|b-c1=2019+1000

=3019.

(3)若原點0在點B的左邊，則點A,B,C所對應的數(shù)分別是a=-2000,b=19,c=1019,

則a+b-c=-2000+19T019=-3000.

若原點0在點B的右邊，則點A,B,C所對應的數(shù)分別是a=-2038,b=-19,c=981,

則a+b-c=-2038+(-19)-981=-3038.

方法歸納本題主要考查了數(shù)軸及絕對值，解題的關(guān)鍵是能把數(shù)和點對應起來，也就是把

“數(shù)”和“形”結(jié)合起來，在學習中要注意培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

易錯誤區(qū)一方面要正確找到表示數(shù)的點在數(shù)軸上的位置，另一方面要注意位置不確定的情

況下要分類討論.

(1)如圖，一根木棒放在數(shù)軸上，木棒的左端與數(shù)軸上的點A重合，右端與點B重合.

若將木棒沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端移動到點B時，它的右端在數(shù)軸上所對應的數(shù)

為20；若將木棒沿數(shù)軸向左水平移動，則當它的右端移動到點A時，它的左端在數(shù)軸上所

對應的數(shù)為5(單位：cm),由此可得木棒的長為cm.

(2)由題(1)的啟發(fā)，請你借助“數(shù)軸”這個工具幫助小紅解決下列問題：

問題：一天，小紅去問曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)

在這么大，你還要34年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我就116歲了，是老壽星了，哈哈！”

請求出爺爺現(xiàn)在多少歲了.

05/B20

思路點撥(1)本題關(guān)鍵是正確識圖，由數(shù)軸觀察知木棒的3倍長是20-5=15(cm),則此

木棒長為5cm.(2)在求爺爺?shù)哪挲g時，借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒AB,類

似地，爺爺是小紅那么大時看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數(shù)為-34,小紅是

爺爺這么大時看作當點A移動到點B時，此時點B所對應的數(shù)為116,所以可知爺爺比小紅

大[116-(-34)]+3=50(歲)，從而可求得爺爺?shù)哪挲g.

解題過程(1)如圖1,觀察數(shù)軸可知木棒的3倍長是20-5=15(cm),則此木棒長為5cm.故

答案為：5.

(d)(B)(A)(B)(⑷("Ly)⑻

_______,1.........】,_____[___]_______門

05dB20圖1-34dBi16圖2

(2)如圖2,借助數(shù)軸，把小紅與爺爺?shù)哪挲g差看作木棒AB,類似地爺爺是小紅那么大時

看作當點B移動到點A時，此時點A所對應的數(shù)為-34；小紅是爺爺那么大時看作當點A移

動到點B時，此時點B所對應的數(shù)為116.

...爺爺比小紅大[116-(-34)]4-3=50(歲)，則爺爺?shù)哪挲g為116-50=66(歲).故爺爺現(xiàn)

在66歲.

方法歸納本題考查了數(shù)軸的應用和數(shù)形結(jié)合思想，解題的關(guān)鍵是把爺爺與小紅的年齡差看

作一個整體(木棒AB).

易錯誤區(qū)解題時要用好數(shù)軸，在數(shù)軸上準確地畫圖，注意所使用的線段AB的實際意義.

畬

觀察下列每對數(shù)在數(shù)軸上的對應點之間的距離：4與-2,3與5,-2與-6,-4與3,回答下

列各題.

(1)你能發(fā)現(xiàn)所得距離與這兩個數(shù)的差的絕對值有什么關(guān)系嗎？

(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為-1,則點A與點B兩點間的距離可以

表示為.

(3)結(jié)合數(shù)軸求得Ix-2I+|x+3I的最小值為，取得最小值時x的取值范圍

為.

(4)滿足Ix+1I+|x+4|〉3的x的取值范圍為.

思路點撥(1)通過觀察容易得出結(jié)論.(2)在數(shù)軸上找到點B所在的位置，點A可以位于

數(shù)軸上的任意位置，分三種情況進行分類討論.(3)(4)根據(jù)(2)中的結(jié)論，利用數(shù)軸分析.

解題過程(1)相等.

(2)結(jié)合數(shù)軸，分以下三種情況：

一!士:當xWT時，距離為-x-1

二―x0*當-IXxWO時，距離為x+1

一^0―"當x>0時，距離為x+]

綜上，我們得到A與B兩點間的距離可以表示為x+1.

(3)Ix-2|,即x與2的差的絕對值，它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離；|x+3l=l

x-(-3)I,即x與-3的差的絕對值，它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離.

如圖，x在數(shù)軸上的位置有三種可能：

六2-"圖]甘―XL圖2甘2-L圖3

圖2符合題意，Ix-2I+Ix+3|的最小值為5,取得最小值時x的取值范圍為-3WxW2.

(4)同理Ix+1I表示數(shù)軸上x與T之間的距離，Ix+4|表示數(shù)軸上x與-4之間的距離.

，本題即求當x在什么范圍內(nèi)時x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會大于3.

借助數(shù)軸，我們可以得到正確答案：x<-4或x>7.

方法歸納借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的距離問題，反之，有關(guān)數(shù)軸上

的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對值問題.這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時可以帶來方便.事實

上，Ia-bI表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b的兩點之間的距離.這是一個很有

用的結(jié)論，我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識解決了(3)(4)這兩道難題.

易錯誤區(qū)Ia-bI表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)b這兩點之間的距離，|

a+b|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)a與數(shù)-b這兩點之間的距離.

拓展訓練

A組

1.如圖，數(shù)軸上有A,B,C,D四個點，其中到原點距離相等的兩個點是().

ABCD

―I-----------A------------1~~?-?------------4-

-2-1012

(第1題)

A.點B與點DB.點A與點Cc.點A與點DD.點B與點C

2.符號語言“|a|=-a(aWO)”所表達的意思是(

A.正數(shù)的絕對值等于它本身B.負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)

C.非正數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)D.負數(shù)的絕對值是正數(shù)

3.如圖，點A表示的有理數(shù)是a,則a,-a,1的大小順序為().

A.a<-a<lB.-a<a<lC.a<l<-aD.l<-a<a

8L9St￡Z1moo

IIIIIII

"^ia0"-4-3-2-101234

(第3題)(第4題)

4.如圖，將刻度尺放在數(shù)軸上(數(shù)軸的單位長度是1cm),刻度尺上“0cm”和“3cm”分別

對應數(shù)軸上的3和0,那么刻度尺上“5.4cm”對應的數(shù)軸上的數(shù)為().

A.5.4B.-2.4C.-2.6D.-1.6

5.已知點A在數(shù)軸上的位置如圖，則點A表示的數(shù)的相反數(shù)是.

A

][[[：r11111111111r

-2-1012QPRST

(第5題)(第6題)

6.如圖，數(shù)軸上點Q、點P、點R、點S和點T分別表示五個數(shù)，如果點R和點T表示的數(shù)

互為相反數(shù)，那么這五個點所表示的數(shù)中，點對應的數(shù)絕對值最大.

7.推理題.

(1)5的相反數(shù)是-5,-5的相反數(shù)是,那么-x的相反數(shù)是,m+12n的相反

數(shù)是.

(2)數(shù)軸上到點2和點6距離相等的點表示的數(shù)是4,有這樣的關(guān)系4=12(2+6),那么到點

100和到點999距離相等的點表示的數(shù)是,到點m和點-n距離相等的點表示的數(shù)

是?

(3)數(shù)軸上點4和點9之間的距離為5個單位，有這樣的關(guān)系5=9-4,那么點10和點-3之

間的距離是，點m和點n之間的距離是.

8.閱讀：因為一個非負數(shù)的絕對值等于它本身，負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)，所以當a20

時、IaI=a；當a<0時;IaI=-a.根據(jù)以上閱讀完成：

(1)I3.14-Jt|=.

9.已知|x-21+1y+31+1z-51=0,求：

(1)x,y,z的值.

(2)|x|+|y|+|z|的值.

10.結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示-3和2的兩點之間的距離

是;一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m-n|.如果表示數(shù)a

和-2的兩點之間的距離是3,那么a=.

(2)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，求|a+4|+|a-2]的值.

11.有理數(shù)a,b,c在數(shù)軸上的對應點如圖，且a,b,c滿足條件10IaI=5IbI=2IcI

=10.

(1)求a,b,c的值.

(2)求|a-2b|+|b-2cI+Ic-2a|的值.

0h(第11題)

12.如圖1,已知數(shù)軸上有三點A,B,C,它們對應的數(shù)分別為a,b,c,且c-b=b-a,點C

對應的數(shù)是10.

(1)若BC=15,求a,b的值.

(2)如圖2,在(1)的條件下，。為原點，動點P,Q分別從點A,C同時出發(fā)，點P向左

運動，運動速度為每秒2個單位長度，點Q向右運動，運動速度為每秒1個單位長度，N為

OP的中點，M為BQ的中點.

①用含t的代數(shù)式表示PQ,MN.

②在點P,Q的運動過程中，PQ與MN存在一個確定的等量關(guān)系，請指出它們之間的關(guān)系，

并說明理由.

ABC__________________■?1"I，，?■I—1

b丁PANBOMCQ

圖1圖2

(第12題)

B組

13.對于任何有理數(shù)a,下列一定為負數(shù)的是().

A.-(-3+a)B._aC.-Ia+1ID.-IaI-1

14.有理數(shù)a,b在數(shù)軸上的對應位置如圖，則下列四個選項正確的是().

A.a<b<-b<-aB.a<-b<-a<bC.a-b>0D.-a+b>0

Ob

(第11題)

15.如圖，圓的周長為4個單位長度.在該圓的4等分點處分別標上數(shù)字0,1,2,3,先讓

圓周上表示數(shù)字0