摘要：探究“一題多變”在高中數(shù)學教學中的理論基礎與實踐路徑，通過資料搜集、理論分析等方法，闡釋一題多變的定義、內(nèi)容，總結(jié)一題多變的理論基礎，包括建構(gòu)主義學習理論、腳手架理論、馬登變異理論。在文章核心模塊，圍繞關注一題多變應用方式，進行一題多變訓練，靈活應用一題多變方法，開展一題多變深度探究，給出具體的實踐方法，為學生創(chuàng)造良好的學習環(huán)境，增強學生對各模塊知識的理解與掌握。得出如下結(jié)論：實現(xiàn)對一題多變的深入研究，將其靈活應用于高中數(shù)學教學中，有效提升了數(shù)學教學效率、學生學習興趣，并對其他相關研究起到了參考作用。關鍵詞：一題多變；高中數(shù)學；理論基礎；實踐路徑進入新時期以后，很多高中數(shù)學教師在探索更加有效、先進的教學方式，其中一題多變因在教學中的便利性、適用性等優(yōu)勢而受到廣泛歡迎。在一題多變應用進程中，需關注其基本變換方法、注意事項等，并能善于在教學中總結(jié)經(jīng)驗，優(yōu)化教學方式，如此才能發(fā)揮其根本作用。故而有必要對一題多變應用方法展開深度探究，發(fā)揮其更大作用。一、“一題多變”概述（一）定義一題多變，可從字面意思對其加以研究，理解為題目結(jié)構(gòu)的變式，如題目形式、結(jié)論、條件等的變換，但并未從實質(zhì)上改變題目，只是從不同方面、角度揭示題目本質(zhì)。在高中數(shù)學中引入一題多變理論，引導學生結(jié)合數(shù)學題目展開深度探究，在“變”中尋找解題方法，總結(jié)“不變”與規(guī)律，提升思維靈活性。分析一題多變內(nèi)涵，關鍵是“變”“為何變”“如何變”，讓學生基于自身的數(shù)學知識、技能體系、數(shù)學經(jīng)驗等，求解題目答案，掌握更加有效的解題方法。（二）內(nèi)容分析一題多變內(nèi)容，總結(jié)如下：1.出題角度變化：在為學生提供例題時，可從不同思考方式、角度出發(fā)，引導學生從不同視角切入，分析數(shù)學知識的內(nèi)涵與要義，培養(yǎng)學生解題能力、思維能力，實現(xiàn)對數(shù)學知識的全面掌握。2.考查數(shù)學技能與能力的多樣化：圍繞同一例題，出具不同形式的題目，考查學生各類能力掌握情況，培養(yǎng)學生問題分析能力、深度思考能力等[1]。3.考查數(shù)學知識廣泛性：一題多變中，涉及不同模塊的知識點，學生需對例題產(chǎn)生深刻認識，實現(xiàn)各類知識的相互轉(zhuǎn)化、聯(lián)系，提升學生數(shù)學素養(yǎng)、整體化思維，鞏固數(shù)學知識體系。4.訓練多種解題方式：同一道例題包括多種解題方式，學生在掌握各類解題方式的過程中促進創(chuàng)新思維的提升，能靈活應對不同難度、形式的題目。二、“一題多變”在高中數(shù)學教學中的理論基礎分析一題多變在高中數(shù)學教學中的理論基礎，如圖1所示，進行具體化分析：（一）建構(gòu)主義學習理論瑞士一位心理學家最先提出建構(gòu)主義心理學，并提出學生學習過程是一個主動建構(gòu)過程，而非被動接受知識傳輸?shù)倪^程，學生對知識的理解與掌握來源于其對知識的主動性思考、反省。在該理論體系下，引入一題多變模式時，應發(fā)揮教師的主導性作用，尊重學生主體地位，教師扮演學生知識建構(gòu)的助手角色，以合理的、更具層次性的問題，引導學生實現(xiàn)各類知識的銜接，理解新知識的同時，鞏固舊知識，這對于完善學生知識體系，實現(xiàn)對各類知識的整體化認識來說至關重要。（二）腳手架理論腳手架理論指的是引導學生合理借助教師、父母、同伴等的提示或者輔助，完成其原本無法單獨完成的任務，在學生能獨立完成學習任務時，教師及時撤除腳手架，給學生更多的發(fā)揮空間。基于腳手架理論，在一題多變探究中，教師可通過對題目的變換，搭建新、舊知識的“腳手架”，如將例題中的問題進行類比歸納、引入輔助元素、特殊處理等，做好鋪墊，搭建解題臺階，降低解題難度，教授學生更加多元化、簡單易行的解題方式[2]。（三）馬登變異理論馬登變異理論的核心是：學習即鑒別，基于對差異的深度認識，輔助解題過程，要求教師能引入變異維數(shù)，對其加以深度擴展，增強學生對例題各個方面的深刻認識，關注例題中包含的變異性質(zhì)，體驗變異，為變異問題解決做好準備。在馬登變異理論中，一題多變的“變”，應保持問題變式的先進性、科學性，不能只是疊加學生的問題求解次數(shù)，讓問題顯現(xiàn)出重復化、機械化，更多應在變換中去探索題目的本質(zhì)，降低題目求解難度，提升解題效率。三、“一題多變”在高中數(shù)學教學中的實踐路徑（一）關注“一題多變”應用方式，提升實際教學效果在實際引入一題多變方式時，關注以下要點內(nèi)容：1.精選例題：并非所有的例題都適宜與一題多變模式配搭，若例題選擇不恰當，非但難以發(fā)揮一題多變優(yōu)勢，還會增加師生負擔，讓教學進程愈加艱難。故而應結(jié)合教材內(nèi)容、新課程目標、學生學情等各類因素，選擇一些基礎性、具備一定難度、有代表性、具備多類解題方法的例題，為學生創(chuàng)造更好的解題條件，如此才能激發(fā)學生的參與熱情、積極性，促使學生在自我探究中掌握數(shù)學知識的核心內(nèi)容[3]。2.變式設計：結(jié)合例題具體特征設計多元化變式，如變化形式、變化角度、變化數(shù)據(jù)、變化解題思路、變化題目條件等，引導學生嘗試通過不同的解題方法與技巧破解難題，提升思維能力、解題能力[4]。如在變化題目條件設計時，如在均值不等式學習時，，（當且僅當?shù)扔跁r，取“=”），強調(diào)該定理的應用條件是一正、二定、三相等，在一題多變中，除了讓學生掌握該模塊的理論內(nèi)容，還進一步深化學生對函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，結(jié)合如下例題1展開研究：大于0，取何值時，與1/的和值有最小值，最小值為多少？解析：本題結(jié)合均值不等式求解思路可知：在取值1時，可得出與1/的最小值為2。變式1：當屬于并滿足不等于0的條件時，請問與其分數(shù)的和值是否存在最小值，為什么？解析：在變式1中，正負性不確定，未能滿足以上提出的“一正”條件，故而對小于0與大于0這兩種情況展開分類討論。在學生求解出答案后，再對例題展開多重變形。變式2：大于5，求解函數(shù)二者的和值最小值是多少？解析：分析例題表面結(jié)構(gòu)，并不滿足定值存在條件，對其結(jié)構(gòu)加以變形來輔助理解與解題，即：如將5變換成5與（-5）的乘積與25的和值，通過求取二者的和值，結(jié)合均值不等式定義即可求出最小值。變式3：重新設置條件，如大于等于3，求取函數(shù)最小值，讓變式更具實際意義。解析：結(jié)合均值不等式理論概念，得出：與1/的和值大于等于2，滿足條件等于1時“=”成立，但是等于1不在定義域區(qū)間中，故而得出結(jié)論：不存在最小值2。將變式設計的權利交給學生，尊重學生在一題多變學習中的主體地位，教授學生一題多變的具體方法、流程、注意事項，鼓勵學生結(jié)合例題在不改變例題根本性質(zhì)的前提下，對例題進行反復的變換，嘗試結(jié)合不同模塊的知識與理論對其求解，總結(jié)一題多變經(jīng)驗，達成學習目標，培養(yǎng)數(shù)學思維[5]。3.解題方式轉(zhuǎn)換：即結(jié)合例題的基本形式，創(chuàng)新性地引入多元化解題方式，在解題方式轉(zhuǎn)換進程中，深化學生對模塊知識的理解與掌握，如在“集合與常用邏輯用語”學習時，嘗試進行解題方式轉(zhuǎn)換，如表1所示：例2：已知集合與集合，兩個集合的交集為0，求解實數(shù)的取值范圍。解析：分析集合元素屬性，基于此確定取值區(qū)間。例3：重新變換集合與集合的相關條件，求解兩者之間存在的關系。解析：利用以上提出方式，分析集合的性質(zhì)與定義，掌握與的關系。（二）進行“一題多變”訓練，拓寬學生解題思路1.針對性設計：結(jié)合學生學情、考試需求等，設置相關的訓練方式、內(nèi)容，培養(yǎng)學生數(shù)學思維。具體要點如圖2所示，進行具體化分析：其一，設置難度不一的訓練內(nèi)容，即在一題多變設計時，既要考慮優(yōu)等生在新型數(shù)學方法、理念等方面的需求，也要兼顧學困生、普通生對概念性、理論性知識的學習需求，嘗試設計梯度式難度的訓練題，讓學生結(jié)合自身的實際情況靈活選擇[6]。其二，靈活選擇一題多變訓練模式，如考試模擬訓練、實際問題訓練、抽象訓練等，引導學生從不同方面、角度剖析數(shù)學知識內(nèi)涵，提升解題能力。如在“實際問題訓練”中，提出問題：如何判斷任意角所處象限？有的學生結(jié)合概念加以闡述，有的學生結(jié)合例題給出答案，有的學生則是單一性的理論分析，教師在對學生給出的結(jié)果加以評價時，應持鼓勵態(tài)度，贊揚學生通過適宜的方式完成學習任務，鼓勵學生就學科知識展開深度探究。其三，注重指導與反饋，即在一題多變訓練時，指導學生采取正確、有效的方式求解問題，指出其存在的錯誤與不足，提升思維能力、解題能力[7]。2.重視解題與應用能力培養(yǎng)：引導學生針對同一問題嘗試幾何圖像、代數(shù)式、實際問題方法等求解，掌握數(shù)學知識在各類數(shù)學場景中的具體應用方式，進行解題與應用能力培養(yǎng)。結(jié)合“三角函數(shù)”相關例題展開具體化探究。例4：已知正弦函數(shù)的一個周期為，在區(qū)間0到上保持單調(diào)遞增趨勢，求解：函數(shù)的單調(diào)周期與在區(qū)間0到上單調(diào)性。嘗試從一題多變角度切入，嘗試多元化的解題方式。解析1：引入代數(shù)式求解方法，結(jié)合正弦函數(shù)的雙角公式、周期公式，求解的單調(diào)周期與單調(diào)性。解析2：引入幾何圖像求解方法，結(jié)合正弦函數(shù)圖像，相對直觀地觀察周期性與單調(diào)性。解析3：采取實際問題求解方式，引導學生結(jié)合生活中的實際問題對例題加以求解，如振動、音樂等，通過生活化轉(zhuǎn)換方式，理解函數(shù)周期性、單調(diào)性的意義與作用。3.出題要素設置：其一，出題角度，從實際問題角度、圖像角度、代數(shù)式角度等各類角度出發(fā)，提升學生對不同解題方法的靈活應用能力。且要求教師能采取不同的例題講解方式，培養(yǎng)學生多元化思維模式，如在一元二次方程相關知識講解時，從以下角度切入：幾何圖像角度，在黑板上畫出一元二次方程圖像，協(xié)助學生理解一元二次方程性質(zhì)與特質(zhì)，包括開口方向、對稱軸、頂點等，并用于問題求解中[8]。代數(shù)式角度，給出方程求根公式、一般公式的各類應用方法，在接觸、體驗、解題中實現(xiàn)對其的深入了解。實際問題角度，即結(jié)合面積問題、拋物線運動等，了解方程在實際生活中的靈活應用方法，提升學生數(shù)學素養(yǎng)。其二，豐富出題形式，設計不同的出題方式，如填空題，考查學生對基礎概念、理論知識的掌握程度；選擇題，考查學生在面臨多項答案時的快速分析能力、解題思路等；判斷題，考查學生對知識的深度理解能力、問題辨別能力等；綜合題，考查學生整體分析能力、知識綜合應用能力等。其三，綜合性大題，設計包括多個知識點的綜合題，考查學生不同知識點的靈活轉(zhuǎn)化能力，圍繞三角函數(shù)設置題目，如下：例5：已知某座山山頂高度400m，山頂與山腳距離500m，山頂、山腳夾角60°，求解山頂、山腳的直線距離與角度余弦值。解析：該例題不但有三角函數(shù)，還涉及三角恒等式、勾股定理等方面的知識，引導學生嘗試進行例題或者求解思路轉(zhuǎn)變，得出正確答案，培養(yǎng)學生的知識靈活應用能力，鞏固學生數(shù)學知識體系。（三）靈活應用“一題多變”方法，優(yōu)化例題講解過程高中教材中涉及較多典型例題，基本覆蓋其所處章節(jié)中的基礎知識，對于輔助學生理解與掌握各類基礎理論知識有著較大的幫助。但教學時間相對有限，若在其中摻雜較多的例題講解，可能會影響課程的順利推進，并激發(fā)學生的抵觸、逆反心理?；诖?，可選擇其中的典型例題，改變其中條件，在一題多變中，為學生提供各類靈活習題，鍛煉學生數(shù)學技能，節(jié)省題目閱讀、熟悉時間，培養(yǎng)學生深度思維能力，鼓勵學生在問題探究中舉一反三，提高解題水平。（四）開展“一題多變”深度探究，實現(xiàn)教學內(nèi)容層層遞進圍繞具體的教學模塊，開展一題多變深度探究，在層層遞進中把握教材知識的核心內(nèi)容，圍繞“函數(shù)的概念與基本性質(zhì)”展開具體化分析，奇偶性是該模塊的基礎知識，在對例題加以變換時，需結(jié)合學生認知程度、概念學習需求展開，選擇一些基礎性的例題，如下：例題6：函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間0到上呈遞減趨勢，判斷在區(qū)間到0上的單調(diào)性，給出證明過程。解析：該題目屬于探究類范疇，協(xié)助學生總結(jié)、闡明其中涉及的數(shù)學思想方法，利于學生建構(gòu)更加完善的函數(shù)知識體系，但其僅涉及函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的知識，故而難度較低，可在例題變換中，持續(xù)提高難度，開展一題多變深度探究。變式1：在區(qū)間到0上單調(diào)遞減，在區(qū)間0到上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)奇偶性。解析：第一次變式，采取逆向思維，培養(yǎng)學生辯證思維，深化對函數(shù)性質(zhì)的理解與掌握，從具象化的函數(shù)圖像中總結(jié)抽象數(shù)學結(jié)論。變式2：已知函數(shù)為奇函數(shù)，其在區(qū)間0到上單調(diào)遞增，判斷函數(shù)在區(qū)間到0上的單調(diào)性。解析：第二次變換，改變了例題條件，讓學生在掌握單調(diào)性、奇偶性相關知識的同時，探究其存在的邏輯關系，讓學生的思維經(jīng)歷特殊到一般的過程。變式3：已知函數(shù)為偶函數(shù)，其在區(qū)間－到0上單調(diào)遞減，判斷函數(shù)在區(qū)間0到上的單調(diào)性。解析：與變式2類型大致相同，變式的目的在于讓學生在類比中，深化對該類題目規(guī)律性認識，掌握解題思路。變式4：已知函數(shù)定義域，定義域區(qū)間內(nèi)為偶函數(shù)，小于并小于0，試判斷、、之間存在的大小關系。解析：考查學生靈活應用函數(shù)知識解答實際問題的能力，提升對函數(shù)間邏輯關系的正確認知。變式5：在對稱區(qū)間中，偶函數(shù)單調(diào)性相同，判斷該命題的真假。解析：該類變換屬于一般變化式，以命題